Mahte 3
MC Mathematik 3
MC Mathematik 3
Es gilt \(\dot{f}(0) = 100\).
Es gilt \(lim_{t→∞}f(t) = 4\).
f kann einfach mit Hilfe des Ähnlichkeitssatzes berechnet werden.
f beschreibt eine freie, gedämpfte harmonische Schwingung mit unge dämpfter Kreisfrequenz \(ω_0 = 6\).
f beschreibt eine freie, stark gedämpfte, harmonische Schwingung.
Es gilt f(0) = 5.
Es gilt \(lim_{t→∞}f(t) = 5\).
Es gilt \(lim_{t→∞}\dot{f}(t) = 0\).
Die Faltung spielt in der Signalverarbeitung eine grosse Rolle.
Die Faltung ist für alle Paare von Funktionen \(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{C}\) definiert.
Die Faltung von zwei Funktionen ist eine komplexe Zahl.
Es gilt \(f * g - g * f = 0 \quad \)
Es gilt f(x)>0 und g(x)<0, dann folgt \((f * g)(x)<0\)
Es gilt die Produkt-Regel \((f * g)' = f' * g + f * g'\)
Die Dirac-Delta-Funktion ist eine Funktion der Form \(\delta : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
Die Dirac-Delta-Funktion $\delta(x)$ ist eine symbolische Schreibweise, welche nur als Faktor in einem Integranden sinnvoll interpretiert werden kann
Es gilt \(\int_{-1}^{1} x^2 \cdot \delta(x-2) \, dx = 4\)
Es gilt \(\int_{0}^{3} x^2 \cdot \delta(x-2) \, dx = 4\)
Um \(\int_{0}^{\infty} f(x) \cdot \delta(x-1) \, dx\)berechnen zu können, verwendet man sinnvollerweise eine partielle Integration
Um \(\int_{0}^{\infty} f(x) \cdot \delta(2x) \, dx\) berechnen zu können, verwendet man sinnvollerweise eine Substitution
Differentialgleichungen spielen in der Physik eine grosse Rolle.
Die Lösung einer Differentialgleichung, sofern überhaupt eine existiert, ist in jedem Fall eine reelle Zahl.
Jede Differentialgleichung hat entweder überhaupt keine oder genau eine Lösung.
Ein Anfangswertproblem hat meistens unendlich viele Lösungen.
Eine Differentialgleichung kann sowohl linear inhomogen als auch auto nom sein.
Die Abkürzungen ODE und IVP kommen von den englischen Begriffen Order of Differential Equation bzw. Initial Value Problem.
Die ODE (16) hat den Grad 1.
Die ODE (16) ist zwar nicht linear, dafür aber separierbar.
Die Funktion \(y(x) = x+1\) ist eine Lösung der ODE (16).
Ist \(y_1(x)\) eine Lösung der ODE (16), dann ist auch \(y_2(x) := 2 · y_1\) eine Lösung.
Jede Lösung der ODE (16) ist monoton fallend.
Die ODE (16) hat statische Lösungen.
In jedem reellen Vektorraum kann genau eine Metrik definiert werden.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum legt in diesem Raum alle Längen, Flächen, Volumen bzw. Masse fest.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum legt in diesem Raum alle Winkel fest.
Zwei Vektoren in einem reellen Vektorraum haben bezüglich jeder Metrik die gleiche Länge.
Die Metrik in einem reellen Vektorraum kann durch Angabe einer Basis mit zugehöriger Gram-Matrix definiert werden.
Zu jedem Skalar-Produkt können unendlich viele Metriken definiert wer den.
Jede ODE hat ein Richtungsvektorfeld.
Mit Hilfe des Richtungsvektorfeldes kann man eine ODE 1. Grades lösen.
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Ist die Originalfunktion vom Typ \(f : \mathbb{R}_0^+ \to \mathbb{R}\) dann ist die Bildfunktion vom Typ \(F : \mathbb{R}_0^+ \to \mathbb{C}\)
Die Laplace-Rücktransformation ist typischerweise einfacher zu berechnen als die Laplace-Transformation.
