2) Natürliche Zahlen

Zählen: Wichtige Grundlage für das Rechnen 

• Kind kann zählen (Zahlenwortreihe - Kompetenz, Kardinaleszählen) 
• Kind kennt verschiedene Bedeutungen (Zahlaspekte) von Zahlen
• Kind kann Zahlen und ANzahlen unterschiedlich darstellen (Symbolisch, Bildlich, etc.)
• Wenn das Kind Zahlen in Beziehungen zu anderen Zahlen kennt. (Nachbarstaaten, Zerlegung, Halbierung, Verdopplung) ... 

"Wie viel" / "Mächtigkeit der Menge" 

- Jede Zahl gibt die Anzahl einer Menge an. 

• Nachfolger in einer Reihe
• Veranschaulichung: Perlenkette

WIchtig beim Aufsagen der Zahlenreihe:

• Mann muss den Anfang kennen
• -man muss bei jeder Zahl wissen, welche als nächste kommt
• Mn darf keine Zahl auslassen oder doppelt nennen
• Man darf nicht an den Anfang zurückkehren

Kardinales Zählen:
Wie viele Bonbons sind das?
(Frage nach Anzahl)

Ordinales Zählen:
Das wievielte Bonbon in der Reihe ist grün?
(Frage nach Rangplatz)

• Kodierungsaspekt (Bezeicnung von Objekten)
• Masszahlaspekt (Masszahlen für Grössen, Einheiten)
• Operatoraspekt (Vielfachheit einer Handlung oder eines Vorgangs)
• Ordinalaspekt (Rang)
• Kardinalaspekt (Anzahl Menge, Wie viel)
• Rechenzahlaspekt (Rechnen als Ziffernmanipulation, algebraische Struktur)

Kodierungsaspekt 
Hausnummer 3, Telefonnummer, Postleitzahl

Masszahlaspekt
2 Meter, 3 Euro, 8 Minuten

Operatoraspekt
Noch zweimal schlafen, bis zu den Ferien 

Ordinalaspekt
Der Zweite aus der Reihe, vier, fünf .... 

Kardinalaspekt
3 Äpfel, 8 Birnen, 4 Bleistifte 

Rechenzahlaspekt
36 + (17 + 4) = (36 + 4) + 17 

DIe Kinder bleiben bei früheren ineffektivieren, zumeist zählenden Strategien des Rechnens stehen. 

• Anzahlkonzept
• Teile - Ganze - Konzept

Proto-quantitative Schemata sind grundlegende Denkstrukturen, mit denen Kinder Mengen vergleichen und Veränderungen begreifen, ohne schon zählen oder rechnen zu können

Erkenntnis dass Zahlwörter eine quantitative Bedeutung haben:

• Zahlen als Ganzheiten verstehen (als Zweier, Dreier, us., als  "die Zwei", "die Drei" ...
• Anzahlen zählend und auch nicht zählend als Menge darstellen und erfassen.

• Strukturieren ist eine aktive Handlung
• Punktefelder erhalten Struktur daddurch, dass eine Person sie hineinsieht.

Erkenntnis, dass Zahlen zerlegbar und aus anderen Zahlen zusammengesetzt sind.

Teile - Ganzes - Relation: Kompesation
Wenn ich eine Teilmenge zugunsten der anderen Teilmenge verkleinere, bleibt die Gesamttmgenge gleich gross.

• Kompensierende Veränderung der Teilmengen

Teile - Ganzes - Relation: Kovaration
In dem Masse, wie ich bei einer Teilmenge etwas wegnehme/dazufüge, ändert sich auch die Gesamtmenge.
 

• Gemeinsame Veränderung von Teilmenge und Gesamtmenge

Das Teile-Ganzes-Konzept bedeutet, dass jede Zahl als ein Ganzes verstanden wird, das aus Teilen zusammengesetzt ist bzw. in Teile zerlegt werden kann. Dieses Verständnis ist die Voraussetzung für nicht-zählende Rechenstrategien, da Kinder Relationen zwischen Zahlen erkennen, anstatt nur Handlungsschritte (z. B. „dazuzählen“) auszuführen..

Zählende Strategien 

• Schritte werden abgezählt
• Kein Verständnis von Zahlbeziehungen nötig
• Langsam und fehleranfällig
• Frühe Entwicklungsstufe des Rechnens
• Beispiele: Weiterzählen bei Addition; Rückwärtszählen bei Subtraktion; wiederholte Addition bzw. wiederholtes Abziehen bei Multiplikation und Division

Nichtzählende Strategien 

• Es wird nicht gezählt, sondern gedanklich gerechnet
• Nutzung von Zahlbeziehungen und Strukturverständnis
• Schnell, flexibel und weniger fehleranfällig
• Weiterentwickelte Rechenkompetenz
• Beispiele: Zerlegen; Ergänzen; Nutzen der 10 als Ankerzahl; Verdoppeln und Halbieren; Nutzung bekannter Produkte

Zählende Strategien sind Rechenwege, bei denen Kinder Ergebnisse durch Zählen ermitteln. Sie zählen Schritte einzeln weiter oder zurück und benötigen dafür kein Verständnis von Zahlbeziehungen.

