Analysis I

Glg umformen, sodass ich Wurzelziehen und als quadr. Glg lösen kann mittels der Mitternachtsformel

Ein weiterer Trick, ist die komplexe Zahl in das kartesische Koordinatensystem zu übersetzen, d.h. mit x und y Koordinate

• Jedes Polynom im Komplexen besitzt mind. 1 NS
• Jedes Polynom n.Grades kann in n nicht zwigenderweise verschiedene Linearfaktoren zerlegt werden, wobei \(z_i\) die NS sind
• Sei komplexes Polynom mit reellen Koeffizienten; die NS kommen jeweils paarweise mit den jeweiligen komplex Konjugierten vor; sollte der Grad des Polynoms ungerade sein, so ist mind. 1 NS reell

\(Tangentialvektor = \lim\limits_{t\to0} = (\begin{matrix} x'(t_0) \\ y'(t_0) \end{matrix}) = r'(t_0)\)

\(Betrag/Länge=||r'(t_0)||=\sqrt{x'(t_0)^2+y'(t_0)^2}\)

Interpretation:

• Momentane Änderungsrate der Kurve; d.h. der Betrag/Länge des T.vektors ist die Geschwindigkeit und die Richtung des T.vektors ist auch die momentane Richtung der Kurve
• Vektor parallel zur Tangente am Punkt t_0
•  

\(T(s) = r(t_0) +s*r'(t_0)\)

mit \(r(t_0) = \begin{matrix}x(t_0)\\y(t_0)\end{matrix};r'(t_0) = \begin{matrix}x'(t_0)\\y'(t_0)\end{matrix}\)

Kurve: \(\kappa (r(t))= \frac{1}{R} = \frac{y''(t)*x'(t)-y'(t)*x''(t)}{||r'(t)||^3}\), \(||r'(t_0)||=\sqrt{x'(t_0)^2+y'(t_0)^2}\)

Funktion: \(\kappa (t)= \frac{1}{R} = \frac{f''(t)}{(1+f'(t)^2)^{\frac{3}{2}}}\)

Interpretation:

• Fkt, die beschreibt, wie die Kurve sich an einem Punkt krümmt
• Approximation mit sog. Schmiegekreisen -> Kreis mit der gleichen Krümmung an einem Punkt
• unabhängig von der Parametrisierung

1. nimmt der Winkel ab und die Kurve ist rechtsgekrümmt
2. nimmt der Winkel zu und die Kurve ist linksgekrümmt

\(E_c(r(t)) =( \begin{matrix}x(t_0)\\y(t_0)\end{matrix})+\frac{1}{\kappa(r(t_0))}*(\frac{1}{||r'(t_0||}*(\begin{matrix}-y'(t_0)\\x'(t_0)\end{matrix}))\)

Dies entspricht: Startpunkt + Radius * Einheitsnormale/Normalenvektor

Interpretation:

• Die Evolute ist der geometrische Ort, also die Menge, aller Krümmungsmittelpunkte der Schmiegekreise eine Kurve/Funktion
• unabhängig von Param.

\(1\)

\(1\)

Eine Fkt ist stetig, falls alle Stellen des Def.bereichs stetig sind. D.h. 

• f ist an alle Stellen \(\hat{x}\) definiert,
• der \(\lim\limits_{x\to\hat{x}}f(x)\) existiert
• und dieser gleich \(f(\hat{x})\) ist

Sei \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) eine stetige Funktion mit abgeschlossenem Intervall; f nimmt jeden Wert zwischen f(a) und f(b) mind. 1 Mal an, somit existieren hier auch globale Min. und Max.

Sei \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) eine stetige Funktion mit abgeschlossenem Intervall; falls f(a)*f(b) < 0 ist, dann existiert mind. 1 Nullstelle

1. Bisektionsverfahren:
   1. Intervall finden, sodass f(a)*f(b)<0
   2. Intervall in der Mitte zerlegen
   3. Intervall ab Mitte entweder nach rechts oder links so wählen, sodass das Produkt der Randwerte negativ sind
   4. neues Intervall nehmen und wieder in der Mitte teilen
   5. Schritte wiederholen bis NS zufriedenstellend approximiert ist, d.h. auf gewünschte Dezimalstellen
2. Newton Verfahren
   1. \(x_0\) wählen
   2. Tangente in \((x_0, f(x_0))\) mit der x-Achse schneiden und nächstes 'x_0' erhalten; verallgemeinert heisst das: \(x_{n+1} = x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\)
   3. Schritte wiederholen bis NS zufriedenstellend approximiert ist, d.h. auf gewünschte Dezimalstellen

\(f'(x_0) = \frac{df}{dx}(x_0) = \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)

Interpretation:

• Beschreibt die Ableitung einer Funktion und entspricht der momentanen Änderungsrate der Funktion

