Statistik 1

Eine kontradiktorische Aussage ist immer falsch, da sich ihre Bestandteile logisch widersprechen. Auch sie ist in der Wissenschaft nutzlos, da sie nicht überprüfbar ist.

Falsifizieren bedeutet, eine Hypothese gezielt durch empirische Daten zu widerlegen. Laut Karl Popper ist dies ein zentraler Bestandteil wissenschaftlicher Methodik: Eine Aussage muss prinzipiell widerlegbar sein, um als wissenschaftlich zu gelten.

Eine Laboruntersuchung findet in einer kontrollierten Umgebung statt, in der Störvariablen weitgehend ausgeschlossen werden können. Sie ermöglicht hohe interne Validität, leidet aber oft unter eingeschränkter Übertragbarkeit (externe Validität).

Bei einer Felduntersuchung wird die Forschung im natürlichen Umfeld der Probanden durchgeführt. Sie bietet hohe ökologische Validität, aber geringere Kontrolle über Störvariablen.

Störvariablen sind Einflüsse, die das Ergebnis einer Untersuchung verfälschen können, ohne im Fokus der Forschung zu stehen. Werden sie nicht kontrolliert, gefährden sie die interne Validität.

Interne Validität bezeichnet das Ausmaß, in dem ein Ergebnis eindeutig auf die untersuchten Variablen zurückzuführen ist. Sie ist besonders bei kausalen Aussagen entscheidend.

Externe Validität beschreibt, wie gut sich Forschungsergebnisse auf andere Situationen, Personen oder Zeitpunkte verallgemeinern lassen. Sie ist besonders bei Feldstudien und realitätsnahen Experimenten relevant.

Randomisierung ist die zufällige Zuteilung von Versuchspersonen zu Experimentalbedingungen. Sie hilft, Störvariablen gleichmäßig zu verteilen und erhöht die interne Validität.

Die Forschungshypothese stellt eine Vermutung über einen Zusammenhang oder Effekt auf. Die Nullhypothese geht davon aus, dass kein Zusammenhang existiert – sie wird im statistischen Test geprüft und ggf. verworfen.

Skalenniveaus geben an, wie Messwerte interpretiert werden dürfen. Sie bestimmen, welche mathematischen Operationen und statistischen Verfahren zulässig sind.

Bei der Nominalskala werden Merkmale in Kategorien eingeordnet, ohne natürliche Reihenfolge (z. B. Geschlecht, Beruf). Nur Gleichheit oder Ungleichheit lassen sich hier feststellen.

Die Ordinalskala ordnet Merkmale in eine Rangfolge, aber ohne genaue Abstände (z. B. Schulnoten, Platzierungen). Aussagen über “mehr als” sind möglich, aber nicht über exakte Differenzen.

Die Intervallskala erlaubt sowohl Rangordnung als auch Aussagen über gleiche Abstände (z. B. Temperatur in °C). Es gibt jedoch keinen natürlichen Nullpunkt, daher sind Verhältnisaussagen nicht zulässig.

Verhältnisskalen haben einen absoluten Nullpunkt und erlauben sinnvolle Aussagen über Verhältnisse (z. B. Gewicht, Einkommen). Alle Rechenoperationen sind zulässig.

Nach Stevens unterscheiden sich Skalen in drei mathematischen Eigenschaften: Identität (Unterscheidbarkeit), Ordnung (Reihenfolge) und Abstand/Gleichheit der Differenzen (Intervallskalierung). Bei Verhältnisskalen kommt zusätzlich ein natürlicher Nullpunkt hinzu.

Transformationen sind mathematische Umformungen von Skalenwerten, etwa zur Normierung oder Vergleichbarkeit. Welche Transformationen zulässig sind, hängt vom Skalenniveau ab (z. B. nur Permutationen bei Nominalskalen).

Ein empirisches Relativ ist die Menge an untersuchten Objekten und der darauf definierten beobachtbaren Beziehungen. Es bildet die reale Grundlage für die Messung eines Merkmals.

Das numerische Relativ ist das System aus Zahlen und mathematischen Relationen, dem die gemessenen Objekte zugeordnet werden. Es dient der mathematischen Repräsentation des empirischen Relativs.

Ein Maß für den zentralen Wert einer Reihe positiver Zahlen.

