MC LinAlg FS25
MC LinAlg FS25
MC LinAlg FS25
Ist \(B ∈ M(n,n,ℝ)\) mit \(p_B = p_A\), dann folgt A = B.
M steht für ein doppelstrich M
Für \(n = 2\) gilt\( A^2 = tr(A)·A−det(A)·I\)
I steht für die Einheitsmatrix
Lineare Abbildungen erkennt man daran, dass sie die Struktur jeder Linearkombination erhalten.
Lineare Abbildungen lassen sich zwischen beliebigen Vektorräumen definieren.
Lineare Abbildungen lassen sich ausschliesslich zwischen Vektorräumen über dem gleichen Zahlenkörper definieren.
Lineare Abbildungen lassen sich ausschliesslich zwischen Vektorräumen der gleichen Dimension definieren.
Der Kern einer linearen Abbildung ist niemals leer.
Das Bild einer linearen Abbildung ist niemals leer.
Es gilt \( D \in \mathbb{M}(4, 3, \mathbb{R})\)
Es gilt \(img(D) = P_2\).
Es gilt ker(D) = {0}.
Es gilt \(\det(\tilde{D}) = 0\).
Es gilt \(\dim(ker(\tilde{D^2)}) = 2\)
Es gilt \(\operatorname{spec}(\tilde{D}) = \{0, 1, 2, 3\}\)
Es gilt \(img(A) = \mathbb{R}^ 3\)
Es gilt \(ker(A^{12}) \neq \{0\}\)
Es gilt \( B ∈ O(3)\)
Es gilt \(tr(2 · A + √ 2 · B) = 0\)
Die Spalten-Vektoren von B sind linear unabhängig
Es gilt \(ker(B^3) = ker(B)\)
Jede Drehmatrix in 2D hat eine Inverse.
Jede Drehmatrix in 2D ist schiefsymmetrisch.
Jede Drehmatrix in 2D ist orthogonal.
Für jedes \(n ∈ N\) und jeden Winkel \(α\) gilt \(R^n(α) = R(n·α)\).
Für alle Winkel \(α\) und \(β\) gilt \(R(β) · R(α) = R(α) · R(β)\), d.h. alle Drehmatrizen in 2D kommutieren untereinander.
Die Matrix P der Punktspiegelung ist eine Drehmatrix.
A ist schiefsymmetrisch.
Es gilt \(A^{100} = I\).
I steht für die Einheitsmatrix
Es gilt \(A^6=R(−π/2)\).
Es gibt ein\( n∈N\), so dass \(A^n=P\).
Die inverse Matrix \(A^{-1}\) von \(A\) ist gerade \(A^T\).
Es gilt \(A= 1/\sqrt{2} ·I+ 1/ \sqrt{2} ·R(π/2)\).
I steht für die Einheitsmatrix
A ist symmetrisch.
Es gilt \(A^{12} = A^{63}\)
Es gilt \(A^7=R(π/3)\)
Es gibt ein \(n∈ℕ\), so dass \(A^n=\mathbb{i}\)
i steht für imaginäre Zahl
Es git \(A^{-1} = -A\)
Es gilt\( A=−I+\sqrt{3}·R(π/2)\).
I steht für die Einheitsmatrix
Die Matrix B ist symmetrisch.
Die Matrix A beschreibt eine Spieglung.
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Cartes-fiches
Ein Vektor \(v⃗ ∈ R^3\) kann als reelle 3×1-Matrix aufgefasst werden.
Eine reelle 2 × 3-Matrix hat 8 Komponenten.
Wenn A eine 2′123 × 8′248-Matrix und B eine 8′248 × 9′178-Matrix ist, dann ist die Summe A+B definiert.
Wenn A eine 2′123 × 8′248-Matrix und B eine 8′248 × 9′178-Matrix ist, dann ist das Produkt A · B definiert.
