1) Kindliche Zugänge zu Mathematik

1) Unstrukturierter Zahlenvers (einszweidrei....)
2) Zahlwörter unterscheidbar, Zählen nur ab 1
3) Vorwärts-/ Rückwärts ab beliebiger Zahl
4) Zählen der Zahlwörter selbst (Beispiel: Aufgabe, Zähle 4 Zahlwörter ab der 3)
5) Flexibles Zählen von jeder Zahl aus. 

1) String Level
2) Unbreakable Chain Level
3) Breakable Chain Level
4) Numerable Chain Level
5) Bidirectional Chain Level
 

• Zählen Schlüssel zum Zahlverständis
• Aufsagen der Zahlenwortreihe (sprachlich) 
• Zählen an Objekten: Zuordnung von Zahlwort und Objekt
• Beginn des Erwebs: 2-3J.
• Abgeschlossen 5-7J. 
• Kinder lernen zunächst 0-10 als Ganzes. Sie erkennen Regelmässigkeiten und können dann schliesslich flexibel vor und rückwärts zählen. "Vollständig reversible Zahlenwortreihe". 

• Zählfertigkeit
• Mengenvorstellung
• Zahlbeziehung

n ( n + 1): 2 

Eine Treppenzahl lässt sich als Summe von mindestens zwei aufeinanderfolgenden
natürlichen Zahlen ausdrücken, z.B. lässt sich die Zahl 25 als Summe der Zahlen
3, 4, 5, 6 und 7 darstellen.
3+ 4+5 +6+7 =25

Spezielle Treppenzahlen, deren «Treppe» mit 1 beginnen, sind schon seit der Antike als «Dreieckszahlen" bekannt. Beispielsweise ist die Zahl 15 eine Dreieckszahl, da sie sich aus der Summe der ersten 5 natürlichen Zahlen darstellen lässt.

Erkennen, Beschreiben, Begründen, Verallgemeinern

A: Behauptung
B: Weil
C: Begründung

A: Ich habe mehr Steine
B: Weil 9 mehr als 7 ist
C: Ich eine Längere Reihe aus Steinen legen kann / Beim Zählen die 9 nach der 7 kommt. 

Kinder besitzen ein protoquantitatives Mengenverständnis (Resnick, 1983).

• Kleine Mengen (bis 3–4) werden durch Subitizing (simultanes Erfassen) erkannt
• größere durch quasisimultanes Erfassen (Strukturwahrnehmung). Dies fördert den number sense – das Nutzen von Zahlbeziehungen.

Simultane Erfassung: Fähigkeit die Anzahl von Dingen auf einem Blick zu erkennen, ohne abzuzählen.

Quasi-simultane Erfassung: Für grössere Mengen, kann die Wahrnehmung durch Anordnung von Objekten verbessert werden und Menge kann so schneller erkannt werden. 

• Strukturen sehen und nutzen
• Begründen und Beweisen

• Sicherheit ausstrahlen, dies bemerken SuS
• Unsicherheit führt dazu, einfach Materalien von zweiter Hand zu nehmen
• Hauptaufgabe: Begleitung von SuS Aktivitäten, Unterstützung, nicht Vermittlung von Stoff
• Kind: Hauptakteur

Intuitive Konzepte:

• Angeborene oder früh entwickelten Fähigkeit, Muster, Mengen und Beziehugnen zu erfassen ohne bewusstes Üben oder gezielte Anleitung
• "Intuitive Mathematik und frühe Zahlenkonzepte"

(Explizit) erlernte Konzepte:

• Muss mit unterschiedlicher Anstrengung erworben werden
• Benötigt "Instruktionen" 
• "Kulturelle Mathematik"
• Dies streben wir im KiGa / in der Schule an

In Mathematik bedeutet kausales Denken ganz einfach:

Verstehen, warum ein mathematisches Ergebnis entsteht.

(also: Was ist die Ursache? Was ist die Folge?)

Beispiele in Mathe:

• „Ich addiere 1 → die Zahl wird grösser.“

1) Die Dinge verstehen: Wer oder Was

• Objekte in Klassen einteilen, Kategorienbildung
• Wissen über sich selbst und andere

2) Die Umstände verstehen: Wo, wann, warum und wie viel 

• Orientierung im Raum
• Grundverständnis für zeitliche Abläufe
• Kausales Denken, Problemlösen
• Elementare Zahlkonzepte
• Wo ist meine Position im Raum 
• Man muss elementare Zahlenkonzepte verstehen 

Anwendungsorientierung:
Betont Verbindung von Alltagssituationen mit Mathematik.

• Anzahl Gabeln und Messer
• Anordnung
• links, rechts, darüber

Strukturorientierung:
In Mathe schaut man nach Mustern, die immer gleich funktionieren, damit man Aufgaben leichter verstehen und lösen kann. (Mustersinn) 

• Objekte nach Farbe und Form sortieren

Anwendungsorientierung, Struktruorientierung

Die frühe Zahlbegriffsentwicklung beginnt vor dem eigentlichen Zählen. Kinder verstehen zuerst Mengenbeziehungen wie mehr, weniger, gleich viel – sogenannte protoquantitative Schemata.

