Kernphysik

Isotop: Konstante Anzahl Protonen, unterschiedliche Neutronenzahl.

Isoton: Konstantes N, unterschiedliches Z.

Isobar. Konstantes A.

Streuung ist elastisch.

Das Potential ist nur Abhängig vom Abstand der Teilchen. Somit reduziert sich das Problem auf ein Einkörperproblem mit festem Streuzentrum.

In der klassischen Streutheorie gibt es auch einen Stoßparameter b, der dem minimalen Abstand der einfallenden Teilchen zum Stoßzentrum in dem Fall entspricht, in dem diese sich geradlinig bewegen wurden. 

Ziel der klassischen Streutheorie ist es eine Relation zwischen dem Stoßparameter und der Auslaufrichtung der Projektile nach dem Stoß zu finden

Beschießen von Goldfolie mit α-Teilchen, die beim Zerfall von Radium entstehen. Um die Goldfolie wurde ein Leuchtschirm positioniert. Trifft nun ein α-Teilchen auf den Schirm, dann entsteht ein detektierbarer Lichtblitz.

– Ergebnis: Nur wenige α-Teilchen wurden abgelenkt. Somit muss es nur eine kleine Fläche fur eine Ablenkung geben und diese muss positiv geladen sein. Die Goldfolie war 0.5 µm dick, um eine Mehrfachstreuung zu vermeiden und die Ablenkung war in einem von 100000 Fällen gr¨oßer als 90◦ .

– Schlussfolgerung: Es werden nur wenige α-Teilchen stark abgelenkt oder zuruckgestreut. ¨ Das bedeutet, dass fast die gesamte Masse in einem sehr kleinen positiv geladenen Kern des Atoms steckt.

Der Quadratisch gemittelte Radius ist:\(R^2_{rms} = \frac{\int r^2 \rho (\vec{r}) d^3 \vec{r}}{\int \rho (\vec{r}) d^3 \vec{r} } = <\vec{r}^2>\)

 Oft wird auch der äquivalente Radius Re einer homogen geladenen Kugel mit Radius hr 2 i, d.h. R2 e = 5 3R2 rms genutzt.

 Experimentell: \(R_e \approx r_0 \cdot A^{\frac{1}{3}}\quad \text{mit} \quad r_0 = 1.3 \pm 0.1 \text{fm}\)

Weitere Definition: \(R_s\)ist der äquivalente Radius einer homogen geladenen Kugel mit Ladungsdichte \(\rho_{\inf} (Z,A)\) Daraus ergibt sich Rs = 1.128 \(A^\frac{1}{3}\)fm

Die Dichte Verteilung für schwere Kerne mit der Woods Saxon Verteilung.

Mathematisch ist die Form:

\(\rho_{el}(\vec{r}) = \frac{\rho_{\inf}(Z,A)}{1+exp \left( \frac{r-R_{1/2}}{\delta} \right)}\)

Hier bei ist \(R_{1/2}\) der Radis bei dem die Dichte auf die Hälfte abgefallen ist und delta der Parameter der Dicke der Randregion angibt.

Für deformierte Kerne muss diese Formel etwas abgewandelt werden.

Es ist ein Anziehendes Kastenpotential mit Randunschärfe. Es beschreibt die Potentielle Energie zwischen Neutronen und Protonen in Abhängigkeit zum Mittelpunkt des Atomkerns.

Der Volumenterm. Konstante Energie im Volumen.

Der Oberflächenterm, da Nukleonen an der Oberfläche weniger gebunden sind als im Zentrum.

Der Coulombterm, da sich Protonen abstoßen.

Der Asymmetrieterm, er beschreibt Quantenmechanische Effekte.

Der Paarungsterm, er liefert nur einen positiven Beitrag für gg Kerne, ist 0 für gu oder ug und negativ für uu.

Dieser ist für das Tröpfchenmodell.

Der Kern entspricht einem Potentialtopf.

Die Wechselwirkungen der Nukleonen werden durch ein effektives Potential beschrieben.

p,n sind Fermionen, sie unterliegen der Fermidirac Statistik.

Vorteile: Guten Beschreibung der Größenordnung der Energie Niveaus. Erklärung von teilen der Bethe-Weizsäcker Formel.

Nachteile: Keine exakten Niveaus und und keine Beschreibung für uu und gg.

