Elemente der Zahlentheorie
Die wichtigsten Fragen
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Lernkarten
Wie funktioniert das Stellenwertprinzip? (Dezimalsystem)
Es gibt Ziffern von 0-9.
Die Stufenzahlen werden durch wiederholte 10er Bündelung gebildet.
Die Position der Ziffer gibt an, zu welcher Stufe sie gehört
Der Wert der Ziffer gibt an, wie oft die entsprechende Bündelungseinheit vorkommt
Wie lauten die Grundprinzipen von Stellenwertsystemen?
Kleinere Einheiten werden zu größeren Einheiten, indem immer die gleiche Anzahl von Einheiten gebündelt wird, d.h Die Bündelungseinheiten sind Potenzen einer vorgegebenen Basiszahl b
Die Stelle der Ziffer gibt an, um welche Bündelungseinheit es sich handelt. Die Ziffern geben an, wie oft die einzelnen Bündelungseinheiten vorkommen. Von rechts nach links stehen die Ziffern zu den Bündelungseinheiten
Wie funktioniert ein Stellenwertsystem im Allgemeinen?
Ein Stellenwertsystem wird durch eine Basiszahl b (b>1) definiert.
Es gibt b Zahlzeichen, nämlich 0, 1, ..., b-1
Jede Ziffer gibt die Anzahl einer Bündelungseinheit an. Die Größe der Bündelungseinheit ist von rechts nach links gelesen: b^0, b^1, b^2, b^3, ...
Wie viele Informationen gibt eine Ziffer im Stellenwertsystem?
Eine Ziffer gibt zwei Informationen:
1. die Anzahl der jeweiligen Bündelungseinheiten
2. die Größe der jeweiligen Bündelungseinheit
Was sind im Vergleich zum römischen Zahlsystem die Vorteile des Stellenwertsystems?
- mit einer begrenzten Anzahl von Ziffern können große Zahlen übersichtlicher dargestellt werden
- jede Ziffer liefert zwei Informationen
- die Bündelungseinheiten sind immer gleich
- es sind effiziente Rechenverfahren möglich
- das Ordnen mehrstelliger Zahlen ist vergleichsweise einfach
- das Prinzip lässt sich leicht erweitern
Was sind die Nachteile des Stellenwertsystems?
- es ist eine eigene Ziffer 0 nötig für Bündelungseinheiten, die in der beschriebenen Zahl nicht vorkommen
- das System ist sehr abstrakt, da dieselbe Ziffer (ohne spezielle Kennzeichnung) für verschiedene Werte stehen kann
- es werden nicht alle Informationen notiert (Stufenbezeichnung folgt aus der Position)
- auch Stellenwertsystemenkönnen unübersichtlich sein (z.B. 14537769
Wie lautet die Entwicklung der Zahldarstellung im Überblick?
- Zahldarstellung als Gegenstandsmenge zu zählender Dinge
- Zahldarstellung durch eine Hilfsmenge
- symbolische Zahldarstellung durch Zahlzeichen auf Basis eines Bündelungsprinzips
- symbolische Zahldarstellung durch Ziffern in einem Stellenwertsystem
Wie kann man Zahldarstellungen des Dezimalsystems in Darstellungen eines anderen Stellenwertsystems umrechnen?
Es gibt zwei Möglichkeiten:
- Suchen der größten Potenz
- Division mit Rest
Wie funktioniert das Suchen nach der größten Potenz?
1. zur gegebenen Dezimalzahl suche man die größte enthaltene Potenz b^i
2. man prüfe, wie oft b^i in die Zahl passt und ziehe dieses Vielfache von b^i von der Dezimalzahl ab
3. man nehme den Rest und beginne wieder von vorne
4. die jeweiligen Vielfachen der Potenzen b^i ergeben zusammen von links nach rechts die Zahl im Stellenwertsystem zur Basis b
Rechne die Zahl 23 vom Dezimalsystem in das Dreiersystem mithilfe der Suche der größten Potenz.
1. die größtmögliche Potenz ist 9 (3^2)
2. 23-18=5
3. die größtmögliche Potenz ist 3 (3^1), 5-3=2
Die größtmögliche Potenz ist 1 (3^0), passt zweimal.
Es ergibt sich also: 1 x 3^2 + 1 x 3^1 + 2 x 3^0 -> (112) im Dreiersystem
Was ist der Nachteil bei der Suche der größten Potenz?
Man muss die Potenzen der Basis ausrechnen
Wie funktioniert die Division mit Rest im Bezug auf das Umrechnen einer Zahl aus dem Dezimalsystem in ein anderes Stellenwertsystem?
1. die Zahl wird durch die Basiszahl des anderen Stellenwertsystems geteilt, der Rest ist die letzte Zahl (ganz rechts) in dem anderen Stellenwertsystem
2. das Ergebnis (ohne Rest) wird wieder durch die Basiszahl des anderen Stellenwertsystems geteilt. Der Rest ist die vorletzte Zahl in dem anderen Stellenwertsystem.
3. das Ganze wird so lange wiederholt, bis das Ergebnis (ohne Rest) nicht weiter durch die Basiszahl des anderen Stellenwertsystems geteilt werden kann, wichtig: sollte der letzte Rest 0 sein, muss dieser unbedingt ebenfalls notiert werden
4. das letzte Ergebnis, das nicht mehr gebündelt würden kann, ist die erste Ziffer in dem anderen Stellenwertsystem
Rechne die Zahl 19 in das Dreiersystem um - Nutze dafür die Division mit Rest
19 : 3 = 6 Rest
16 : 3 = 2 Rest 0
(201) im Dreiersystem
Warum ist das Dezimalsystem Standard?
In erster Linie ist das reine Gewohnheitssache.
Durchgesetzt hat sich das Dezimalsystem vermutlich , weil der Mensch 10 Finger hat, welche natürliches Hilfsmittel beim Zählen sind
Außerdem ist das Dezimalsystem ein guter Kompromiss zwischen einer begrenzten Ziffernanzahl und der Länge der entstehenden Zahlwörter
Inwiefern spielt das Stellenwertsystem im Unterricht eine wichtige Rolle?
Bündeln und Entbündeln mit strukturiertem Material
Erweiterung auf Hunderter, Tausender, ...
SuS begreifen die wesentlichen Ideen des Stellenwertsystems und des Bündelungsprinzips
Auf welche weisen lassen sich zahlen darstellen -> 27, 2 Z 7 E, ...
