MC LinAlg FS25
MC LinAlg FS25
MC LinAlg FS25
Ist \(B ∈ M(n,n,ℝ)\) mit \(p_B = p_A\), dann folgt A = B.
M steht für ein doppelstrich M
Für \(n = 2\) gilt\( A^2 = tr(A)·A−det(A)·I\)
I steht für die Einheitsmatrix
Lineare Abbildungen erkennt man daran, dass sie die Struktur jeder Linearkombination erhalten.
Lineare Abbildungen lassen sich zwischen beliebigen Vektorräumen definieren.
Lineare Abbildungen lassen sich ausschliesslich zwischen Vektorräumen über dem gleichen Zahlenkörper definieren.
Lineare Abbildungen lassen sich ausschliesslich zwischen Vektorräumen der gleichen Dimension definieren.
Der Kern einer linearen Abbildung ist niemals leer.
Das Bild einer linearen Abbildung ist niemals leer.
Es gilt \( D \in \mathbb{M}(4, 3, \mathbb{R})\)
Es gilt \(img(D) = P_2\).
Es gilt ker(D) = {0}.
Es gilt \(\det(\tilde{D}) = 0\).
Es gilt \(\dim(ker(\tilde{D^2)}) = 2\)
Es gilt \(\operatorname{spec}(\tilde{D}) = \{0, 1, 2, 3\}\)
Es gilt \(img(A) = \mathbb{R}^ 3\)
Es gilt \(ker(A^{12}) \neq \{0\}\)
Es gilt \( B ∈ O(3)\)
Es gilt \(tr(2 · A + √ 2 · B) = 0\)
Die Spalten-Vektoren von B sind linear unabhängig
Es gilt \(ker(B^3) = ker(B)\)
Jede Drehmatrix in 2D hat eine Inverse.
Jede Drehmatrix in 2D ist schiefsymmetrisch.
Jede Drehmatrix in 2D ist orthogonal.
Für jedes \(n ∈ N\) und jeden Winkel \(α\) gilt \(R^n(α) = R(n·α)\).
Für alle Winkel \(α\) und \(β\) gilt \(R(β) · R(α) = R(α) · R(β)\), d.h. alle Drehmatrizen in 2D kommutieren untereinander.
Die Matrix P der Punktspiegelung ist eine Drehmatrix.
A ist schiefsymmetrisch.
Es gilt \(A^{100} = I\).
I steht für die Einheitsmatrix
Es gilt \(A^6=R(−π/2)\).
Es gibt ein\( n∈N\), so dass \(A^n=P\).
Die inverse Matrix \(A^{-1}\) von \(A\) ist gerade \(A^T\).
Es gilt \(A= 1/\sqrt{2} ·I+ 1/ \sqrt{2} ·R(π/2)\).
I steht für die Einheitsmatrix
A ist symmetrisch.
Es gilt \(A^{12} = A^{63}\)
Es gilt \(A^7=R(π/3)\)
Es gibt ein \(n∈ℕ\), so dass \(A^n=\mathbb{i}\)
i steht für imaginäre Zahl
Es git \(A^{-1} = -A\)
Es gilt\( A=−I+\sqrt{3}·R(π/2)\).
I steht für die Einheitsmatrix
Die Matrix B ist symmetrisch.
Die Matrix A beschreibt eine Spieglung.
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Der Grad des charakteristischen Polynoms hängt sowohl von den Dimensionen der Matrix als auch von den Werten der Komponenten ab.
In jedem Vektorraum ist eine Multiplikation zwischen den Vektoren definiert.
Das charakteristische Polynom einer reellen 2×2-Matrix hat mindestens eine reelle Nullstelle.
In jedem Vektorraum ist eine Multiplikation zwischen den Vektoren und den reellen Zahlen definiert.
Das charakteristische Polynom einer reellen 3×3-Matrix hat mindestens eine reelle Nullstelle.
Die wesentliche Eigenschaft eines Vektorraums ist die Abgeschlossenheit unter Bildung von Linearkombinationen.
Jede quadratische Matrix hat mindestens einen reellen Eigenwert.
Sind \(v⃗\) und \(w⃗\) zwei Eigenvektoren einer Matrix, dann gilt dies auch für \(u⃗:=v⃗+w⃗\).
Sind \(v⃗\) und \(w⃗\) zwei Eigenvektoren einer Matrix zum gleichen Eigenwert λ, dann gilt dies auch für \(u⃗:=v⃗+w⃗\).
Eine Matrix \(A∈M(3,3,ℝ)\) hat maximal drei verschiedene Eigenwerte.
M steht für ein doppelstrich M
Gilt spec(A)={0}, dann gilt tr(A)=0.
Gilt spec(A)∋0, dann gilt det(A)=0.
Das charakteristische Polynom von A hat den Grad 1.
A ist orthogonal.
Es gilt spec(B) = spec(A).
B hat genau zwei verschiedene Eigenwerte.
\(\sqrt{2} \cdot \vec{\hat{e}}_{x}\) ist ein Eigenvektor von B.
Es gilt \(A^{12} ·\vec{\hat{e}}_{y}=−B·\vec{\hat{e}}_{z}\)
Ist A symmetrisch, dann ist \(p_A\) eine gerade Funktion.
Ist A singulär, dann gilt \(p_A(0) = 0\).
Ist A orthogonal, dann gilt \(p_A(1) = 0\).
Ist A diagonal, dann zerfällt \(p_A\) in Linearfaktoren.
Ist \(B ∈ M(n,n,ℝ)\) mit \(p_B = p_A\), dann folgt A = B.
M steht für ein doppelstrich M
Für \(n = 2\) gilt\( A^2 = tr(A)·A−det(A)·I\)
I steht für die Einheitsmatrix
Lineare Abbildungen erkennt man daran, dass sie die Struktur jeder Linearkombination erhalten.
Lineare Abbildungen lassen sich zwischen beliebigen Vektorräumen definieren.
Lineare Abbildungen lassen sich ausschliesslich zwischen Vektorräumen über dem gleichen Zahlenkörper definieren.
Lineare Abbildungen lassen sich ausschliesslich zwischen Vektorräumen der gleichen Dimension definieren.
Der Kern einer linearen Abbildung ist niemals leer.
Das Bild einer linearen Abbildung ist niemals leer.
Es gilt \( D \in \mathbb{M}(4, 3, \mathbb{R})\)
Es gilt \(img(D) = P_2\).
Es gilt ker(D) = {0}.
Es gilt \(\det(\tilde{D}) = 0\).
Es gilt \(\dim(ker(\tilde{D^2)}) = 2\)
Es gilt \(\operatorname{spec}(\tilde{D}) = \{0, 1, 2, 3\}\)
Es gilt \(img(A) = \mathbb{R}^ 3\)
Es gilt \(ker(A^{12}) \neq \{0\}\)
Es gilt \( B ∈ O(3)\)
Es gilt \(tr(2 · A + √ 2 · B) = 0\)