Typische Merkmale zählender Strategien sind: Die Schritte werden einzeln abgezählt; es ist kein strukturiertes Zahlverständnis erforderlich; die Vorgehensweise ist langsam und fehleranfällig; sie entsprechen einer frühen Entwicklungsstufe mathematischen Denkens.

Beispiele für zählende Strategien sind Weiterzählen bei der Addition, Rückwärtszählen bei der Subtraktion sowie wiederholte Addition oder wiederholtes Abziehen bei Multiplikation und Division.

Nichtzählende Strategien basieren auf Zahlbeziehungen, Zerlegungen und Strukturverständnis, nicht auf Abzählen. Kinder nutzen dabei mathematische Beziehungen wie Zerlegen in Teilzahlen, Ergänzen, Verdoppeln, Halbieren oder das Arbeiten mit der 10 als Ankerzahl.

Merkmale nichtzählender Strategien sind: Es wird nicht gezählt, sondern gedanklich gerechnet; Zahlen werden in Beziehung zueinander gesetzt; die Strategien sind schneller, flexibler und weniger fehleranfällig; sie entsprechen einer weiterentwickelten Rechenkompetenz.

Beispiele sind Zerlegen bei der Addition, Ergänzen bei der Subtraktion sowie Nutzen bekannter Produkte oder Verdoppeln/Halbieren bei Multiplikation und Division.

• Das Pluszeichen steht für die Zusammensetzung eines Ganzen aus Teilen (z. B. 4 + 3 = 7 bedeutet: Das Ganze 7 besteht aus den Teilen 4 und 3).
• Kinder erkennen: „7 + 2“ und „2 + 7“ bezeichnen dieselbe Gesamtzahl.
• Ohne Teile-Ganzes-Verständnis bleibt Addition eine Zählhandlung („von 5 zwei weiterzählen“) statt einer Beziehung zwischen Zahlen.

• Das Minuszeichen bezeichnet, dass das Ganze und ein Teil bekannt sind und der andere Teil gesucht ist (z. B. 7 – 3 = 4).
• Wegnehmen ist nur ein Spezialfall der Subtraktion; grundlegend ist das Bestimmen des fehlenden Teils.
• Vorteile: Das Kind sieht gleichzeitig das Ganze, den bekannten Teil und den Rest → reflektierendes Verständnis der Zahlbeziehungen.

• Bedeutet das Zusammensetzen eines Ganzen aus mehreren gleichen Teilen (z. B. 4 × 6 = 24 → 6 Teilmengen zu 4 Elementen).

• Bedeutet das Zerlegen eines Ganzen in gleich große Teile.
• Teil-Ganzes-Denken erlaubt, Division als Umkehrung der Multiplikation zu verstehen.
• Beispiel: „24 ÷ 6“ = „In wie viele gleich große Teile kann das Ganze 24 geteilt werden, wenn jeder Teil 6 enthält?“

Das Teile-Ganzes-Konzept schafft die Grundlage dafür, dass Kinder nicht zählend, sondern beziehungsorientiert rechnen können
– sie erkennen Strukturen und Relationen zwischen Zahlen anstatt einzelne Handlungsschritte.

Zählende Strategien:

o „Alles-Zählen“: alle Objekte (6 + 9 = 15) einzeln zählen.
o „Weiterzählen“: von 6 aus neun Schritte weiterzählen.
o Nachteile: fehleranfällig, langsam, oberflächliches Operationsverständnis.

Nicht - Zählende Strategien: (6 + 9):

o Kraft der Zehn: 9 = 4 + 5 → 6 + 4 = 10 → 10 + 5 = 15.
o Verdoppeln + 3: 6 + 6 = 12 → 12 + 3 = 15.
o Kompensation: (6 + 10) – 1 = 15.

Nichtzählende Strategien: (6 × 9):
o Nachbaraufgabe (Distributivgesetz): 6 × 9 = 6 × 10 – 6 = 54.
o Verdoppeln und Halbieren (Assoziativgesetz): 3 × 18 = 54.
o Vertauschungsgesetz: 6 × 9 = 9 × 6 → bereits bekannte Aufgabe.

Zählende Strategien:
o Wiederholtes Addieren (6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6).
o Rhythmisches Zählen oder Ablesen von Vielfachen (6, 12, 18 … 54).
o Problem: hoher kognitiver Aufwand, zählt nur, ohne Zahlbeziehungen zu erkennen.

