Mahte 3
MC Mathematik 3
MC Mathematik 3
Es gilt \(\dot{f}(0) = 100\).
Es gilt \(lim_{t→∞}f(t) = 4\).
f kann einfach mit Hilfe des Ähnlichkeitssatzes berechnet werden.
f beschreibt eine freie, gedämpfte harmonische Schwingung mit unge dämpfter Kreisfrequenz \(ω_0 = 6\).
f beschreibt eine freie, stark gedämpfte, harmonische Schwingung.
Es gilt f(0) = 5.
Es gilt \(lim_{t→∞}f(t) = 5\).
Es gilt \(lim_{t→∞}\dot{f}(t) = 0\).
Die Faltung spielt in der Signalverarbeitung eine grosse Rolle.
Die Faltung ist für alle Paare von Funktionen \(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{C}\) definiert.
Die Faltung von zwei Funktionen ist eine komplexe Zahl.
Es gilt \(f * g - g * f = 0 \quad \)
Es gilt f(x)>0 und g(x)<0, dann folgt \((f * g)(x)<0\)
Es gilt die Produkt-Regel \((f * g)' = f' * g + f * g'\)
Die Dirac-Delta-Funktion ist eine Funktion der Form \(\delta : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
Die Dirac-Delta-Funktion $\delta(x)$ ist eine symbolische Schreibweise, welche nur als Faktor in einem Integranden sinnvoll interpretiert werden kann
Es gilt \(\int_{-1}^{1} x^2 \cdot \delta(x-2) \, dx = 4\)
Es gilt \(\int_{0}^{3} x^2 \cdot \delta(x-2) \, dx = 4\)
Um \(\int_{0}^{\infty} f(x) \cdot \delta(x-1) \, dx\)berechnen zu können, verwendet man sinnvollerweise eine partielle Integration
Um \(\int_{0}^{\infty} f(x) \cdot \delta(2x) \, dx\) berechnen zu können, verwendet man sinnvollerweise eine Substitution
Differentialgleichungen spielen in der Physik eine grosse Rolle.
Die Lösung einer Differentialgleichung, sofern überhaupt eine existiert, ist in jedem Fall eine reelle Zahl.
Jede Differentialgleichung hat entweder überhaupt keine oder genau eine Lösung.
Ein Anfangswertproblem hat meistens unendlich viele Lösungen.
Eine Differentialgleichung kann sowohl linear inhomogen als auch auto nom sein.
Die Abkürzungen ODE und IVP kommen von den englischen Begriffen Order of Differential Equation bzw. Initial Value Problem.
Die ODE (16) hat den Grad 1.
Die ODE (16) ist zwar nicht linear, dafür aber separierbar.
Die Funktion \(y(x) = x+1\) ist eine Lösung der ODE (16).
Ist \(y_1(x)\) eine Lösung der ODE (16), dann ist auch \(y_2(x) := 2 · y_1\) eine Lösung.
Jede Lösung der ODE (16) ist monoton fallend.
Die ODE (16) hat statische Lösungen.
In jedem reellen Vektorraum kann genau eine Metrik definiert werden.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum legt in diesem Raum alle Längen, Flächen, Volumen bzw. Masse fest.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum legt in diesem Raum alle Winkel fest.
Zwei Vektoren in einem reellen Vektorraum haben bezüglich jeder Metrik die gleiche Länge.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum kann durch Angabe einer Basis mit zugehöriger Gram-Matrix definiert werden.
Zu jedem Skalar-Produkt können unendlich viele Metriken definiert wer den.
Jede ODE hat ein Richtungsvektorfeld.
Mit Hilfe des Richtungsvektorfeldes kann man eine ODE 1. Grades lösen.
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Cartes-fiches
Jedes stückweise stetige Signal des Typs \(f : \mathbb{R} → \mathbb{R}\) hat eine Fourier Entwicklung.