Wenn \(u⃗\) und \(v⃗\) zwei Vektoren sind, dann ist das Produkt \(v⃗· u⃗^T\) definiert.
Für zwei beliebige, quadratische Matrizen gilt \( A · B = B · A\).
Für jede beliebige Matrix gilt \((((A^T)^T)^T)^T = (A^T)^T\).
Hat eine Matrix genau 11 Komponenten, dann handelt es sich um eine 11 ×1-Matrix oder um eine 1×11-Matrix.
Jede 5×8-Matrix hat genau 13 Komponenten.
Wenn A eine 23×45-Matrix und B eine 45×22-Matrix ist, dann ist das Produkt \(A·B\) definiert.
Wenn A eine 16×20-Matrix und B eine 16×30-Matrix ist, dann ist das Produkt \(A^T ·B\) definiert.
Für zwei beliebige 2×2-Matrizen A und B mit \(A=B\) gilt \(A·B\neq B·A\).
Für jede beliebige Matrix gilt \((((A^T)^T)^T)^T = A^T\).
Ist eine 2×2-Matrix A sowohl symmetrisch als auch schiefsymmetrisch, dann gilt \(A=0\).
Jedes LGLS mit genau einer rechten Seite kann in Matrix-Form (1) geschrieben werden.
Die Variablen des LGLS (1) sind gerade die Komponenten des Vektors \(x⃗\).
Für \(\vec{b} =0\) hat das LGLS (1) in jedem Fall mindestens eine Lösung.
Das LGLS (1) kann in jedem Fall durch Multiplikation mit der inversen Matrix \(A^{-1}\) gelöst werden.
Das LGLS (1) kann genau dann durch Multiplikation mit der inversen Matrix \(A^{-1}\) gelöst werden, wenn es eindeutig lösbar ist.
Das LGLS (1) kann genau dann durch Multiplikation mit der inversen Matrix \(A^{-1}\) gelöst werden, wenn es eindeutig lösbar ist und gilt \(m = n\).
Jede quadratische Matrix hat eine Inverse.
Nur quadratische Matrizen können eine Inverse haben.
Ob eineMatrix invertierbar ist, kann mit Hilfe des Gauss-Jordan Verfahrens überprüft werden.
Ist A invertierbar, dann gilt in jedem Fall \((A^{-1})^{-1} = A\).
Sind B und C invertierbar und gilt \(A=B·C\), dann folgt \(A^{−1}=B^{−1}·C^{−1}\)
Gilt \(A=A^{−1}\), dann folgt \(A = I\)
I steht für die Einheitsmatrix
Der gesamte Code kann ohne Fehlermeldung in Python/Numpy ausgeführt werden.
Die Variable A enthält eine Diagonal-Matrix.
Die Variable A enthält eine quadratische Matrix.
Die Variable B enthält eine 2 × 2-Matrix.
Die Variable B enthält eine symmetrische Matrix.
Es gilt \(B^1 _1 = 6\).
Jede Abbildung der Form\( a : ℝ^m → ℝ^n\) kann durch eine n × m-Matrix beschrieben werden.
Jede lineare Abbildung der Form \(a : ℝ^n → ℝ^n\) kanndurcheine quadratische Matrix beschrieben werden.
Die Funktion \(f : ℝ → ℝ\) mit \(f(x) := 2x\) ist eine lineare Abbildung im Sinne der linearen Algebra.
Die Funktion \(f : ℝ → ℝ\) mit \(f(x) := 3x+1\) ist eine lineare Abbildung im Sinne der linearen Algebra.
Für jede lineare Abbildung \(a : ℝ^m → ℝ^n\) gilt \(a(0) = 0\).
Eine lineare Abbildung ist genau dann umkehrbar, wenn sie durch eine reguläre Matrix beschrieben wird.
Die Matrizen A und B sind schiefsymmetrisch.
Die Matrix B beschreibt die Drehung um den Ursprung im Gegenuhrzeigersinn um den Winkel \(−π/2\).