Die Bild-Funktion einer konstanten Funktion ist konstant.
Gilt \(f(t) \overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow} F(s)\), dann folgt \(2 \cdot f(t) \overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow} 2 \cdot F(s)\)
Gilt \(f(t) \overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow} F(s)\) und \(g(t) \overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow} G(s)\), dann folgt \(F(s) + G(t)\overset{\mathcal{L}^{-1}}{\longleftarrow} f(t)+g(t)\)
Es gilt \(1/s\overset{\mathcal{L}^{-1}}{\longleftarrow} 1\)
Es gilt \(s\overset{\mathcal{L}^{-1}}{\longleftarrow} 1/t\)
Die Laplace-Transformation von \(f(t) = t^3\) kann durch mehrfache partielle Integration berechnet werden
Der Ähnlichkeitssatz kann mit Hilfe der Substitutionsregel der Integralrechnung bewiesen werden
Gemäß Verschiebungssatz gilt \( \sigma(t-2) \cdot (t-2) \overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow} \frac{1}{(s-2)^2}\)
Gemäß Verschiebungssatz gilt \( (t-2) \overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow} \frac{e^{-2s}}{s^2}\)
it Hilfe der Grenzwertsätze kann überprüft werden, ob die Grenzwerte der Original-Funktion für \(t \to 0\) bzw. \(t \to \infty\) existieren.
Aus dem Dämpfungssatz folgt \(e^{at} \overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow} \frac{1}{s-a}\)
Gemäß Ableitungssatz korrespondiert jede lineare ODE mit konstanten Koeffizienten zu einer rein algebraischen Gleichung
f kann einfach mit Hilfe des Dämpfungssatzes berechnet werden.
f beschreibt eine freie, ungedämpfte harmonische Schwingung mit Kreis frequenz \(ω = 5\).
f beschreibt eine freie, schwach gedämpfte, harmonische Schwingung mit Dämpfungskonstante \(δ = 3\)
Es gilt f(0) = 4.
Es gilt \(\dot{f}(0) = 100\).
Es gilt \(lim_{t→∞}f(t) = 4\).
f kann einfach mit Hilfe des Ähnlichkeitssatzes berechnet werden.
f beschreibt eine freie, gedämpfte harmonische Schwingung mit unge dämpfter Kreisfrequenz \(ω_0 = 6\).
f beschreibt eine freie, stark gedämpfte, harmonische Schwingung.
Es gilt f(0) = 5.
Es gilt \(lim_{t→∞}f(t) = 5\).
Es gilt \(lim_{t→∞}\dot{f}(t) = 0\).
Die Faltung spielt in der Signalverarbeitung eine grosse Rolle.
Die Faltung ist für alle Paare von Funktionen \(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{C}\) definiert.
Die Faltung von zwei Funktionen ist eine komplexe Zahl.
Es gilt \(f * g - g * f = 0 \quad \)
Es gilt f(x)>0 und g(x)<0, dann folgt \((f * g)(x)<0\)
Es gilt die Produkt-Regel \((f * g)' = f' * g + f * g'\)
Die Dirac-Delta-Funktion ist eine Funktion der Form \(\delta : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
Die Dirac-Delta-Funktion $\delta(x)$ ist eine symbolische Schreibweise, welche nur als Faktor in einem Integranden sinnvoll interpretiert werden kann
Es gilt \(\int_{-1}^{1} x^2 \cdot \delta(x-2) \, dx = 4\)
Es gilt \(\int_{0}^{3} x^2 \cdot \delta(x-2) \, dx = 4\)
Um \(\int_{0}^{\infty} f(x) \cdot \delta(x-1) \, dx\)berechnen zu können, verwendet man sinnvollerweise eine partielle Integration
Um \(\int_{0}^{\infty} f(x) \cdot \delta(2x) \, dx\) berechnen zu können, verwendet man sinnvollerweise eine Substitution
