ZZ AM Math Stochastik
Kombinatorik / Wahrscheinlichkeitsrechnung
Kombinatorik / Wahrscheinlichkeitsrechnung
Was ist Kombinatorik?
Kombinatorik braucth man, um die Anzahl Möglichkeiten, etwas auszuwählen oder anzuordnen, zu bestimmen.
Das Ergebnis ist stets eine natürliche Zahl.
Was ist die Produktregel?
- Wenn eine Aufgabenstellung k Stufen hat, und diese sich nicht gegenseitig beeinflussen, dann wird die Produktregel angewendet.
- Das bedeutet Aufgabenstellungen mit und (aussuchen zwischen 3 Schuhen und 8 Hosen).
- Dabei werden die Zahlen multipliziert ( 3 mal 8)
- Wenn eine Aufgabenstellung eine mit oder ist, brauchen wir auch die Produktregel
- Dabei muss manchmal eine Tabelle gemacht werden (1. Spalte Resultatmöglichkeit, 2. Spalte Aufteilung für eben diese, 3. Spalte zwei zusammenzählen und diese dann zusammenzählen)
- Bei einer oder Fragestellung werden die Zahlen addiert.
Was ist ein Baumdiagramm?
Was ist ein Spezialfall bei der Produktregel?
Wenn es auf jeder Stufe gleich viele Ausgangsmöglichkeiten hat, oder das Experiment k mal ausgeführt wird, dann ist das Resultat nk.
Was ist die Fakultät?
- Symbol: n!
- gesprochen n Fakultät
- Das heisst n * (n-1) * (n - 2) ... * 2 * 1
- Nur bei positiven, ganzen Zahlen (natürlichen Zahlen) möglich
- Spezialfall: 1! und 0! = 1
Wie funktioniert Fakultät mit Brüchen?
Man kann fast alles rauskürzen: 276! / 274! kann man 274 und tiefer kürzen, also Resultat 276 * 275
Was ist der Binomialkoeffizient?
- (nk)
- gesprochen: n tief k
- n muss grösser sein als k
- Eine Formel (nk) = n! / (n - k)! * k!
Was ist die Permutation?
Das ist eine Anordnung aller Elemente einer endlichen Menge.
Die Frage ist wie viele Möglichkeiten es gibt, diese Elemente anzuordnen, wenn es gleich viele Elemente wie Plätze hat.
Was ist die Permutation ohne Wiederholung?
Dabei ist jedes Element von den anderen unterscheidbar, es gibt also nicht zwei gleiche.
Die Formel ist Pn = n!
Was ist die Permutation mit Wiederholung?
Dabei gibt es identische Elemente, dadurch gibt es Möglichkeiten, die sich nicht unterscheiden lassen.
Die Formel ist Pn(k1, k2,...) = n! / k1! * k2! * ...
Was ist eine Stichprobe?
Die Auswahl einer Elemente aus einer Menge
Welche Arten von Stichproben gibt es?
- geordnete/ungeordnete
- mit/ohne Wiederholung
Was ist eine Variation ohne Wiederholung?
- Reihenfolge relevant
- keine Wiederholungen
Kugeln mit Namen; einmal gezogen => weg
Was ist eine Variation mti Wiederholung?
- Reihenfolge relevant
- Wiederholungen möglich
Spiele tippen, mehrere gleich möglich
Was ist eine Kombination ohne Wiederholung?
- Reihenfolge irrelevant
- keine Wiederholungen
Aus einem Behälter gleichzeitig 3 Zettel ziehen
Was ist eine Kombination mit Wiederholung?
- Reihenfolge irrelevant
- Wiederholungen möglich
Mit Zurücklegen aus einem Behälter Zettel ziehen
Was ist ein Zufallsexperiment?
- sein Ausgang hängt vom Zufall ab
- Ausgang = Ergebnis
- Menge aller Ergebnisse = Ergebnisraum
Was ist ein Laplace-Experiment?
Ein Zufallsexperiment, bei dem alle Ausgänge gleich wahrscheinlich sind.
p = 1 / Anzahl möglicher Ergebnisse
Welche Arten von Ereignissen gibt es?
- Ergebnisräume können aufgeteilt werden in Teilmengen, bspw. "wie gross WS, Zahl > 4 zu würfeln => T1 = 1,2,3,4 T2= 5,6
- Jede Teilmenge heisst Ereignis E
- Elementarereignis: genau ein Ergebnis
- sicheres Ereignis: Ereignis gleich Ereignisraum
- unmögliches Ereignis: kein Ereignis in Ereignisraum
- Gegenereignis E-: alle Ergebnisse der Ergebnisraums, die nicht in E sind
Welche Regeln gibt es bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung?
- Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1
- Gegenereignis: P (E-) = 1 - P (E)
- Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist 1
Wie berechnet man Laplace-Experimente?
P(E) = günstige Ergebnisse / mögliche Ergebnisse
Also alles in Ereignis / alles in Ergebnisraum
Was ist ein n-stufiges Zufallsexperiment?
- Wenn n Zufallsexperimente durchgeführt werden und es egal ist ob gleichzeitig oder nacheinander
- Dabei verändert sich der Ergebnisraum
- Dabei braucht man das Baumdiagramm
Was ist ein Baumdiagramm?
- Ein Startpunkt
- So viele Äste wie es Möglichkeiten gibt im 1. Durchgang
- Auf den Ästen die Wahrscheinlichkeiten des Ergebnisses
- Von oben nach unten jeweils multiplizieren, von links nach rechts addieren
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Was ist Kombinatorik?
