lineare Algebra

Die \(m \times n\) Matrix:

\(0 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}\)

heisst die Nullmatrix.

Zwei Gleichungssysteme sind äquivalent, wenn sie dieselbe Lösungsmenge haben.

Ein homogenes Gleichungssystem hat stets die Lösung \(x_1 = x_2 = .... = x_n = 0\). Man nennt sie die Triviale Lösung.

SInd die rechten Seiten des Gleichungssystem Null, das heisst \(b_1 = b_2 = .... = b_m = 0\), so heisst das System homogen, andernfalls inhomogen ( \(b_i,i = 1, ...., m\)sind nicht alle gleich Null).

Besitz ein lieares Gleichungssystem keine Lösung, so sagt man, es ist unlösbar (oder inkosistent). Hat das Sytem eine Lösung, so ist es lösbar (oder konsistent).

Die Gesamtheit aller Lösungen heisst die Lösungsmenge der Gleichung.

Eine lineare Gleichung in n Variabeln x₁, x₂, ........, x_n hat  die Gestalt:

wobei a₁, a₂, ........, a_n und b gegebene reelle Konstanten sind. Die reellen Zahlen a_i, i = 1, ...., n nennt man die Koeffizienten der Gleichung und \(b \in \mathbb{R}\) ist die rechte Seite der Gleichung

Durch Normierung erhält man aus einem vom Nullvektor verschiedenen Vektor \(\overrightarrow{a}\) einen Einheitsvektor gleicher Richtung und Orientierung. Er lautet wie folgt:

\(\overrightarrow{e_a} = \frac {1}{|\overrightarrow{a}|}\overrightarrow{a}\)

Das heisst, dass die Vektorkomponeneten durch den Betrag des Vektors dividiert werden.

Seien \(\overrightarrow{w_1},....,\overrightarrow{w_m}\) Vektoren und \(a_1,....,a_m\) reelle Zahlen, wobei \(m \in N\)_.

Der folgende Vektor,  \(\overrightarrow{v} = a_1\overrightarrow{w_1}+ a_2\overrightarrow{w_2}+....+ a_m\overrightarrow{w_m} =:\) \(\displaystyle\sum_{i=1}^{m} a_i\overrightarrow{w}_i\)^, heisst eine Linearkombination von den Vektoren \(\overrightarrow{w_1},....,\overrightarrow{w_m}\) _. Die Zahlen \(a_1,....,a_m\) Koeffinzienten.

Der Gegenvektor oder der inverse Vektor eines beliebigen Vektors, ist der Vektor, der mit Richtung und Betrag übereinstimmt, aber eine entgegengesetzte Orientierung hat. Der Gegenvektor wird durch \(\overrightarrow{-v}\) bezeichnet.

Jeder Vektor mit Betrag Eins, wird als Einheitsvektor oder Einsvektor bezeichnet.

Der Vektor , dessen Anfangspunkt und Endpunkt übereinstimmen, heisst der Nullvektor und wird durch \(\overrightarrow{0}\) bezeichnet.

• Zwei Vektoren heissen parallel, wenn sie in Richtung und Orientierung übereinstimmen.
• Zwei Vektoren heissen anti-parallel, wenn sie in der Richtung übereinstimmen aber entgegengesetzte Orientierung haben.
• Falls zwei Vektoren parallel oder anti-parallel, so nennt man sie auch kollinear. Anders heissen sie nicht kollinear oder windschief.

Zwei Vektoren \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) sind gleich, wenn sie dieselbe Richtung, Orientierung und denselben Betrag haben. Wir schreiben: \(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{w}.\)

Ein Vektor ist eine Grösse, die durch Angabe einer Richtung, einer Orientierung und eines Betrages (oder Länge) festgelegt ist.

Es sei V ein Vektorraum und U eine nichtleere Teilmenge von V. Ist U ein Vektorraum bezüglich der Addition und der skalaren Multiplikation in V, so ist U ein Unterraum (oder Untervektorraum).

Gegeben sei ein reeller Vektorraum V und die Vektoren \(\overrightarrow{a_1},...\overrightarrow{a_n} \in V.\) Die Vektoren \(\overrightarrow{a_1},...,\overrightarrow{a_n}\)  heissen linear abhängig wenn es Skalare \(\lambda_1,..., \lambda_n \in \mathbb{R}\) gibt, die nicht alle gleich Null sind, so dass gilt:

\(\lambda_1\overrightarrow{a_1}+....+\lambda_n\overrightarrow{a_n} = \overrightarrow{0}\)

Die Vektoren heissen linear unabhängig, wenn sie nicht linear abhängig sind, dass heisst:

\(\lambda_1\overrightarrow{a_1}+....+\lambda_n\overrightarrow{a_n} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \lambda_1 =\, ....= \lambda_n= 0.\)

Die schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen heissen Spurpunkte der Ebene.

Die Spur einer Ebene ist die Schnittgerade, die die Ebene mit der xy-Ebene, der xz-Ebene oder der yz-Ebene haben kann.

Ein Normalenvektor einer Geraden g in der Ebene ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, der senkrecht zu dieser Geraden steht.

Drei Vektoren \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\, und \overrightarrow{c} \) sind komplanar, wenn sie in einer gemeinsamen Ebene liegen.

Das Skalarprodukt \(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} \) zweier vom Nullvektor verschiedeneer Vektoren kann nur verschwinden, wenn der \(cos{(\varphi)} = 0\) das heisst \(\varphi = 90^\circ\) ist. in diesem Fall stehen die Vektoren senkrecht. Diese Vektoren heissen orthogonale Vektoren, im Zeichen \(\overrightarrow{a} \bot \overrightarrow{b}\) Wir haben die Äquivalenz: \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{a} \bot \overrightarrow{b}.\) 

Eine \(n \times n\) Matrix \(A = [a_{ij}]\) heisst symmetrisch, wenn \(a_{ij} = a{ji}\), für alle \(i, j = 1, ..., n.\)

Sei A eine \(m \times n\) Matrix. Die transponierte Matrix A^T erhält man aus A, indem man die i-te Spalte von A zur i-ten Zeile von A^T macht. Kurz: \([A^T]_{ij} = a_{ij}\). Skizze:

\(A = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1i} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2i} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots &\\ a_{m1} & \cdots & a_{mi} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \rightarrow A^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1i} & a_{2i} & \cdots & a_{mi} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}\)

Gibt es zu einer \(n \times n\) Matrix A eine Matrix X mit \(AX= XA= I_n\), so heisst X die zu A inverse Matrix. Sie wird durch das Symbol A^-1 gekennzeichnet.

Sei r die Anzahl  der Nicht-Nullzeilen in der Zeilenstufenform der Koeffizientenmatrix (nicht die erweiterte!). Dann heisst r der Rang des Gleichungssystems.

Eine quadratische Matrix, die oberhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen enthält, heisst eine untere Dreiecksmatrix. Sind alle Elemente unter der Hauptdiagonalen null, so heisst sie eine obere Dreiecksmatrix:

• untere Dreiecksmatrix: \(A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3}& \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}\)
• obere Dreiecksmatrix: \(A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}\)

Die spezielle Diagonalmatrix:

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}\)

nennen wir die Einheitsmatrix oder die Identität.

Eine quadratische \(n \times n\) Matrix A heisst Diagonalmatrix, falls \(a_{ij} = 0\) für alle \(i \neq j\). Somit

\( A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}\)