Grundbegriffe Mathematik Teil 1
Lernkärtli
Lernkärtli
Stelle das Cartesische Produkt als Koordinatensystem, Koordinatendiagramm dar.
Wie bestimmt man den Abstand zwischen zwei Punkten im cartesischen Koordinatensystem RxR?
Eine Gleichung ist eine prädikatlogische AUssageform mit einer oder mehreren freien Variablen.
Wie sind Grundmenge, Lösung, Löungsmenge und äquivalenz definiert?
Binomischen Formeln?
Wie löst man quadratische Gleichungen mit der Faktorzerlegung?
\(x^2+3x=0\)
\(x^2=16\)
\(x^+7x=-10\)
Wie gehen die zwei Methoden, um Ungleichungen zu lösen?
Welches ist die bessere? Warum?
Die bessere Methode ist die 2. - also auflösen wie eine Gleichung. Besser, weil schlanker, schneller, man muss nur wissen, dass Relationszeichen gedreht wird, gibt nicht das Problem, dass wenn a=0 ist, dass man Lösung nicht erkennt...
Wo hat das Koordinatendiagramm die Zielmenge? Wo die Quellmenge?
Es ist wie bei Koordinatensystem (x-Achse = Quellmenge, y-Achse = Zielmenge)
Wann spricht man bei einer Relation F von A nach B von einer Funktion (bzw. Abbildung)?
Wie ändert sich die Schreibweise, wenn man von einer Funktion spricht?
Funktion: Relation von nach heisst Funktion (oder Abbildung) von nach , falls linkstotal und rechtseindeutig ist.
Das bedeutet, dass es zu jedem x (Element von A) genau ein y (Element von B) mit y=F(x) gibt.
Schreibweise: Ist F eine Funktion (Abbildung), so schreibt man \(y=F(x)\) anstatt \(xFy\)
- Wann ist eine Funktion surjektiv?
- Wann ist eine Funktion injektiv?
- Wie erkennt man an einem Graphen, ob er surjektiv oder injektiv ist?
- Surjektiv = rechtstotal: Wenn also für jedes y ein x existiert (das Element von A ist).
- Injektiv = linkseindeutig: Wenn jedem y höchstens ein x zugeordnet wird.
- surjektiv: wenn der Graph von f jede horizontale Gerade mind. 1x schneidet.
injektiv: wenn der Graph von f jede horizohntale höchstens 1x schneidet.
Was muss für \(F\) gelten, damit \(F^-1\) auch eine Funktion ist?
Die Funktion muss bijektiv sein - also surjektiv und injektiv zusammen (eine Funktion ist ja von sich aus linkstotal und rechtseindeutig) - surjektiv ist nun noch rechtstotal und injektiv linkseindeutig. Die Umkehrfunktion muss ja ebenfalls linkstotal und rechtseindeutig sein - das bedeutet, die Ausgangsfunktion muss rechtstotal und linkseindeutig sein...
Surjektiv = rechtstotal: Wenn also für jedes y mind. ein x existiert (das Element von A ist).
Injektiv = linkseindeutig: Wenn jedem y höchstens ein x zugeordnet wird.
Bijektiv = Eine Funktion (linkstotal, rechtseindeutig), die sowohl surjektiv wie injektiv ist
Bestimme die Inverse Funktion
Welche Eigenschaften haben diese Relatilnen?
Was hat die Teilerrelation x | y in \(N\) für Eigenschaften?
- LT: Ja,
- RT: ja
- LE: nein
- RE: nein
- Eigenschaften der Zugehörigkeitsrelatioin \(x\in A\) ?
- Eigenschaften der Relation \(x^2=y\)?
- \(x^3=y\)
- \(x^3>y\)
- LT, wenn Grundmenge mehr als 1 Element hat, dann weder RE noch LE.
- LT, RE
- LT, RT, RE, LE
- LT, RT, nicht RE oder LE
Was ist \(\mathbb{N}\) ?
Die Menge der Natürlichen Zahlen
Was ist \(\mathbb{Z}\)?
Die Menge der Ganzen Zahlen. Also alle Zahlen ohne Kommastellen. Die negativen Zahlen und Null gehören dazu.
Was ist \mathbb{Q}?
