Mahte 3
MC Mathematik 3
MC Mathematik 3
Mit Hilfe des Richtungsvektorfeldes kann man eine ODE 1. Grades lösen.
Jede ODE hat ein Richtungsvektorfeld.
Zu jedem Skalar-Produkt können unendlich viele Metriken definiert wer den.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum kann durch Angabe einer Basis mit zugehöriger Gram-Matrix definiert werden.
Zwei Vektoren in einem reellen Vektorraum haben bezüglich jeder Metrik die gleiche Länge.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum legt in diesem Raum alle Winkel fest.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum legt in diesem Raum alle Längen, Flächen, Volumen bzw. Masse fest.
In jedem reellen Vektorraum kann genau eine Metrik definiert werden.
Die ODE (16) hat statische Lösungen.
Jede Lösung der ODE (16) ist monoton fallend.
Ist \(y_1(x)\) eine Lösung der ODE (16), dann ist auch \(y_2(x) := 2 · y_1\) eine Lösung.
Die Funktion \(y(x) = x+1\) ist eine Lösung der ODE (16).
Die ODE (16) ist zwar nicht linear, dafür aber separierbar.
Die ODE (16) hat den Grad 1.
Die Abkürzungen ODE und IVP kommen von den englischen Begriffen Order of Differential Equation bzw. Initial Value Problem.
Eine Differentialgleichung kann sowohl linear inhomogen als auch auto nom sein.
Ein Anfangswertproblem hat meistens unendlich viele Lösungen.
Jede Differentialgleichung hat entweder überhaupt keine oder genau eine Lösung.
Die Lösung einer Differentialgleichung, sofern überhaupt eine existiert, ist in jedem Fall eine reelle Zahl.
Differentialgleichungen spielen in der Physik eine grosse Rolle.
Um \(\int_{0}^{\infty} f(x) \cdot \delta(2x) \, dx\) berechnen zu können, verwendet man sinnvollerweise eine Substitution
Um \(\int_{0}^{\infty} f(x) \cdot \delta(x-1) \, dx\)berechnen zu können, verwendet man sinnvollerweise eine partielle Integration
Es gilt \(\int_{0}^{3} x^2 \cdot \delta(x-2) \, dx = 4\)
Es gilt \(\int_{-1}^{1} x^2 \cdot \delta(x-2) \, dx = 4\)
Die Dirac-Delta-Funktion $\delta(x)$ ist eine symbolische Schreibweise, welche nur als Faktor in einem Integranden sinnvoll interpretiert werden kann
Die Dirac-Delta-Funktion ist eine Funktion der Form \(\delta : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
Es gilt die Produkt-Regel \((f * g)' = f' * g + f * g'\)
Es gilt f(x)>0 und g(x)<0, dann folgt \((f * g)(x)<0\)
Es gilt \(f * g - g * f = 0 \quad \)
Die Faltung von zwei Funktionen ist eine komplexe Zahl.
Die Faltung ist für alle Paare von Funktionen \(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{C}\) definiert.
Die Faltung spielt in der Signalverarbeitung eine grosse Rolle.
Es gilt \(lim_{t→∞}\dot{f}(t) = 0\).
Es gilt \(lim_{t→∞}f(t) = 5\).
Es gilt f(0) = 5.
f beschreibt eine freie, stark gedämpfte, harmonische Schwingung.
f beschreibt eine freie, gedämpfte harmonische Schwingung mit unge dämpfter Kreisfrequenz \(ω_0 = 6\).
f kann einfach mit Hilfe des Ähnlichkeitssatzes berechnet werden.
Es gilt \(lim_{t→∞}f(t) = 4\).
Es gilt \(\dot{f}(0) = 100\).
