MC LinAlg FS25
MC LinAlg FS25
MC LinAlg FS25
Ist \(B ∈ M(n,n,ℝ)\) mit \(p_B = p_A\), dann folgt A = B.
M steht für ein doppelstrich M
Für \(n = 2\) gilt\( A^2 = tr(A)·A−det(A)·I\)
I steht für die Einheitsmatrix
Lineare Abbildungen erkennt man daran, dass sie die Struktur jeder Linearkombination erhalten.
Lineare Abbildungen lassen sich zwischen beliebigen Vektorräumen definieren.
Lineare Abbildungen lassen sich ausschliesslich zwischen Vektorräumen über dem gleichen Zahlenkörper definieren.
Lineare Abbildungen lassen sich ausschliesslich zwischen Vektorräumen der gleichen Dimension definieren.
Der Kern einer linearen Abbildung ist niemals leer.
Das Bild einer linearen Abbildung ist niemals leer.
Es gilt \( D \in \mathbb{M}(4, 3, \mathbb{R})\)
Es gilt \(img(D) = P_2\).
Es gilt ker(D) = {0}.
Es gilt \(\det(\tilde{D}) = 0\).
Es gilt \(\dim(ker(\tilde{D^2)}) = 2\)
Es gilt \(\operatorname{spec}(\tilde{D}) = \{0, 1, 2, 3\}\)
Es gilt \(img(A) = \mathbb{R}^ 3\)
Es gilt \(ker(A^{12}) \neq \{0\}\)
Es gilt \( B ∈ O(3)\)
Es gilt \(tr(2 · A + √ 2 · B) = 0\)
Die Spalten-Vektoren von B sind linear unabhängig
Es gilt \(ker(B^3) = ker(B)\)
Jede Drehmatrix in 2D hat eine Inverse.
Jede Drehmatrix in 2D ist schiefsymmetrisch.
Jede Drehmatrix in 2D ist orthogonal.
Für jedes \(n ∈ N\) und jeden Winkel \(α\) gilt \(R^n(α) = R(n·α)\).
Für alle Winkel \(α\) und \(β\) gilt \(R(β) · R(α) = R(α) · R(β)\), d.h. alle Drehmatrizen in 2D kommutieren untereinander.
Die Matrix P der Punktspiegelung ist eine Drehmatrix.
A ist schiefsymmetrisch.
Es gilt \(A^{100} = I\).
I steht für die Einheitsmatrix
Es gilt \(A^6=R(−π/2)\).
Es gibt ein\( n∈N\), so dass \(A^n=P\).
Die inverse Matrix \(A^{-1}\) von \(A\) ist gerade \(A^T\).
Es gilt \(A= 1/\sqrt{2} ·I+ 1/ \sqrt{2} ·R(π/2)\).
I steht für die Einheitsmatrix
A ist symmetrisch.
Es gilt \(A^{12} = A^{63}\)
Es gilt \(A^7=R(π/3)\)
Es gibt ein \(n∈ℕ\), so dass \(A^n=\mathbb{i}\)
i steht für imaginäre Zahl
Es git \(A^{-1} = -A\)
Es gilt\( A=−I+\sqrt{3}·R(π/2)\).
I steht für die Einheitsmatrix
Die Matrix B ist symmetrisch.
Die Matrix A beschreibt eine Spieglung.
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Es gilt \( A+B=0\).
Es gibt ein \(n∈ℕ\), so dass \(A^n=I\).
I steht für die Einheitsmatrix
Es gilt \(A^6=B\).
Die Matrix \(C=A^3·B\) beschreibt die Punktspiegelung am Ursprung.
In jedem Fall gilt \(ker(A)\neq∅\).
Für \(m=2\) und \(n=3\) gilt in jedem Fall\(\ker(A) \neq \{ 0 \}\).
Für \(m=3\) und \(n=2\) gilt in jedem Fall \(\ker(A) \neq \{ 0 \}\).
Ist \(n=m\) und A regulär, dann gilt \(\ker(A) \neq \{ 0 \}\).
Ist \(n=m \) und A singulär, dann gilt \(\ker(A) \neq \{ 0 \}\).
Für \(m=3\) und \(n=4\) gilt \(dim(ker(A)) +dim(img(A)) =7\).
Die Spur ist für jede Matrix definiert.
Alleine anhand ihrer Spur kann man nicht beurteilen, ob eine quadratische Matrix regulär oder singulär ist.
Für alle \(A ∈ O(n)\) gilt \(tr(A^T ·A)= n.\)
Für alle\( A,B ∈ M(n,n,ℝ)\) gilt \(tr(A·B −B ·A) = 0.\)
Für alle\( A,B ∈ M(n,n,ℝ)\) gilt \(tr(A·B) = tr(A)·tr(B)\).
Gilt \(tr(A) = 0\), dann ist die Matrix A schiefsymmetrisch
Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert.
Alleine anhand ihrer Determinante kann man nicht beurteilen, ob eine quadratische Matrix regulär oder singulär ist.
Der Betrag der Determinante einer Matrix ist gerade das Mass (Fläche, Volumen, etc...), das von ihren Zeilen-Vektoren aufgespannt wird.
Für \(A∈M(n,n,ℝ)\) und \(Q∈SO(n )\) gilt \(det(Q·A)=det(A)\).
Für alle \(A,B∈M(n,n,ℝ)\) gilt \(det(A+B)=det(A)+det(B)\).
Gilt \(A=A^{−1}\), dann folgt \(\det(A) \in \{-1, 1\}\).
Die Matrix A ist orthogonal.
Die Matrix B beschreibt eine Spiegelung an einer Geraden.
Es gilt \(det(B)=tr(A)+tr(B)\).
Es gibt ein \(n∈\mathbb{N}\), so dass \(B^n=0\).
Die Matrizen A und B kommutieren nicht, das heisst, es gilt \(A·B\neq B·A\).
Es gilt \(B = B^{-1}\)
Die Matrix A ist singulär.
Die Matrix \(A^{102}\) ist symmetrisch.
Es gilt \(det(B) = det(A)\)
Es gilt \(det(A) = tr(A)\).
Es gilt \(B^{56} = I\)
I steht für die Einheitsmatrix
Es gilt \(A·B=B·A\).
Die Definition des charakteristischen Polynoms beruht auf dem Begriff der Determinanten.
Der Vektorraum ist die fundamentale Struktur der linearen Algebra.
Das charakteristische Polynom ist für alle reellen Matrizen definiert.
Jeder Vektorraum basiert auf einem Skalar-Körper.
Der Grad des charakteristischen Polynoms hängt nur von den Dimensionen der Matrix ab.
In jedem Vektorraum ist eine Addition zwischen den Vektoren definiert.