Die Menge der rationalen Zahlen. Also alle Brüche, die im Zähler eine ganze Zahl und im Nenner eine natürliche Zahl ausser der 0 haben.
Was ist \mathbb{R}?
Die Menge aller reellen Zahlen. Die Menge der reellen Zahlen enthält alle Zahlen, die du aus der Schule kennst. Sie besteht aus den rationalen Zahlen und den irrationalen Zahlen . Jede irrationale und rationale Zahl ist also gleichzeitig eine reelle Zahl.
Was ist der Unterschied zwischen einer Aussage und einer Aussageform? Was ist ein Term?
Aussage = sprachliches Gebilde ¨entweder falsch / wahr. Wenn Variablen vorkommen,
sind sie durch Quantoren oder andere Operatoren gebunden (für alle x, es existiert ein x…)
Beispiele:
- Zürich ist Hauptstadt der Schweiz
- 2+5=7
- \(x^3+y^3=z^3 \)Die Gleichung besitzt ausser der trivialen keine ganzzahligen Lösungen.
- Tycho Brahe wurde 1601 von Johannes Keppler vergiftet.
- \(x+3=5\)
Alles sind Aussagen, ausser 5. -> Nicht klar, ob wahr od. falsch.
5. ist eine Aussageform = sprachliches Gebilde mit mind. 1 Variablen.
In einer Aussageform sind die Variablen frei. Z. B. \(x>23\)
Nach Einsetzen einer Konstanten in Variable wird’s zur Aussage.
\(2+3=5 (wahre Aussage)\)
\(x^2−5x+6\) ist keine Aussageform, sondern ein (arithmetischer) Term.
- Terme sind sprachliche Ausdrücke, die eine Zahl oder ein anderes Objekt bezeichnen. Insbesondere sind Variable Terme. Mit Hilfe von Verknüpfungen können aus Termen weitere Terme gebildet werden. Man kann nicht sagen, es ist wahr/falsch (Aussage). Auch nach Einsetzen einer Konstanten nicht (Aussageform).
- Terme können iterativ (schrittweise) definiert werden:
- Konstante + Variable sind Terme.
- Ersetzen einer Variablen durch einen Term ergibt wieder einen Term.
- Ausüben der im betrachtenden Bereich definierten Operationen auf Terme liefert wieder Terme.
- Terme können verschieden sein. Wenn Einsetzen von Konstanten gleiches Ergebnis ergibt, nennt man sie äquivalent (gleichwertig).
Was sind generelle und existenzielle Aussagen?
Es gibt allgemeingültige Aussageformen (für alle «…» gilt…). Man nennt sie auch «eine Identität».
- Bps.: \(x+y=y+x\)
- man könnte auch sagen: \(für beliebige (ganze)Zahlen x, y gilt:x+y=y+x\) Die allgemeingültige Aussageform geht in eine wahre Aussage über. Man schreibt kürzer:
- \(∀x,y(x+y=y+x)\)oder präziser \(∀x∀y(x+y=y+x)\)
- Jetzt ist’s eine generelle Aussage (auch wenn sie falsch wäre! – es geht darum, ob «für alle gilt..»)
- Eingeleitet durch Allquantor \(∀x,y\) in Worten «für alle x, y.
- Durch Voransetzen des Quantors wurden die freien Variablen x,y gebunden.
- Durch Binden der freien Variablen geht die Aussageform in Aussage über.
- Durch Voransetzen des Quantors wurden die freien Variablen x,y gebunden.
- Eingeleitet durch Allquantor \(∀x,y\) in Worten «für alle x, y.
- Jetzt ist’s eine generelle Aussage (auch wenn sie falsch wäre! – es geht darum, ob «für alle gilt..»)
- \(∀x,y(x+y=y+x)\)oder präziser \(∀x∀y(x+y=y+x)\)
Es gibt existentielle Aussagen (es existiert «..» für die gilt).
- \(x>y+1\)
- Gilt nicht für alle Zahlen. Aber: «Es existiert eine Zahl x und eine Zahl y so, dass \(x>y+1\).
- \(∃x,y(x>y+1) \)oder präziser \(∃x ∃y(x>y+1) \)
- Dies ist eine existentielle Aussage; wird durch Existenzquantor «\(∃x,y\)» (es existiert x, y) eingeleitet.