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Um \(\int_{0}^{\infty} f(x) \cdot \delta(2x) \, dx\) berechnen zu können, verwendet man sinnvollerweise eine Substitution
Um \(\int_{0}^{\infty} f(x) \cdot \delta(x-1) \, dx\)berechnen zu können, verwendet man sinnvollerweise eine partielle Integration
Es gilt \(\int_{0}^{3} x^2 \cdot \delta(x-2) \, dx = 4\)
Es gilt \(\int_{-1}^{1} x^2 \cdot \delta(x-2) \, dx = 4\)
Die Dirac-Delta-Funktion $\delta(x)$ ist eine symbolische Schreibweise, welche nur als Faktor in einem Integranden sinnvoll interpretiert werden kann
Die Dirac-Delta-Funktion ist eine Funktion der Form \(\delta : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
Es gilt die Produkt-Regel \((f * g)' = f' * g + f * g'\)
Es gilt f(x)>0 und g(x)<0, dann folgt \((f * g)(x)<0\)
Es gilt \(f * g - g * f = 0 \quad \)
Die Faltung von zwei Funktionen ist eine komplexe Zahl.
Die Faltung ist für alle Paare von Funktionen \(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{C}\) definiert.
Die Faltung spielt in der Signalverarbeitung eine grosse Rolle.
Es gilt \(lim_{t→∞}\dot{f}(t) = 0\).
Es gilt \(lim_{t→∞}f(t) = 5\).
Es gilt f(0) = 5.
f beschreibt eine freie, stark gedämpfte, harmonische Schwingung.
f beschreibt eine freie, gedämpfte harmonische Schwingung mit unge dämpfter Kreisfrequenz \(ω_0 = 6\).
f kann einfach mit Hilfe des Ähnlichkeitssatzes berechnet werden.
Es gilt \(lim_{t→∞}f(t) = 4\).
Es gilt \(\dot{f}(0) = 100\).
Es gilt f(0) = 4.
f beschreibt eine freie, schwach gedämpfte, harmonische Schwingung mit Dämpfungskonstante \(δ = 3\)
f beschreibt eine freie, ungedämpfte harmonische Schwingung mit Kreis frequenz \(ω = 5\).
f kann einfach mit Hilfe des Dämpfungssatzes berechnet werden.
Gemäß Ableitungssatz korrespondiert jede lineare ODE mit konstanten Koeffizienten zu einer rein algebraischen Gleichung
Aus dem Dämpfungssatz folgt \(e^{at} \overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow} \frac{1}{s-a}\)
it Hilfe der Grenzwertsätze kann überprüft werden, ob die Grenzwerte der Original-Funktion für \(t \to 0\) bzw. \(t \to \infty\) existieren.
Gemäß Verschiebungssatz gilt \( (t-2) \overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow} \frac{e^{-2s}}{s^2}\)
Gemäß Verschiebungssatz gilt \( \sigma(t-2) \cdot (t-2) \overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow} \frac{1}{(s-2)^2}\)
Der Ähnlichkeitssatz kann mit Hilfe der Substitutionsregel der Integralrechnung bewiesen werden
Die Laplace-Transformation von \(f(t) = t^3\) kann durch mehrfache partielle Integration berechnet werden
Es gilt \(s\overset{\mathcal{L}^{-1}}{\longleftarrow} 1/t\)
Es gilt \(1/s\overset{\mathcal{L}^{-1}}{\longleftarrow} 1\)
Gilt \(f(t) \overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow} F(s)\) und \(g(t) \overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow} G(s)\), dann folgt \(F(s) + G(t)\overset{\mathcal{L}^{-1}}{\longleftarrow} f(t)+g(t)\)
Gilt \(f(t) \overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow} F(s)\), dann folgt \(2 \cdot f(t) \overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow} 2 \cdot F(s)\)
Die Bild-Funktion einer konstanten Funktion ist konstant.
Die Laplace-Rücktransformation ist typischerweise einfacher zu berechnen als die Laplace-Transformation.
Ist die Originalfunktion vom Typ \(f : \mathbb{R}_0^+ \to \mathbb{R}\) dann ist die Bildfunktion vom Typ \(F : \mathbb{R}_0^+ \to \mathbb{C}\)
Jede Funktion der Form \(f : \mathbb{R}_0^+ \to \mathbb{R}\) hat eine Laplace-Transformierte.
Jede Funktion der Form \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) hat eine Laplace-Transformierte.
