Mathematik PHTG
Mathematik 2. Semester
Mathematik 2. Semester
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Lernkarten
Was sind Herausforderungen von AdL im Mathematikunterricht?
- Mathe ist vernetzend aufgebaut (genau überlegen, was bei allen Klassen davor und danach kommt)
- Mathelernen braucht immer auch Phasen der Instruktion (Leistungshomogene Gruppen oder individuell am effizientesten)
- Gute Leistung braucht hohe Leistungserwartung an alle SuS - nicht nur an die Jüngsten! (Nivellieren und Orientieren am mittleren Niveau bei AdL problematisch!)
Gefahr von dauernden Wochenplanarbeit!
Wie sollte der AdL Mathematikunterricht optimalerweise aufgebaut sein?
1. Gemeinsamer Einstieg mit einer offenen Aufgabe in leistungshomogenen Lerngruppen
2. Lerndifferenzierte Weiterarbeit
3. Gemeinsamer Abschluss
- Gegenseitiges Erzählen was gemacht wurde
- Gemeinsame offene Problemstellung
- Transferaufgabe
- Miniprojekt mit anwendungsorientierten Aufgaben
Didaktische Konzepte des AdL Mathematikunterrichts
Gemeinsames Lernen am gleichen Gegenstand
- Integration von SuS mit Behinderungen (sonderpädagogisches Konzept)
- Hat für hierarchisch strukturierte Fächer wie Mathematik klare Grenzen
- Gefahr der Nivellierung der Leistungen (alle passen sich der Mitte an, keine Differenzierung)
- Gefahr der fehlenden Adaptivität
- Nicht geeignet für Mathematikunterricht
Offene Lernumgebung
- Inhaltsnahes Konzept
- Offene, selbst differenzierende Aufgaben über gemeinsames Thema
- Unabhängig vom Lehrmittel
- Kein eigentlicher Lehrgang
- Geeignet für punktuellen Einsatz im Mathematikunterricht
Jahrgangsübergreifender Mathematikunterricht
- Organisatorisches Konzept
- Konzipiert für 2 Jahrgänge
- Kann mit Lehrmitteln verbunden werden
- Vollständiges Konzept für AdL
- Geeignet als Konzept für Mehrjahrgangsklassen
Parallelisierung der Lerninhalte
- Inhaltsnahes Konzept
- Geht vom Inhalt aus und sucht nach inhaltlichen Gemeinsamkeiten über die Jahrgänge hinweg
- Kombinierbar mit «Offene Lernumgebungen»
- Geeignet als Konzept für Mehrjahrgangsklassen
Welche vier Varianten des altersdurchmischten Lernens gibt es?
- Jahrgangsbezogener Abteilungsunterricht (Alle Kinder der 3. Klasse arbeiten zusammen)
- Leistungshomogene Lerngruppen (Niveaugruppen --> gezielte Aufträge für einzelne Gruppen)
- Heterogene Lerngruppen (durchmischte Niveaugruppen --> verschiedene Aufträge für Kleingruppen, Austausch)
- Individualisierung der Lernprozesse (jedes Kind arbeitet auf seinem Stand --> Werkstattunterricht)
--> Es sollte aber keine Monokultur sein --> Je nach Inhalt wählen!
Was ist AdL Unterricht?
Altersdurchmischtes Lernen
Was sind die 7 Grundideen der Elementargeometrie?
- Geometrische Formen und ihre Konstruktion (Fachliche Begriffsbildung der Formen und Verbindungen)
- Operieren mit Formen (Mit den Formen handeln --> spiegeln, drehen, zerlegen, zusammensetzen, ... --> Möglichkeit zur Verbindung von "Zahl und Variable")
- Koordinaten (Lagebeschreibung von Punkten auf Linien, Flächen und im Raum --> Grundlage für analytische Geometrie und grafische Darstellungen von Funktionen)
- Masse (Länge, Fläche, Rauminhalte, Winkel mithilfe von Masseinheiten messen --> Verbindung "Grössen")
- Geometrische Gesetzmässigkeiten und Muster (Formen und Muster werden zueinander in Beziehung gesetzt, z. B. durch Fortsetzung inkl. deren Gesetzmässigkeiten)
- Formen in der Umwelt (Reale Gegenstände in der Umwelt können durch geometrische Begriffe annähernd beschrieben werden --> Unterscheidung typische, untypische und nichttypische Beispiele)
- Übersetzung in die Sprache der Geometrie / kleine Sachsituationen («Sachsituationen lassen sich mithilfe von geometrischen Begriffen in die Sprache der Geometrie übersetzen und mithilfe von geometrischen Verfahren bearbeiten.» --> Beispiel mit Plänen arbeiten)
Was ist mit dem Auffüllen / Ergänzen gemeint (Lösestrategie beim halbschriftlichen Rechnen)?
