Mahte 3
MC Mathematik 3
MC Mathematik 3
Es gilt \(\dot{f}(0) = 100\).
Es gilt \(lim_{t→∞}f(t) = 4\).
f kann einfach mit Hilfe des Ähnlichkeitssatzes berechnet werden.
f beschreibt eine freie, gedämpfte harmonische Schwingung mit unge dämpfter Kreisfrequenz \(ω_0 = 6\).
f beschreibt eine freie, stark gedämpfte, harmonische Schwingung.
Es gilt f(0) = 5.
Es gilt \(lim_{t→∞}f(t) = 5\).
Es gilt \(lim_{t→∞}\dot{f}(t) = 0\).
Die Faltung spielt in der Signalverarbeitung eine grosse Rolle.
Die Faltung ist für alle Paare von Funktionen \(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{C}\) definiert.
Die Faltung von zwei Funktionen ist eine komplexe Zahl.
Es gilt \(f * g - g * f = 0 \quad \)
Es gilt f(x)>0 und g(x)<0, dann folgt \((f * g)(x)<0\)
Es gilt die Produkt-Regel \((f * g)' = f' * g + f * g'\)
Die Dirac-Delta-Funktion ist eine Funktion der Form \(\delta : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
Die Dirac-Delta-Funktion $\delta(x)$ ist eine symbolische Schreibweise, welche nur als Faktor in einem Integranden sinnvoll interpretiert werden kann
Es gilt \(\int_{-1}^{1} x^2 \cdot \delta(x-2) \, dx = 4\)
Es gilt \(\int_{0}^{3} x^2 \cdot \delta(x-2) \, dx = 4\)
Um \(\int_{0}^{\infty} f(x) \cdot \delta(x-1) \, dx\)berechnen zu können, verwendet man sinnvollerweise eine partielle Integration
Um \(\int_{0}^{\infty} f(x) \cdot \delta(2x) \, dx\) berechnen zu können, verwendet man sinnvollerweise eine Substitution
Differentialgleichungen spielen in der Physik eine grosse Rolle.
Die Lösung einer Differentialgleichung, sofern überhaupt eine existiert, ist in jedem Fall eine reelle Zahl.
Jede Differentialgleichung hat entweder überhaupt keine oder genau eine Lösung.
Ein Anfangswertproblem hat meistens unendlich viele Lösungen.
Eine Differentialgleichung kann sowohl linear inhomogen als auch auto nom sein.
Die Abkürzungen ODE und IVP kommen von den englischen Begriffen Order of Differential Equation bzw. Initial Value Problem.
Die ODE (16) hat den Grad 1.
Die ODE (16) ist zwar nicht linear, dafür aber separierbar.
Die Funktion \(y(x) = x+1\) ist eine Lösung der ODE (16).
Ist \(y_1(x)\) eine Lösung der ODE (16), dann ist auch \(y_2(x) := 2 · y_1\) eine Lösung.
Jede Lösung der ODE (16) ist monoton fallend.
Die ODE (16) hat statische Lösungen.
In jedem reellen Vektorraum kann genau eine Metrik definiert werden.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum legt in diesem Raum alle Längen, Flächen, Volumen bzw. Masse fest.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum legt in diesem Raum alle Winkel fest.
Zwei Vektoren in einem reellen Vektorraum haben bezüglich jeder Metrik die gleiche Länge.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum kann durch Angabe einer Basis mit zugehöriger Gram-Matrix definiert werden.
Zu jedem Skalar-Produkt können unendlich viele Metriken definiert wer den.
Jede ODE hat ein Richtungsvektorfeld.
Mit Hilfe des Richtungsvektorfeldes kann man eine ODE 1. Grades lösen.
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Sind x1 und x2 Lösungen des IVP(25), dann gilt dies auch für die Funktion x3 := x2 +x1.
Die Grössen δ und ω0 haben die gleiche Masseinheit.
Gilt δ > ω0, dann oszilliert die Lösung x(t) mit der Kreisfrequenz ωd < ω0
Gilt δ < ω0, dann oszilliert die Lösung x(t) mit der Kreisfrequenz ω0.
Das IVP (39) beschreibt ein schwach gedämpftes System.
Die Lösung des IVP (39) verläuft durch den Punkt (5,−5).
Die Lösung des IVP (39) hat ein lokales Maximum bei t=3.
Die Lösung des IVP (39) ist periodisch.
Für die Lösung des IVP (39) gilt \(lim_{t → ∞} x(t) = 0\)
Für die Lösung des IVP (39) gilt: \(lim_{t → ∞} ẋ(t) = 0\)
Das Modell der erzwungenen gedämpften harmonischen Schwingungen wird fast ausschliesslich in der Mechanik eine grosse Rolle.
Im Modell der erzwungenen gedämpften harmonischen Schwingungen wird die innere Dämpfung berücksichtigt.
Im Modell der erzwungenen gedämpften harmonischen Schwingungen wird die innere Dämpfung vernachlässigt.
ImModellder erzwungenen gedämpften harmonischen Schwingungen wer den äussere Anregungen berücksichtigt.
Im Modell der erzwungenen gedämpften harmonischen Schwingungen wer den äussere Anregungen vernachlässigt.
Die Frequenz der stationären Lösung einer erzwungenen gedämpften har monischen Schwingung wird alleine durch die Anregung vorgegeben.
Das IVP beschreibt eine Situation mit schwacher Dämpfung.
Die ODE in (53) hat eine stationäre Lösung.
Die ODE in (53) hat genau eine stationäre Lösung.
Wegen der IC ist die Lösung des IVP trivial, d.h. x(t) = 0.
Die Anregung der Schwingung erfolgt auf der Resonanz-Frequenz.
Es gilt: x(t) → 0 für t → ∞.
Die Idee der Fourier-Entwicklung basiert auf der Orthogonalprojektion aus der Linearen Algebra.
Jede periodische Funktion \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) hat eine Fourier-Entwicklung.
Jede periodische Funktion \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) wird durch eine Fourier-Reihe exakt dargestellt.
Jede Fourier-Reihe besteht aus unendlich vielen Summanden.
Die Fourier-Entwicklung einer periodischen Funktion \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) mit negativer Parität ist eine reine Sinus-Entwicklung.
Die Fourier-Entwicklung einer periodischen Funktion \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) mit positiver Parität ist eine reine Sinus-Entwicklung.
In jedem Fall gilt: \(b_0=0\).
In jedem Fall gilt: \(a_k,b_k∈\mathbb{R}\) für alle \(k∈\mathbb{N}\)
In jedem Fall gilt: \(c_k = (a_k - i·b_k) / 2 für k ∈ \mathbb{N}\)
In jedem Fall gilt \(c_{-k} = (a_k + ib_k)/2 \) für \(k∈\mathbb{Z}\)
Falls fff reellwertig ist: \(c_k=c^*_{-k}\) für alle \(k ∈\mathbb{Z}\)
Falls f reellwertig ist, dann gilt \(a_k, b_k ∈\mathbb{R}\) für alle \(k ∈ \mathbb{N}\)
Es gilt x17(t) = x18(t) für alle t ∈ \(\mathbb{R}\).
Die Periode von x ist 1.
Die Funktion x hat keine Sprung-Stellen.
Bei dieser Fourier-Entwicklung tritt das Gibbs-Phänomen auf.
In jedem Fall gilt xn(t) = xn(−t) für alle t ∈ \(\mathbb{R}\).
In jedem Fall hat die Funktion x(t) negative Parität.