- Durch Binden der freien Variablen geht Aussageform in Aussage über.
- Dies ist eine existentielle Aussage; wird durch Existenzquantor «\(∃x,y\)» (es existiert x, y) eingeleitet.
- \(∃x,y(x>y+1) \)oder präziser \(∃x ∃y(x>y+1) \)
Es gibt bedingt existentielle Aussagen. Das sind wahre/falsche Aussagen, wo die Variablen durch Allquantoren und Existenzquantoren gebunden sind:
- \(∀x,y ∃z(x=y+z) \)Achtung: \(∃z(x=y+z) \)ist eine (allgemeingültige) Aussageform mit den freien Variablen x, y.)
Was ist ein Quantor?
ist ein Operator der Prädikatenlogik. Allen Quantoren gemeinsam ist, dass sie Variablen binden.
Die bekanntesten Quantoren sind der Allquantor \(\forall x\) (alle, jeder, für alle gilt..) und Existenzquantor \(\exists x\) (es exisitert ein..., für mind. eines gilt...)
Was bedeutet in der Prädikatlogik der Begriff "Lösung"?
Wann wird Aussageform erfüllt?
- Aussageform wird dann von Konstanten erfüllt, wenn durch Einsetzen dieser Konstanten eine wahre Aussage entsteht.
- Man sagt: Konstante = Lösung der Aussageform.
- Bsp.: \(x+y=5\) :Paare (2,3) und (1,4) sind Lösungen.
Was bedeuten die folgenden Grundelemente der math. Sprache? Konstante + Variable
Konstante: Genau festgelegte Bedeutung. Bleibt in Überlegungen unverändert. Z. B. die Zahlen 0, 1 oder e oder \(\pi \). Bei Konstanten ist die Frage sinnvoll, ob z. B. 0 = Zahl -> ja, nein.
Variable: Keine festgelegte Bedeutung. Stehen für Objekte (in Arithmetik meist für Zahlen). -> Platzhalter. Die Frage "ist x eine Zahl?" ist nicht sinnvoll.
\(\exists x (x+4>2)\) Aussageform, Term oder Aussage?
\(\forall x (x+4>y)\)
Das Produkt von 7 und 4 ist 56
52.78 - 34
Jede Quadratzahl x2 ist nicht negativ.
Welches sind Terme, welches nicht?
- \((x-3)^2 +7(y-x^2)\)
- \(x^2 : -7\bullet +3)^4 \)
- \(x^2+y^2=1\)
1. Existenzielle Aussage
2. Allgemeingültige Aussage
3. Eine Aussage (falsch)
4. Term
5. Generelle Aussage
6. Das erste ist ein Term. Die beiden anderen nicht. Das eine hat keine richtige Syntax, das andere hat ein Relationszeichen. Ein Term hat keine Relationszeichen.
Welche logischen Operatoren gibt es? Wie sehen ihre Symbole aus?
- Was ist eine Subjunktion?
- Aussage 1: Ich bin müde. Aussage 2: ich gehe schlafen.
Abmachung: Wenn ich müde bin, dann gehe ich schlafen.
Wann halte ich die Abmachung ein? (Wann ist die Subjunktion wahr?)
Die Subjunktion ist auch dann wahr (Abmachung wird eingehalten), wenn es heisst "Ich bin nicht müde, ich gehe schlafen".
- Was ist eine Bijunktion?
- Was ist das Zeichen dafür?
- Aussage 1: Ich bin müde. Aussage 2: Ich gehe schlafen.
Abmachung: Ich gehe genau dann schlafen, wenn ich müde bin.
Oder. Ich bin genau dann müde, wenn ich schlafen gehe.
Wann halte ich meine Abmachung ein? Wann ist die Bijunktion wahr?
Wann sprechen wir von "logisch äquivalent"?
Was ist der Unterschied zwischen \(\leftrightarrow und ⟺\)?
- Fülle die Wahrheitstafeln zu den aussagelogischen Aussageformen.
- Merksatz zur Konjuktion: "Die Konjunktion zweier Aussagen ist nur dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind"
Formuliere auch zu den anderen Merksätze.