Jedes stückweise stetige, periodische Signal des Typs \(f : \mathbb{R} → \mathbb{R}\) hat eine Fourier-Entwicklung.
Jedes stückweise stetige Signal des Typs \(f : [0,a] → \mathbb{R}\) hat eine Fourier Entwicklung.
Jedes stückweise stetige Signal des Typs \(f : [t_0,t_E] → \mathbb{R}\) hat eine Fouri er-Entwicklung.
Bei der periodischen Erweiterung eines nichtperiodischen Signals auf ei nem Intervall ist die Vermeidung von Sprüngen wichtiger als die Herstel lung einer Parität.
Bei der periodischen Erweiterung eines nichtperiodischen Signals auf ei nem Intervall ist die Herstellung einer Parität wichtiger als die Vermei dung von Sprüngen.
f hat negative Parität.
f kann auf [0,1] durch eine reine Sinus-Reihe dargestellt werden.
f kann auf [0,1] durch eine reine Cosinus-Reihe dargestellt werden.
f kann auf [−1,1] durch eine reine Sinus-Reihe dargestellt werden.
f kann auf [−1,1] durch eine reine Cosinus-Reihe dargestellt werden.
f kann auf [−1,2] durch eine reine Sinus-Reihe dargestellt werden.
Die Periode von U(t) ist T ≈ 2.0ms.
Der Graph von U(t) verläuft durch den Punkt (0; 0) .
In jedem Fall hat die Funktion U(t) positive Parität.
Für alle t ≥ 0 gilt |U(t)| ≤ 7.64V.
Die Funktion U(t) hat keine Sprung-Stellen.
Bei dieser Fourier-Entwicklung tritt das Gibbs-Phänomen auf.
f hat negative Parität.
f kann auf [0,1] durch eine reine Sinus-Reihe dargestellt werden.
f kann auf [0,1] durch eine reine Cosinus-Reihe dargestellt werden.
f kann auf [−1,1] durch eine reine Sinus-Reihe dargestellt werden.
f kann auf [−1,1] durch eine reine Cosinus-Reihe dargestellt werden.
f kann auf [−1,2] durch eine reine Sinus-Reihe dargestellt werden.
Die Fourier-Transformation wird hauptsächlich in der theoretischen Physik eingesetzt.
Die Fourier-Transformation wird hauptsächlich in der Elektrotechnik und Signalverarbeitung eingesetzt.
Die Fourier-Transformierte \(F(\omega)\) kann physikalisch als Spektrum interpretiert werden.
Jede Funktion der Form \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) hat eine Fourier-Transformierte.
Die Funktion \(f(t) = e^{-t^2}\) hat eine Fourier-Transformierte.
Nur periodische Funktionen der Form \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) haben eine Fourier-Transformierte.
Die Bild-Funktion einer konstanten Funktion ist konstant.
Die Fourier-Transformation von Polynomen lässt sich einfach durch mehrfache, partielle Integration berechnen.
Gilt \(f(t) ∘-● F(\omega)\), dann folgt \(2 · f(t) ∘─● F(\omega)\).
Gilt \(f(t) ∘─● F(\omega)\) und \(g(t) ∘─● G(\omega)\), dann folgt \(F(\omega) + G(\omega) ●-∘ f(t) + g(t)\)
Durch Fourier-Transformation lässt sich eine lineare ODE als rein al gebraische Gleichung schreiben.
Durch Fourier-Transformation lässt sich jede lineare ODE einfach lösen.
Die Laplace-Transformation wird insbesondere in der Elektrotechnik in der Signalverarbeitung eingesetzt.
Historisch betrachtet ist die Laplace-Transformation eine Weiterentwicklung der Fourier-Transformation.
Jede Funktion der Form \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) hat eine Laplace-Transformierte.
Jede Funktion der Form \(f : \mathbb{R}_0^+ \to \mathbb{R}\) hat eine Laplace-Transformierte.
