Analysis I

• Menge aller x, für welche die dazugehörige Potenzreihe konvergiert, inkl. Präzisierung der Grenzen (siehe unten)
• d.h. nach dem Berechnen des Konvergenzradius, \(\pm\rho\) überprüfen, und die Klammern entsprechend anpassen:
  • anfänglich K.bereich = \(x \in (-\rho,\rho)\)
  • \(\pm\rho\) überprüfen
  • falls e.g. \(-\rho\) konvergiert und \(\rho\) divergiert dann ist der K.bereich bzw. K.intervall: \(x \in [-\rho,\rho)\)
  • falls e.g. \(\pm\rho\) konvergieren ist der K.bereich bzw. K.intervall: \(x \in [-\rho,\rho]\)

• eindeutig bestimmte Zahl \(\rho \in [0,\infty]\), sodass Potenzreihe konvergiert für alle \(x \in (-\rho,\rho)\) konvergiert und für alle \(x \notin [-\rho,\rho]\) divergiert
• für \(\pm\rho\) muss separat geprüft werden, indem diese in die Potenzreihe eingesetzt werden und analysiert, ob diese konvergiert oder divergiert

Dazugehörige Funktion?

Potenzreihe: \(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty x^k\)

• Def.bereich: \(\forall x \in (-1,1)\)

Bem.: Aufgeleitet gibt es die Potenzreihe von \(ln(|1-x|) = -\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\frac{ x^k}{k}\)

Ja, innerhalb des Konvergenzbereichs können wir Potenzreihen (die denselben Entwicklungspunkt haben) genau wie Polynome addieren und multiplizieren, und gliedweise differenzieren und integrieren.

Ausserdem gilt für eine Potenzreihe \(P(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n*x^n\) mit Konvergenzradius ρ, dass die Funktion P(x) auf (−ρ, ρ) differenzierbar und integrierbar ist.

Der Konvergenzradius der abgeleiteten/integrierten Potenzreihen ist der Konvergenzradius ρ der ursprünglichen Reihe. 

Es gibt 2 Formeln. Je nach der Form der Reihe, ist die eine oder andere Formel hilfreicher:

\(\rho = \lim\limits_{n \to \infty} |\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}\right)|\)

oder

\(\rho = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{ |\left(\frac{1}{a_n}\right)|} = \lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}\right)\)

Geometrische Reihe: \(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\frac{ x^k}{k!}, x\in\mathbb{R}\)

Dazugehörige Funktion?

= wie 'gut' ist die Approximation = Differenz zwischen 'ursprünglichen' Funktion und Taylorpolynom/-reihe

\(R_n(x) := f(x) - T_n(x)\)

\(R_n(x) := \frac{f^{n+1}(\xi) }{(n+1)!}*(x-x_0)^{n+1},\quad\xi\in(0,x),\quad x\in\mathbb{R}\)

• Als nächstes lässt man n gegen unendlich laufen, und schaut, was passiert (e.g. ist der Limes des Restgliedes der e^x Potenzreihe 0, also ist der Restglied =0)
• Einige wichtige Funktionen stimmen mit der Taylorreihe überein bei \(\lim\limits_{n \to \infty}R_n(x) =0\)
• \(R_n(x)\) hat die gleiche Form wie der letzte Summand vom Taylorpolynom für n+1
  • da aber x_0 beim letzten Summand nicht der gleiche ist wie bei den restlichen, verwendet man xi
  • xi ist unbekannt
• Ableitungen sind wichtige Werkzeuge für Approximationen

Um das Symmetrieverhalten zu bestimmen, f(-x) anschauen:

• Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f(-x) = f(x)
  Beispiel mit f(x) = x²:     f(-x) = (-x)² = x² = f(x)
• Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f(-x) = -f(x)
  Beispiel mit f(x) = x³:      f(-x) = (-x)³ = -x³ = -f(x)