Es handelt sich um das beste Polynom 1. Grades and der festen Stelle \((x_0, f(x_0))\), und die 1. Ableitung stimmt mit der von f(x) überein; \(x_0 \in D\)

\(y = f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)\)

1. kritische Stellen einer Funktion finden durch das Lösen der Gleichung \(f(x)=0\) (zu lösen)
2. Randpunkte identfizieren
3. Die Werte der x-Stellen ausrechnen durch Einsetzen in die Funktion und diese auswerten

Sie ist streng monoton steigend (bzw. fallend)

Falls:

• \(f''(x) <0:\) Lokales Max.; f ist rechtsgekrümmt und monoton fallend (sad smiley)
• \(f''(x) >0:\) Lokales Min.; f ist linksgekrümmt und monoton steigend (happy smiley)
• \(f''(x) =0:\) Terassenpunkt (aber nur falls \(f'(x)=f''(x) =0\))

(Beide sind reine Existenzaussagen)

Satz von Rolle:

Sei \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) eine stetige, auf (a,b) diff'bare Funktion mit abgeschlossenem Intervall mit f(a)=f(b); es gibt eine Zwischenstelle c, sodass f'(c) = 0

ZWS:

Sei \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) eine stetige, auf (a,b) diff'bare Funktion mit abgeschlossenem Intervall; es gibt eine Zwischenstelle c, sodass die Steigung bei c gleich der Sekantensteigung zwischen den Randpunkten ist

\(f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{a-b}\)

• Bei der Integration ist aufzupassen: n =/= -1 beim Integrieren, da sonst der Nenner = 0; wird eigentlich schon berücksichtigt durch das Hinzufügen der Konstante (bei n=-1 wird x zu einer Konstante, welche mit C bereits berücksichtigt wird

• eindeutig bestimmte Zahl \(\rho \in [0,\infty]\), sodass Potenzreihe konvergiert für alle \(x \in (-\rho,\rho)\) konvergiert und für alle \(x \notin [-\rho,\rho]\) divergiert
• für \(\pm\rho\) muss separat geprüft werden, indem diese in die Potenzreihe eingesetzt werden und analysiert, ob diese konvergiert oder divergiert

Dazugehörige Funktion?

Potenzreihe: \(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty x^k\)

• Def.bereich: \(\forall x \in (-1,1)\)

Bem.: Aufgeleitet gibt es die Potenzreihe von \(ln(|1-x|) = -\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\frac{ x^k}{k}\)

Ja, innerhalb des Konvergenzbereichs können wir Potenzreihen (die denselben Entwicklungspunkt haben) genau wie Polynome addieren und multiplizieren, und gliedweise differenzieren und integrieren.

Ausserdem gilt für eine Potenzreihe \(P(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n*x^n\) mit Konvergenzradius ρ, dass die Funktion P(x) auf (−ρ, ρ) differenzierbar und integrierbar ist.

Der Konvergenzradius der abgeleiteten/integrierten Potenzreihen ist der Konvergenzradius ρ der ursprünglichen Reihe. 

Es gibt 2 Formeln. Je nach der Form der Reihe, ist die eine oder andere Formel hilfreicher:

\(\rho = \lim\limits_{n \to \infty} |\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}\right)|\)

oder

\(\rho = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{ |\left(\frac{1}{a_n}\right)|} = \lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}\right)\)

Geometrische Reihe: \(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\frac{ x^k}{k!}, x\in\mathbb{R}\)

Dazugehörige Funktion?

= wie 'gut' ist die Approximation = Differenz zwischen 'ursprünglichen' Funktion und Taylorpolynom/-reihe

\(R_n(x) := f(x) - T_n(x)\)

\(R_n(x) := \frac{f^{n+1}(\xi) }{(n+1)!}*(x-x_0)^{n+1},\quad\xi\in(0,x),\quad x\in\mathbb{R}\)

• Als nächstes lässt man n gegen unendlich laufen, und schaut, was passiert (e.g. ist der Limes des Restgliedes der e^x Potenzreihe 0, also ist der Restglied =0)
• Einige wichtige Funktionen stimmen mit der Taylorreihe überein bei \(\lim\limits_{n \to \infty}R_n(x) =0\)
• \(R_n(x)\) hat die gleiche Form wie der letzte Summand vom Taylorpolynom für n+1
  • da aber x_0 beim letzten Summand nicht der gleiche ist wie bei den restlichen, verwendet man xi
  • xi ist unbekannt
• Ableitungen sind wichtige Werkzeuge für Approximationen

Um das Symmetrieverhalten zu bestimmen, f(-x) anschauen:

• Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f(-x) = f(x)
  Beispiel mit f(x) = x²:     f(-x) = (-x)² = x² = f(x)
• Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f(-x) = -f(x)
  Beispiel mit f(x) = x³:      f(-x) = (-x)³ = -x³ = -f(x)     

\(x\mapsto\sinh(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{2}, D = \mathbb{R}, W = \mathbb{R}\)