• • Durchschnittswerte von Verhältnissen oder Wachstumsraten

• Das Fechnersche Gesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen einem physikalischen Reiz und der subjektiven Empfindung dieses Reizes.
• Es basiert auf der Idee, dass die Wahrnehmung nicht linear, sondern logarithmisch zur Reizintensität ansteigt.
• Mathematisch:
  E = k · log(R/R₀)
  wobei E die Empfindung, R die Reizstärke, R₀ der Reizschwellenwert und k eine Konstante ist.
• Beispiel: Eine Lampe wird heller, aber das subjektive Helligkeitsempfinden verdoppelt sich nicht, wenn man die Lichtintensität verdoppelt.
• Dieses Gesetz stammt aus der Psychophysik, einem Gebiet, das objektive Reize mit subjektiven Wahrnehmungen verbindet.

In vielen psychologischen, sportlichen oder sprachwissenschaftlichen Studien sollen subjektive Bewertungen (z.B. „Welches Bild gefällt dir besser?“ oder „Wer ist stärker?“) quantifizierbar gemacht werden. Ein bewährter Weg dazu sind Paarvergleiche, die mithilfe mathematischer Modelle wie dem BTL-Modell oder ELO-Ratings in Skalenwerte überführt werden können.

Aber was sind Paarvergleiche eigentlich?

Bei einem Paarvergleich beurteilen Personen jeweils zwei Alternativen gleichzeitig (z.B. A vs. B) und entscheiden, welches sie bevorzugen.

Ziel: Die individuelle Entscheidung wird als stochastischer Prozess interpretiert - d.h., jede Alternative hat eine gewisse Wahrscheinlichkeit, bevorzugt zu werden.

Statistisches Modell, dass aus den Ergebnissen von Paarvergleichen Wahrscheinlichkeiten für das Gewinnen/Bevorzugen berechnet. Es ordnet jedem Objekt einen „Skalen-Wert“, z.B. Attraktivität, zu.

Ein wertbasiertes Bewertungssystem, das z.B. im Schach zur Einschätzung der Spielstärke von Spielern verwendet wird.

Kernidee: Jeder Spieler hat eine numerische Wertung. Nach einem Spiel wird diese angepasst - je nachdem, ob das Ergebnis besser oder schlechter als erwartet war.

Beispiel: Psychology EloRater

Teilnehmern an der Online-Umfrage werden Personen aus der Psychologiegeschichte paarweise dargeboten, mit der Frage: „Welche Person hatte den größeren Einfluss auf die Disziplin Psychologie?“

Die Ratings = Messwerte für die wahrgenommene Bedeutsamkeit werden aus der Präferenzwahrscheinlichkeit kontinuierlich berechnet.

• • Zu Beginn erhalten alle Psychologen den Einflusswert R = 1200

• • die Präferenzwahrscheinlichkeiten sind am Anfang alle 0.5

• • zwei Psychologen werden ausgewählt und die Präferenzwahrscheinlichkeit wird berechnet

• • Wenn die VP gewählt hat, gibt es einen „Gewinner“. Die Ratings werden nun adjustiert (Der Einflusswert des Gewinners steigt, der des Verlierers sinkt.)

• Die relative Häufigkeit gibt an, wie groß der Anteil eines bestimmten Werts an der Gesamtheit ist.
• Sie berechnet sich als:
  relative Häufigkeit = absolute Häufigkeit / Gesamtanzahl
• Beispiel: Wenn 8 von 20 Schülern Äpfel mögen, ist die relative Häufigkeit 8/20 = 0,4 bzw. 40 %.
• Sie erlaubt Vergleiche zwischen Gruppen, auch wenn unterschiedlich viele Personen befragt wurden.
• Wird in Prozentangaben oder als Bruch/Dezimalzahl dargestellt und ist besonders hilfreich für Diagramme (z. B. Kreisdiagramme).

• Die kumulierte Häufigkeit ist die aufsummierte Häufigkeit bis zu einem bestimmten Wert oder einer Kategorie.
• Es gibt sie in zwei Formen:
  • Kumulierte absolute Häufigkeit: Summe der absoluten Häufigkeiten bis zu einem bestimmten Wert.
  • Kumulierte relative Häufigkeit: Summe der relativen Häufigkeiten (oft zur Darstellung von Verteilungen genutzt).
• Beispiel: Notenverteilung in einer Klasse:
  Note 1 – 2 Schüler, Note 2 – 5 Schüler, Note 3 – 7 Schüler → kumuliert bis Note 3: 2+5+7 = 14 Schüler.
• Sie ist besonders nützlich zur Bestimmung von Median, Quartilen, Perzentilen oder zur Erstellung der empirischen Verteilungsfunktion.
• Wird häufig in Tabellen und Stufen-/Verteilungsgrafiken visualisiert.