Mahte 3
MC Mathematik 3
MC Mathematik 3
Es gilt \(\dot{f}(0) = 100\).
Es gilt \(lim_{t→∞}f(t) = 4\).
f kann einfach mit Hilfe des Ähnlichkeitssatzes berechnet werden.
f beschreibt eine freie, gedämpfte harmonische Schwingung mit unge dämpfter Kreisfrequenz \(ω_0 = 6\).
f beschreibt eine freie, stark gedämpfte, harmonische Schwingung.
Es gilt f(0) = 5.
Es gilt \(lim_{t→∞}f(t) = 5\).
Es gilt \(lim_{t→∞}\dot{f}(t) = 0\).
Die Faltung spielt in der Signalverarbeitung eine grosse Rolle.
Die Faltung ist für alle Paare von Funktionen \(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{C}\) definiert.
Die Faltung von zwei Funktionen ist eine komplexe Zahl.
Es gilt \(f * g - g * f = 0 \quad \)
Es gilt f(x)>0 und g(x)<0, dann folgt \((f * g)(x)<0\)
Es gilt die Produkt-Regel \((f * g)' = f' * g + f * g'\)
Die Dirac-Delta-Funktion ist eine Funktion der Form \(\delta : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
Die Dirac-Delta-Funktion $\delta(x)$ ist eine symbolische Schreibweise, welche nur als Faktor in einem Integranden sinnvoll interpretiert werden kann
Es gilt \(\int_{-1}^{1} x^2 \cdot \delta(x-2) \, dx = 4\)
Es gilt \(\int_{0}^{3} x^2 \cdot \delta(x-2) \, dx = 4\)
Um \(\int_{0}^{\infty} f(x) \cdot \delta(x-1) \, dx\)berechnen zu können, verwendet man sinnvollerweise eine partielle Integration
Um \(\int_{0}^{\infty} f(x) \cdot \delta(2x) \, dx\) berechnen zu können, verwendet man sinnvollerweise eine Substitution
Differentialgleichungen spielen in der Physik eine grosse Rolle.
Die Lösung einer Differentialgleichung, sofern überhaupt eine existiert, ist in jedem Fall eine reelle Zahl.
Jede Differentialgleichung hat entweder überhaupt keine oder genau eine Lösung.
Ein Anfangswertproblem hat meistens unendlich viele Lösungen.
Eine Differentialgleichung kann sowohl linear inhomogen als auch auto nom sein.
Die Abkürzungen ODE und IVP kommen von den englischen Begriffen Order of Differential Equation bzw. Initial Value Problem.
Die ODE (16) hat den Grad 1.
Die ODE (16) ist zwar nicht linear, dafür aber separierbar.
Die Funktion \(y(x) = x+1\) ist eine Lösung der ODE (16).
Ist \(y_1(x)\) eine Lösung der ODE (16), dann ist auch \(y_2(x) := 2 · y_1\) eine Lösung.
Jede Lösung der ODE (16) ist monoton fallend.
Die ODE (16) hat statische Lösungen.
In jedem reellen Vektorraum kann genau eine Metrik definiert werden.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum legt in diesem Raum alle Längen, Flächen, Volumen bzw. Masse fest.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum legt in diesem Raum alle Winkel fest.
Zwei Vektoren in einem reellen Vektorraum haben bezüglich jeder Metrik die gleiche Länge.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum kann durch Angabe einer Basis mit zugehöriger Gram-Matrix definiert werden.
Zu jedem Skalar-Produkt können unendlich viele Metriken definiert wer den.
Jede ODE hat ein Richtungsvektorfeld.
Mit Hilfe des Richtungsvektorfeldes kann man eine ODE 1. Grades lösen.
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Flashcards
Im Modell der freien ungedämpften harmonischen Schwingungen werden äussere Anregungen vernachlässigt.
Die Frequenz einer freien ungedämpften harmonischen Schwingung lässt sich direkt aus der ODE ablesen.
Bei freien ungedämpften harmonischen Schwingungen in der Mechanik werden Störkräfte wie Reibung und Strömungswiderstand nicht betrachtet.
Ist x1 eine Lösung der ODE in (11), dann gilt dies auch für die Funktion x2 := -5 x1.
Sind x1 und x2 Lösungen des IVP (11), dann gilt dies auch für die Funktion x3 := x2 - x1.
Verdoppelt man sowohl x0 als auch v0, dann verdoppelt man die Amplitude der Lösung des IVP (11).
Die Amplitude der Lösung des IVP (11) hängt von \(\omega\) ab.
Die Frequenz der Lösung des IVP (11) ist unabhängig von den IC-Parametern x0 und v0.
Das IVP (60) beschreibt die Bewegung eines realen Feder-Pendels in der Mechanik.
Die Lösung des IVP (60) verläuft durch den Punkt (−2; 0).
Die Frequenz beträgt ν = 1.
Die Lösung des IVP (60) ist 2π-periodisch, das heisst \(x(t+2π) = x(t)\) für alle \(t ≥ t_0\).
Die Amplitude der Lösung des IVP (60) beträgt 5.
Die Phasenverschiebung der Lösung des IVP (60) beträgt π/4.
Mit Hilfe des Matrix-Exponentials können Rotationen und Lorent- Transformationen parametrisiert werden.
Das Matrix-Exponential ist für jede Matrix mit reellen oder komplexen Komponenten definiert.
Das Matrix-Exponential ist für jede quadratische Matrix mit reellen oder komplexen Komponenten definiert.
Das Matrix-Exponential wird mit Hilfe der Maclaurin-Entwicklung der natürlichen Exponentialfunktion definiert.
Es gilt \(e^0 = \mathbb{1}\).
1 = Einheits 1
Es gilt \(e^{A+B} = e^A ·e^B\)
Ist A symmetrisch, dann ist auch eA symmetrisch.
Ist A schiefsymmetrisch, dann ist auch eA schiefsymmetrisch.
Ist A nilpotent, dann ist auch eA nilpotent.
Ist A singulär, dann ist auch eA singulär.
Ist A orthogonal, dann ist auch eA orthogonal.
Ist A diagonalisierbar, dann ist auch eA diagonalisierbar.
A ist schiefsymmetrisch und B ist nilpotent.
\(e^{B/3}\) ist eine Drehmatrix.
Es gilt \(e^{2 \cdot A} = 2 \cdot A + 1\).
1 = Einheits 1
Es gilt \(e^{206·B}= e^{3·B}·e^{-3·B}\)
Ea gilt \(e^A · e^B=e^{A+B}\)
Es gilt det(B) = dim(ker(eB))
Das Modell der freien gedämpften harmonischen Schwingungen spielt in der Physik eine grosse Rolle.
Im Modell der freien gedämpften harmonischen Schwingungen wird die innere Dämpfung berücksichtigt.
Im Modell der freien gedämpften harmonischen Schwingungen wird die innere Dämpfung vernachlässigt.
Im Modell der freien gedämpften harmonischen Schwingungen werden äussere Anregungen berücksichtigt.
Im Modell der freien gedämpften harmonischen Schwingungen werden äussere Anregungen vernachlässigt.
Die Frequenz einer freien gedämpften harmonischen Schwingung lässt sich direkt aus der ODE ablesen.
Bei freien gedämpften harmonischen Schwingungen in der Mechanik wer den auch Störkräfte wie Reibung und Strömungswiderstand berücksichtigt.
Ist x1 eine Lösung der ODE in (25), dann gilt dies auch für die Funktion x2 := 7x1.