Wie viel brauche ich, bis ich die Zahl X bekomme? Ich kehre die Aufgabe um und mache eine Addition (funktioniert nur bei Subtraktion)
634-378=256
Auf den vollen Hunderter:
400-378=22
634-400=234
--> 234+22=256
oder
Auf die nächste Stelle:
384-378=6
434-384=50
634-434=200
--> 6+50+200=256
Was ist mit dem Hilfsaufgabe gemeint (Lösestrategie beim halbschriftlichen Rechnen)?
Es wird zunächst eine andere Aufgabe gerechnet und das Ergebnis danach an die eigentliche Aufgabe angepasst
490+135
500+135-10
Was ist mit dem Stellenwerte extra gemeint (Lösestrategie beim halbschriftlichen Rechnen)?
Beide Summanden werden in ihre Stellenwerte aufgeteilt. Danach werden sie separat zusammengerechnet.
479+135
400+100=500
70+30=100
9+5=14
--> 500+100+14
Was ist mit dem Verwandte Aufgabe gemeint (Lösestrategie beim halbschriftlichen Rechnen)?
Das sind Aufgaben, die auf dem Analogieprinzip aufgebaut sind und auch als Tauschaufgabe bezeichnet werden.
Was ist mit dem Vereinfachen gemeint (Lösestrategie beim halbschriftlichen Rechnen)?
Gleichsinniges, gegengleichsinniges Verändern, Nachbaraufgaben
Die Zahlen werden so angepasst, dass sie einfacher zum Rechnen sind. Beide Summanden werden gleichzeitig angepasst.
479+135
480+134 oder 500+114
Was ist mit dem schrittweisen Rechnen gemeint (Lösestrategie beim halbschriftlichen Rechnen)?
Der erste Summand bleibt gleich. Der 2. Summand wird schrittweise dazu gerechnet.
420+537 =
420+37= 457
457+500 = 957
Welche unterschiedlichen Lösestrategien gibt es beim halbschriftlichen Rechnen?
- Schrittweises Rechnen
- Vereinfachen
- Verwandte Aufgabe
- Stellenwerte extra
- Hilfsaufgabe
- Auffüllen / Ergänzen
Welche heuristische Strategien gibt es beim halbschriflichen Rechnen?
- Tauschaufgaben (1+2=3 oder 2+1=3)
- Verdoppelungsaufgaben / Halbierungsaufgaben (4+1=5 oder 2+2+1=5)
- Nachbaraufgaben (7+6= 7+5+1)
- Gleichsinniges (Substraktion) / Gegengleichsinniges (Addition) Verändern / Vereinfachen (Konstanz der Summe und Differenz) (9+4= 10+3)
- Zerlegen (7+6= 7+3+3)
- Umkehraufgaben (7+?=12 über 12-7)
Was sind heuristische Strategien in Kombination zum halbschriftlichen Rechnen?
Problemlösestrategien zum geschickten Rechnen
Was ist mit dem Prinzip der minimalen Hilfe gemeint?
1. Impuls / Initiierung durch geeignete Aufgabenstellung
2. Entdecken lassen und fachlich unterstützen
3. Gemeinsamer Austausch über die Ergebnisse
--> Hauptfokus konstruktion von Wissen (Die verschiedenen Rechenwege sollen ausprobiert werden, aber nicht unter Zwang. Die Kinder sollen ihren individuellen Rechenweg gehen. Wichtig dabei ist der Austausch über die Rechenwege) --> Aktiv entdeckendes und soziales Lernen
Was ist mit halbschriftlichem Rechnen gemeint?
Einsichtsvolles Rechnen unter Nutzung von Zahlbeziehungen und Rechengesetzen
«Es ist flexibles, auf die Besonderheiten der vorliegenden Aufgaben und des Zahlenmaterials bezogenes Rechnen unter geeigneten Strategien. Zwischenschritte, -rechnungen und -ergebnisse werden notiert. Rechengesetze und -vorteile werden verwendet.»