Zählende Strategien:

• Rückwärtszählen 9 – 3 → „9, 8, 7, 6“
• Rückwärtszählend weiterzählen von 9 drei Schritte zurück: „9… 8 (1), 7 (2), 6 (3)“
• Vorwärtszählend ergänzen. Manche Kinder zählen vorwärts, aber trotzdem zählend:
  12 – 9 → „9… 10 (1), 11 (2), 12 (3)“

➜ Auch wenn Kinder vorwärts zählen, ist es zählend, weil sie Schritte abzählen.

Nichtzählende Strategien:

• Ergänzen (think addition)
  15 – 8 → „Wie viel fehlt von 8 bis 15? → 7“
• Zerlegen über die 10
  13 – 8 →
  13 – 3 = 10
  10 – 5 = 5
• Nutzen der Nachbarschaft
  11 – 9 → „9 + 2 = 11“
• Analogie-/Verdoppelungsstrategien
  14 – 7 →
  „7 + 7 = 14, daher 14 – 7 = 7“
• Nutzen von Ankerzahlen
  „10 ist nahe, also 12 – 9 = (10 – 9) + 2 = 3“

Typische zählende Divisionsstrategien:

• Wiederholtes Abziehen (Repeated Subtraction)
  12 : 3 →
  12 – 3 = 9
  9 – 3 = 6
  6 – 3 = 3
  3 – 3 = 0
  (4 Schritte → Ergebnis 4)
• Abzählen in Gruppen
  „Ich mache Dreiergruppen und zähle, wie viele es werden.“
• Unstrukturiertes Gruppieren
  Das Kind legt Gruppen, zählt sie einzeln zusammen, ohne Muster.

➡️ Diese Strategien sind langsam, fehleranfällig und zählend, ähnlich wie beim zählenden Multiplizieren.

Nichtzählende Strategien bei der Division

➡️ Das Kind nutzt Zahlbeziehungen, Multiplikation, Faktenwissen und Zerlegungen.
➡️ Es zählt nicht mehr, sondern denkt strukturell.

• Rückgriff auf bekannte Multiplikationsfakten
  42 : 7 → „Ich weiß: 6 × 7 = 42“ → Ergebnis 6.
• Zerlegen in Teilaufgaben
  48 : 6 →
  30 : 6 = 5
  18 : 6 = 3
  → 5 + 3 = 8
• Verdoppeln/Halbieren (Teiler nutzen)
  24 : 4 →
  erst 24 : 2 = 12
  dann 12 : 2 = 6
• Nutzen von Ankerzahlen
  50 : 5 → „10 × 5 = 50 → 10“
• Analogie / Verwandte Fakten
  18 : 3 →
  „Ich weiß: 6 × 3 = 18 → Ergebnis 6“

➡️ Diese Strategien sind schnell, flexibel und denken in Beziehungen, nicht in Schritten.

Ist ein Symbol für "gleiche Anzahl."

Es zeigt eine Relation zwischen Zahlen beziehungsweise Thermen.

• Beispiel: drei rote Plättchen und drei blaue Plättchen sind gleich viel wie sechs rote Plättchen

Die Problematik:

• SchülerInnen verstehen das Gleichheitszeichen eher als Handlungszeichen (im Sinne von "ergibt") und nicht als Beziehungszeichen ("ist gleichwertig zu")
• Beispiel 25 + 4 = ..... +25?
• Die Antwort ist dann oft  29, hier wird da Zeichen falsch verstanden.

Flexibles Rechnen ist generell:

• Kennen verschiedener Lösungswerkzeuge
• Fähigkeit, diese Lösungswerkzeuge beim lösen von Aufgaben altersentsprechend zu nutzen.

Ein Kind rechnet dann flexibel: 

1. wenn es für eine Rechnung, verschiedene Rechenmethoden kennt
2. entscheiden kann, welche der möglichen Rechenmethoden, am besten zur vorliegenden Rechnung passt. (Möglichst einfach zum Ergebnis führt)

Aufgabenmerkmale:

• Aufgabenstruktur durchschauen: z.B. "8 + 7" hat einen Zehnerübergang
• Wiederkehrende Muster bemerken: "4+4", "5+5" sind Verdopplungen 
• Verwandte Aufgaben sehen: z.B "6+3=9" und "3+6=9", nutzen die Kommutativität

Beispiele zu Zahlbeziehungen:

• Nachbarszahlen: "8+7" kann als "8+2+5" gedacht werden.
• Zehnerzerlegung: "9+6" kann als "9+1+5" = "10+5" umgewandelt werden
• Halbieren und Verdoppeln: "9+8" ist nahe an "8+8" (Verdopplung plus 1(Kovarianz))