Kombinatorik braucth man, um die Anzahl Möglichkeiten, etwas auszuwählen oder anzuordnen, zu bestimmen.
Das Ergebnis ist stets eine natürliche Zahl.
Was ist die Produktregel?
- Wenn eine Aufgabenstellung k Stufen hat, und diese sich nicht gegenseitig beeinflussen, dann wird die Produktregel angewendet.
- Das bedeutet Aufgabenstellungen mit und (aussuchen zwischen 3 Schuhen und 8 Hosen).
- Dabei werden die Zahlen multipliziert ( 3 mal 8)
- Wenn eine Aufgabenstellung eine mit oder ist, brauchen wir auch die Produktregel
- Dabei muss manchmal eine Tabelle gemacht werden (1. Spalte Resultatmöglichkeit, 2. Spalte Aufteilung für eben diese, 3. Spalte zwei zusammenzählen und diese dann zusammenzählen)
- Bei einer oder Fragestellung werden die Zahlen addiert.
Was ist ein Baumdiagramm?
Was ist ein Spezialfall bei der Produktregel?
Wenn es auf jeder Stufe gleich viele Ausgangsmöglichkeiten hat, oder das Experiment k mal ausgeführt wird, dann ist das Resultat nk.
Was ist die Fakultät?
- Symbol: n!
- gesprochen n Fakultät
- Das heisst n * (n-1) * (n - 2) ... * 2 * 1
- Nur bei positiven, ganzen Zahlen (natürlichen Zahlen) möglich
- Spezialfall: 1! und 0! = 1
Wie funktioniert Fakultät mit Brüchen?
Man kann fast alles rauskürzen: 276! / 274! kann man 274 und tiefer kürzen, also Resultat 276 * 275
Was ist der Binomialkoeffizient?
- (nk)
- gesprochen: n tief k
- n muss grösser sein als k
- Eine Formel (nk) = n! / (n - k)! * k!
Was ist die Permutation?
Das ist eine Anordnung aller Elemente einer endlichen Menge.
Die Frage ist wie viele Möglichkeiten es gibt, diese Elemente anzuordnen, wenn es gleich viele Elemente wie Plätze hat.
Was ist die Permutation ohne Wiederholung?
Dabei ist jedes Element von den anderen unterscheidbar, es gibt also nicht zwei gleiche.
Die Formel ist Pn = n!
Was ist die Permutation mit Wiederholung?
Dabei gibt es identische Elemente, dadurch gibt es Möglichkeiten, die sich nicht unterscheiden lassen.
Die Formel ist Pn(k1, k2,...) = n! / k1! * k2! * ...
Was ist eine Stichprobe?
Die Auswahl einer Elemente aus einer Menge
Welche Arten von Stichproben gibt es?
- geordnete/ungeordnete
- mit/ohne Wiederholung
Was ist eine Variation ohne Wiederholung?
- Reihenfolge relevant
- keine Wiederholungen
Kugeln mit Namen; einmal gezogen => weg
Was ist eine Variation mti Wiederholung?
- Reihenfolge relevant
- Wiederholungen möglich
Spiele tippen, mehrere gleich möglich
Was ist eine Kombination ohne Wiederholung?
- Reihenfolge irrelevant
- keine Wiederholungen
Aus einem Behälter gleichzeitig 3 Zettel ziehen
Was ist eine Kombination mit Wiederholung?
- Reihenfolge irrelevant
- Wiederholungen möglich
Mit Zurücklegen aus einem Behälter Zettel ziehen
Was ist ein Zufallsexperiment?
- sein Ausgang hängt vom Zufall ab
- Ausgang = Ergebnis
- Menge aller Ergebnisse = Ergebnisraum
Was ist ein Laplace-Experiment?
Ein Zufallsexperiment, bei dem alle Ausgänge gleich wahrscheinlich sind.
p = 1 / Anzahl möglicher Ergebnisse
Welche Arten von Ereignissen gibt es?
- Ergebnisräume können aufgeteilt werden in Teilmengen, bspw. "wie gross WS, Zahl > 4 zu würfeln => T1 = 1,2,3,4 T2= 5,6
- Jede Teilmenge heisst Ereignis E
- Elementarereignis: genau ein Ergebnis
- sicheres Ereignis: Ereignis gleich Ereignisraum
- unmögliches Ereignis: kein Ereignis in Ereignisraum
- Gegenereignis E-: alle Ergebnisse der Ergebnisraums, die nicht in E sind
Welche Regeln gibt es bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung?
- Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1
- Gegenereignis: P (E-) = 1 - P (E)
- Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist 1
Wie berechnet man Laplace-Experimente?
P(E) = günstige Ergebnisse / mögliche Ergebnisse
Also alles in Ereignis / alles in Ergebnisraum
Was ist ein n-stufiges Zufallsexperiment?
- Wenn n Zufallsexperimente durchgeführt werden und es egal ist ob gleichzeitig oder nacheinander
- Dabei verändert sich der Ergebnisraum
- Dabei braucht man das Baumdiagramm
Was ist ein Baumdiagramm?
- Ein Startpunkt
- So viele Äste wie es Möglichkeiten gibt im 1. Durchgang
- Auf den Ästen die Wahrscheinlichkeiten des Ergebnisses
- Von oben nach unten jeweils multiplizieren, von links nach rechts addieren