Art und Weise der Notation nicht festgelegt
Gestütztes Kopfrechnen
Austausch im Unterricht, sodass alle Kinder voneinander profitieren können
--> Rechnung bequem lösen
Was ist mit Taschenrechner gemeint?
Entlastung der kognitiven Ressourcen zugunsten von grossen Problemlösungen
Um etwas beweisen zu können oder falls der Rechenweg komplex ist
Was ist mit schriftlichem Rechnen gemeint?
Ausführen eines oft nicht verstandenen Algorhythmus
Kein Aufbau von Zahlenverständnis
Nur korrekte Anwendung führt zum korrekten Resultat (inkl. vorgegebener Sprechweise)
Man rechnet mit Ziffern und nicht mit Zahlenwerten
Grosse Faszination für Kinder
Kopfrechnung ist Voraussetzung dafür
Was ist mit Kopfrechnen gemeint?
Rechnen erfolgt nur im Kopf, es wird nichts aufgeschrieben
Dient der Automatisierung
Voraussetzung für Kopfrechnen ist ein Zahlenblick
Welche Rechenverfahren gibt es?
Kopfrechnen
Halbschrifliches Rechnen
Schriftliches Rechnen
Taschenrechner
Was sind die Unterschiede zwischen den Rechenmethoden aus traditioneller Sicht vs. relaktivierter / aktueller Sicht?
Traditionelle Sicht:
Kopfrechnen: Pflichtübung
Halbschriftliches Rechnen: unelegante Durchgangssituation zum schriftlichen Rechnen
Schriftliches Rechnen: Krönung und Höhepunkt
Taschenrechner: Vermeidungsgerät
Relaktive / aktuelle Sicht:
Kopfrechnen: Grundbaustein (Blitzrechnen)
Halbschrifliches Rechnen: ökonomische, zentrale Rechenart
Schrifliches Rechnen: Abrundung, weitere Rechenart
Taschenrechner: wichtiges Hilfsmittel
Wie kann die Multiplikation und Division optimal eingeführt werden?
- Als Zahlenblick mit gleich grossen Päckchen (räumlich-simultan oder zeitlich-sukzessiv) --> Zusammenfassen / Wiederholen
- Erarbeitung kleiner Reihen als Verdoppelung, Verzehnfachung, Halbierung --> Merkaufgaben
- Herleitung über andere Aufgaben, z. B. Addition
- Einführungd er Division als gleichmässiges Verteilen und aufteilen
Grundvorstellungen Division
- Aufteilen (Gesucht ist die Anzahl der Teilmengen, während die Gesamtmenge und die Gruppengrösse gegeben sind)
- Verteilen (Gesucht ist die Gruppengrösse, während die Gesamtmenge und die Anzahl an Teilnehmern gegeben sind)
--> Teilbarkeit bedeutet gleichmässig UND restloses teilen.
--> Division immer auch mit Rest bearbeiten
Grundvorstellungen Multiplikation
- Wiederholen (Tätigkeiten gelichen Umfangs werden wiederholt ausgeführt (zeitlich-sukzessiv)) --> Hole mir 3x3 Bücher. wie viele hast du geholt?
- Zusammenfassen (Anzahlen gleicher Grössen werden gruppiert und deren Gesamtzahl ermittelt (räumlich-simultan))
- Vergleichen (Zwischen Anzahlen oder Grössen werden multiplikative Vergleiche hergestellt)
--> Multiplikation ist eine fortlaufende Addition mit gleichen Summanden.
--> Die Kinder sollen lernen, in Sprünge, Pakete oder Reihen zu denken
Grundvorstellungen Subtraktion
- Abziehen (Von einer Gesamtmenge werden Objekte weggenommen, sodass ein Rest entsteht (dynamisch))
- Ergänzen (Es wird ein Unterschied zwischen Ausgangslage und Endmenge bestimmt (dynamisch))
- Vergleichen (Unterschied zwischen zwei Teilmengen bestimmen (statisch))
Grundvorstellungen Addition
- Hinzufügen (Einer Menge wird eine weitere hinzugefügt (dynamisch))
- Vergleichen (Zwei Mengen werden durch Addition verglichen (statisch))
- Zusammenfassen (Zwei Mengen werden zusammengelegt (statisch))
Erkläre das EIS-Prinzip
E: Enaktiv = Handeln am konkreten Objekt
I: Ikonisch = Sachverhalte im Bild darstellen
S: Symbolisch = Arbeiten auf abstrakter Ebene (Unterscheidung verbal-symbolisch und formal-symbolisch)
--> Ziel ist es, eine tragfähige, mentale Vorstellung (Bilder im Kopf) aufzubauen, die der Verinnerlichung dient
--> Es ist kein statisches Prinzip, sondern es sollte immer wieder in den Ebenen gewechselt werden, so entsteht ein intermodularer Transfer
--> Beteiligung der Sprache ist wesentlich
Was brauchen die Kinder, um ein Verständnis der vier Grundoperationen zu entwickeln?