• Ist eine Funktion, welche mit der Exponentialfunktion beschrieben wird
• Eigenschaften:
  • streng monoton steigend
  • Wendepunkt bei \(x=0\), keine Extrema
  • Punktsymmetrisch zum Ursprung
  • Nullstelle bei \(x=0\)

TBD

\(x\mapsto\cosh(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2}, D = \mathbb{R}, W = [1,\infty) \)

• Ist eine Funktion, welche mit der Exponentialfunktion beschrieben wird
• wird auch Kettenlinie, Katenoide oder Kettenkurve genannt
• Eigenschaften:
  • streng monoton steigend \(\forall x \geq 0\), streng monoton fallend \(\forall x \leq 0\)\(\forall\)
  • Scheitelpunkt bei \(x = 0\), 1 Extrema
  • Achsensymmetrisch zur y-Achse bei \(x = 0\)
  • keine Nullstellen

Die Taylorreihe ist die Potenzreihe des Taylorpolynoms, d.h. bei \(n \rightarrow \infty, x_0 = Entwicklungsstelle\)

\(T(x) = T(x,x_0):=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{f^{k}(x_0) }{k!}*(x-x_0)^k\)

Analog zum Taylorpolynom, ist es ein 'Werkzeug' um 'weniger einfachere' Funktionen mit einfacheren Funktionen (Polynome, welche der Taschenrechner addieren und multiplizieren kann) zu approximieren. Wie gut eine Approximation ist, hängt davon ab, wie viele Ableitungen jeweils mit der Funktion übereinstimmen.

Die Folge lautet:

\(a_k = \frac{f^{k}(x_0) }{k!}\)

Unter einer Potenzreihe versteht man eine Reihe der Form

\(\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} a_k*(x-x_0)^k\)

Hierbei ist {ak} eine Folge von reellen Koeffizienten, die feste Zahl x0 heisst der Entwicklungspunkt

Bem.:

Substitution mit t = x − x0:
\(\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} a_k*t^k\)

Für \(P(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n*x^n\)

Differentiation:

\(P'(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (a_n*x^n)' = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n*a_n*x^{n-1} = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} (k+1)*a_{k+1}*x^k\)

Integration:

\(\int \mathrm{P(x)}\mathrm{d}x ={\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \int\mathrm a_n*x^n }\,\mathrm{d}x = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n*\frac{x^{n+1}}{n+1} + C = \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_{k-1}*\frac{x^k}{k} + C\)

Hinweis:

• In der Regel, verschiebt sich der Index unter der Summe um +1 beim Ableiten und -1 beim Integrieren
• Die letzten Schritte der Formeln sind Resultat einer Indexverschiebung \((k = n \pm 1)\)

\(x\mapsto\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}, D = \mathbb{R}, W = (1,-1) \)

• Ist eine Funktion, welche mit der Exponentialfunktion beschrieben wird
• Eigenschaften:
  • streng monoton steigend
  • Wendepunkt und Nullstellen bei \(x = 0\)
  • Punktsymmetrisch zum Ursprung bei \(x = 0\)
  • 2 Asymptoten bei \(f(x) = \pm1\)

≈ Approximation an einer Funktion durch ein Polynom n. Grades

Es ist ein 'Werkzeug' um 'weniger einfachere' Funktionen mit einfacheren Funktionen (Polynome, welche der Taschenrechner addieren und multiplizieren kann) zu approximieren. Wie gut eine Approximation ist, hängt davon ab, wie viele Ableitungen jeweils mit der Funktion übereinstimmen.

Sei f eine Funktion und x_0 die Entwicklungstelle/der Entwicklungspunkt:

\(T_n(x) := f(x_0) + f'(x_0) * \frac{(x-x_0)^1}{1!} + f''(x_0) * \frac{(x-x_0)^2}{2!} + ...+ f^{n}(x_0) * \frac{(x-x_0)^n}{n!} = \displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{f^{n}(x_0) }{n!}*(x-x_0)^n\)

Das ist das n-te Taylorpolynom von f an der Entwicklungsstelle x_0. 

Die Folge lautet:

\(a_k = \frac{f^{k}(x_0) }{k!}\)

\(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{ (-1)^{k-1}}{k}*x^k, x\in(-1,1]\)

Dazugehörige Funktion?

• Funktion soweit umformen, dass diese wie einer der bekannten Standard-Potenzreihen aussieht; Potenzreihe nehmen und anpassen
• Dazu gehört auch die Ab- und Aufleitung der Potenzreihe
• Alternativ Taylorpolynom aufstellen und Approx.-Fehlerbestimmen
• Wichtig zu beachten ist der Index unter dem Sigma

\(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\frac{ 1}{(2k+1)!}*x^{2k+1}, x\in\mathbb{R}\)

Dazugehörige Funktion?

\(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\frac{ 1}{(2k)!}*x^{2k}, x\in\mathbb{R}\)

Dazugehörige Funktion?