Diese sind vorzahlige Denkmuster, z. B.:

• Mehr-Weniger-Schema: Etwas dazulegen → mehr; wegnehmen → weniger.
• Teile-Ganzes-Schema: Ein Ganzes besteht aus Teilen; ein Teil ist kleiner als das Ganze.
• Später entwickeln Kinder das Anzahlkonzept, sie verknüpfen Zahlwörter mit Mengen und lernen, dass die letzte Zahl beim Zählen die Anzahl beschreibt.

Das Teile-Ganzes-Konzept ist besonders wichtig, weil es die Grundlage für Addition, Subtraktion und das Verständnis des Stellenwertsystems bildet.

Entsteht aus Mengenverständnis – protoquantitative Erfahrungen sind die Basis fürs Rechnenlernen.

Echte Zählkompetenz bedeutet, dass ein Kind die fünf Zählprinzipien versteht und weiß, was Zahlen und Mengen bedeuten.

Ungerade Zahlen sind Zahlen, die beim Teilen in Zweiergruppen immer eine übrig haben.

    •    Wenn man zwei ungerade Zahlen addiert, bleiben zwei „Übrige“, und diese ergeben wieder eine neue Zweiergruppe → das Ergebnis ist gerade.

• Jede ungerade Zahl kann man so schreiben: 2·n + 1 (z. B. 3 = 2·1 + 1, 7 = 2·3 + 1)

• Dann gilt: (2n + 1) + (2m + 1) = 2n + 2m + 2 = 2(n + m + 1)

• Da das Ergebnis durch 2 teilbar ist, ist es gerade. 

   

Obwohl die Mathematik oft mit abstrakten Prozessen assoziiert wird, manifestiert sich ihr Nutzen in der Bewältigung von Alltagsaufgaben und dem Verständnis der Welt:

• Alltagsrelevanz: Die Notwendigkeit der Mathematik zeigt sich im Umgang mit dem Zählen, Messen, Konsumieren sowie der Bewältigung von Alltagsproblemen.

• Raum und Zeit: Durch Mathematik ist es möglich, die Verhältnisse zwischen den Dimensionen "Raum" und "Zeit" näher zu verstehen.

• Beschreibung realer Objekte: Mathematische Ideen können zwar keine realen Sachverhalte beschreiben, aber sie können reale Objekte in ihren Eigenschaften (z. B. "quadratisch," "symmetrisch") mithilfe mathematischer Objekte darstellen.

Letztlich geht es beim Wesen der Mathematik darum, mentale Strukturen zu bilden, die zur Beschreibung von Mustern und Beziehungen zwischen abstrakten Objekten dienen

Das Teile-Ganzes-Schema ist zentral:
Kinder verstehen „mehr“, „weniger“, „Teil < Ganzes“ – protoquantitatives Vorverständnis von Addition/Subtraktion (Sophian & McCorgray, 1994).

Resnick (1983): Das Verständnis von Zahlen als Zusammensetzung anderer Zahlen ist die wichtigste
Leistung der frühen Schuljahre. Grundlage für mentale Zahlvorstellungen, Rechenstrategien,
Automatisierung, Stellenwertverständnis, Kopfrechnen und Sachaufgaben. Fehlt die Verknüpfung
zwischen Teile-Ganzes-Schema und Anzahlverständnis, bleiben Kinder beim zählenden Rechnen
und verstehen komplexere Aufgaben nicht.

• zumindest z.T. bereits verfügbar sind, bevor das Kind zu zählen beginnt
(nativistischer Ansatz, z.B. Gelmann, 1986)

• oder ob diese erst durch die Erfahrung des Zählens erschlossen werden
(konstruktivistischer Ansatz, z.B. Stern, 1998).
 

Kinder haben eine angeborene, intuitive Basis für diese Zählprinzipien.

Das bedeutet:

• Kinder besitzen eine Art Zahl-Sinn schon sehr früh.
• Sie sind biologisch dafür vorbereitet, Zählen zu lernen.
• Die 5 Prinzipien müssen nicht vollständig von außen beigebracht werden.
• Kinder zeigen diese Prinzipien in Ansätzen, bevor sie perfekt zählen können.

Beispiel:

Ein Kleinkind macht Fehler, aber man merkt, dass es versucht,

jedem Objekt ein Wort zuzuordnen → Eins-zu-eins-Prinzip ist angelegt.

Es ist egal, an welcher Stelle man mit dem Zählen beginnt – die Anzahl bleibt gleich.

Beispiel: Egal ob man die fünf Würfel von links oder rechts zu zählen beginnt, es bleibt bei fünf.

Man kann beliebige Objekte zählen – unabhängig von ihren Eigenschaften.

Beispiel: Ein Kind zählt einen Stift, ein Buch und einen Becher: „eins, zwei, drei“.

Das letzte Zahlwort beim Zählen gibt die Anzahl der Objekte an.

Beispiel: „eins, zwei, drei, vier“.

→ „vier“ ist das letzte Wort und bedeutet: Es sind vier Objekte.

Die Zahlwörter müssen immer in einer festen Reihenfolge gesprochen werden.

Beispiel: „eins, zwei, drei, vier“ – und nicht durcheinander wie „eins, drei, zwei“.

Jedem Objekt wird genau ein Zahlwort zugeordnet.

Beispiel: Drei Blätter werden gezählt: „eins, zwei, drei“.

→ Jedes Blatt erhält genau ein Zahlwort.

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