- Verschiedene Darstellungsformen (EIS-Prinzip)
- Zahlbeziehungen verstehen (Vorgänger, Nachfolger, Umkehrrechnungen) --> Wie hängt das eine mit dem anderen zusammen?
- Handelnder Mathematikunterricht
Wieso unterrichten wir das zählende Rechnen trotzdem?
- Kompetenz des Lehrplan 21
- Zahlbegriff klären --> was ist eine Zahl?
- Umwelterschliessung
Was ist das Problem beim zählenden Rechnen?
- Anzahl Finger reichen irgendwann nicht mehr
- Fehleranfällig
- Verständnis für Grundoperationen fehlt
Was ist der Nutzen von didaktischem Material?
- Spiralprinzip
- Hilfe bei Denkhandlungen der Kinder
- Entdeckung bestimmter Strukturen und Beziehungen
- Material muss eingeführt werden
- Kinder müssen Zahlen in unterschiedlichen Darstellungsformen erkennen und ableiten können
- EIS Prinzip (enaktiv, ikonisch, symbolisch)
Welches didaktische Material gibt es?
- Zehner-, Zwanziger-, Hunderterfeld und Tausenderbuch (kardinal und strukturiert)
- Zahlenstrahl (ordinal)
- Systemmaterial Dienes (kardinal und strukturiert)
- Stellenwerttafel (kardinal und strukturiert)
- Zahlen- und Ziffernkarten
Was bringt es, wenn die Kinder die Zahlen bündeln und daraus Stellenwerte ablesen können?
Gebündelte Zahlen sind einfacher und schneller lesbar --> (Quasi) Simultan
Vor allem wenn später grössere Zahlen mit mehr Stellenwerten kommen, ist es einfacher, wenn die Basis bereits vorhanden ist.
Was versteht man unter Zahlen vergleichen?
Beide Zahlen (die zuvor ausgerechnet wurden) nebeneinander legen und direkt vergleichen. Die Differenz kann dann erfasst werden
Was ist mit dem Teil-Ganzen-Schema gemeint?
Jede Zahl (ganzes) besteht aus Teilzahlen. Das heisst, man kann diese ganze Zahl in Teilzahlen zerlegen.
--> Wichtig, dass Kinder verstehen, dass Zahlen aus anderen Zahlen aufgebaut sind, respektive zerlegt werden können. Grundlage des Rechnens.
Gesetze:
- Ein Ganzes kann in Teile geglieder werden
- Ein Ganzes, das in Teile zerlegt wurde, ist nicht mehr und nicht weniger geworden
- Ein Teil ist weniger als ein Ganzes
- Wird ein Teil verkleinert, vergrössert, dann wird auch das Ganze kleiner, grösser
- Es gibt verschiedene Möglichkeiten eine Zahl zu zerlegen
Was ist mit dem Abstraktionsprinzip gemeint? (Zählprinzipien)
Alles ist zählbar, unabhängig von dessen Eigenschaften
Was ist mit dem Prinzip der beliebigen Reihenfolge gemeint? (Zählprinzipien)
Es spielt keine Rolle, bei welcher Zahl ich mit zählen beginne. Ich kann vorwärts, rückwärts zählen
Was ist mit dem Kardinalzahlprinzip gemeint? (Zählprinzipien)
Ich weiss, dass die letzt genannte Zahl beim Durchzählen die Menge ist. Dafür muss ein Grundverständnis fürs Zählen bestehen
Was ist mit dem Prinzip der stabilen Ordnung gemeint? (Zählprinzipien)
Jede Zahl hat einen festen Platz beispielsweise auf dem Zahlenstreifen. Beispielsweise kommt die 5 immer nach der 4. Dies gibt Sicherheit