Negation (nicht): Die Negation zweier Aussagen ist dann wahr, wenn die Aussage falsch ist.
Konjunktion (und): Die Konjunktion zweier Aussagen ist nur dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind.
Disjunktion (oder): Die Disjunktion zweier Aussagen ist nur dann falsch, wenn beide Aussagen falsch sind.
Ausschliessende Alternative (entweder oder): Die Ausschliessende Alternative ist nur dann wahr, wenn nur eine der Aussagen wahr ist.
Subjunktion (wenn, dann): Die Subjunktion ist nur dann falsch, wenn die Hypothese wahr und die Konklusion falsch ist.
Bijunktion (nur dann, wenn): Die Bijunktion ist nur dann wahr, wenn Hypothese und Konklusion beide falsch oder beide wahr sind.
Wie heissen die logischen Operationen?
Reihenfolge der Operationen?
Die Subjunktion kann auf 3 verschiedene Arten umgekerht werden.
Wie heissen sie?
Welche ist logisch äquivalent mit der Subjunktion?
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Cartes-fiches
Wie gehen die zwei Methoden, um Ungleichungen zu lösen?
Welches ist die bessere? Warum?
Die bessere Methode ist die 2. - also auflösen wie eine Gleichung. Besser, weil schlanker, schneller, man muss nur wissen, dass Relationszeichen gedreht wird, gibt nicht das Problem, dass wenn a=0 ist, dass man Lösung nicht erkennt...
Wo hat das Koordinatendiagramm die Zielmenge? Wo die Quellmenge?
Es ist wie bei Koordinatensystem (x-Achse = Quellmenge, y-Achse = Zielmenge)
Wann spricht man bei einer Relation F von A nach B von einer Funktion (bzw. Abbildung)?
Wie ändert sich die Schreibweise, wenn man von einer Funktion spricht?
Funktion: Relation von nach heisst Funktion (oder Abbildung) von nach , falls linkstotal und rechtseindeutig ist.
Das bedeutet, dass es zu jedem x (Element von A) genau ein y (Element von B) mit y=F(x) gibt.
Schreibweise: Ist F eine Funktion (Abbildung), so schreibt man \(y=F(x)\) anstatt \(xFy\)
- Wann ist eine Funktion surjektiv?
- Wann ist eine Funktion injektiv?
- Wie erkennt man an einem Graphen, ob er surjektiv oder injektiv ist?
- Surjektiv = rechtstotal: Wenn also für jedes y ein x existiert (das Element von A ist).
- Injektiv = linkseindeutig: Wenn jedem y höchstens ein x zugeordnet wird.
- surjektiv: wenn der Graph von f jede horizontale Gerade mind. 1x schneidet.
injektiv: wenn der Graph von f jede horizohntale höchstens 1x schneidet.
Was muss für \(F\) gelten, damit \(F^-1\) auch eine Funktion ist?
Die Funktion muss bijektiv sein - also surjektiv und injektiv zusammen (eine Funktion ist ja von sich aus linkstotal und rechtseindeutig) - surjektiv ist nun noch rechtstotal und injektiv linkseindeutig. Die Umkehrfunktion muss ja ebenfalls linkstotal und rechtseindeutig sein - das bedeutet, die Ausgangsfunktion muss rechtstotal und linkseindeutig sein...
Surjektiv = rechtstotal: Wenn also für jedes y mind. ein x existiert (das Element von A ist).
Injektiv = linkseindeutig: Wenn jedem y höchstens ein x zugeordnet wird.
Bijektiv = Eine Funktion (linkstotal, rechtseindeutig), die sowohl surjektiv wie injektiv ist
Bestimme die Inverse Funktion
Welche Eigenschaften haben diese Relatilnen?
Was hat die Teilerrelation x | y in \(N\) für Eigenschaften?
- LT: Ja,
- RT: ja
- LE: nein
- RE: nein
- Eigenschaften der Zugehörigkeitsrelatioin \(x\in A\) ?
- Eigenschaften der Relation \(x^2=y\)?
- \(x^3=y\)
- \(x^3>y\)
- LT, wenn Grundmenge mehr als 1 Element hat, dann weder RE noch LE.
- LT, RE
- LT, RT, RE, LE
- LT, RT, nicht RE oder LE