Magische Zahlen: 2,8,20,28,50,82,126

Es existieren mehr Isotope, Isotone mit magischen Zahlen als andere in der Nachbarschaft.

Es gibt eine kosmische Häufigkeit magischer Kerne.

Die Bethe-Weizsäcker Formel ist bei ihnen unpräzis.

Anregungsenergien sind bei ihnen hoch, einfangquerschnitte klein.

H mit effektivem Ein-Teilchen-Potential (Kasten= welcher in A ein Teilchen Hamiltonians zerfällt.

Schrödingergleichung lösen.

Entartung der Energieniveaus berechnen!

Im Grundzustand leistet nur die Höchste nicht gefüllte Schale einen Beitrag. In Abgeschlossenen Schalen gilt 

\(J^P_{kern} = 0^+\)

ug gu Kerne mit einem Nukleon außerhalb abgeschlossener Schalen haben Spin und Parität dieses Nukleons. Ein Loch bestimmt als ihren Spin und ihre Parität.

In angeregten Zuständen können Spin und Parität nicht beschrieben werden, da unklar ist welcher Zustand nun besetzt ist.

Ein Dipolmoment hat eine Definierte Parität. D.h. er ist invariant unter Räumlicher Spiegelung.

Quadrupol: gg Kerne haben kein Quadrupolmoment. ug Kerne mit Z um 1 größer/kleiner als eine magische Zahl haben ein quadrupolmoment. Die Vorhersagen für das quadrupolmoment sind viel kleiner als das gemessene Moment. Das liegt in der Annahme sphärischer Kerne. gu Kerne haben eine Vorhersage für ein verschwindendes Quadrupolmoment. Dies ist falsch.

Bethe Weizsäcker Massenformel.

Vorteile: Gute Beschreibung der Bindungsenergie stabiler Kerne. Brauchbare Information über Kernstabilität.

Nachteile: Große Abweichungen für magische Kerne. Keine Informationen über Kernspin und el/mag. (multipol) Momente.

Der Kern wird als Ensemble nicht wechselwirkender Nukleonen in einem Potentialtopf betrachtet.

1. Schritt p=n.

2. Schritt: p,n werden separat betrachtet.

Der Spin 1/2 der Nukleonen wird in den Freiheitsgraden betrachtet und das Pauli Prinzip berücksichtigt. Im Grundzustand werden alle Niveaus bis zur Fermi Energie besetzt.

Vorteile: Größenordnungen für die kinetische Energie des Kerns, kann einige Terme der Bethe Weizsäcker Formel erklären. (asymetrieterm.)

Nachteile: Keine Informationen über die genauen Werte der Energieniveaus. Diese sind Strukturlos und gleichförmig verteilt. Aus Experimenten wissen wir aber, dass es eine Struktur gibt. Erklärt nicht die bevorzugte Paarung von Protonen und Neutronen.

Annahme: Ein effektives Potential der Wechselwirkung, z.B. die Woods Saxon Verteilung.

Vorteile: Benutzt Spin und Drehimpuls. Abgeschlossene Schale -> Stabilität und magische Z,N. Erklärt auch angeregte Zustände. Auch die Insel der Stabilität.

Nachteile: Schlecht für große Z,N, da Annahme eines sphärischen Kerns. Keine Aussage über uu Kerne. Aussagen nicht immer wahr. Sagt nicht ob ein einzelnes oder ein Nukleonenpaar angeregt ist. Werte kleiner als im Experiment.

\(dN(t) = -\lambda N(t) dt \quad \Rightarrow \quad N(t) = N(t_0) e^{-\lambda(t-t_0)} = N_0 e^{-\lambda t} \) für t0 = 0.

In der Atmosphäre findet \(14N+n \rightarrow 14C+p\) statt.

14C ist instabil mit T1/2 = 5730 a.

Annahme: das Verhältnis zwischen 14C und 12C ist konstant. Dies ist jedoch problematisch unter anderem wegen Atomwaffentests. Während des Lebens nehmen Organismen 14C auf. Nach dem Tod zerfällt dieses nur noch.

Erhaltungsgrößen: Energie, Impuls, Drehimpuls, el. Ladung, Baryonen und Leptonenzahl.

Drehimpuls und Parität beiben erhalten.

Das Energiespektrum ist diskret.

Geigar Nuttall Regel:

\(ln(T_{1/2}) = a + \frac{b}{\sqrt{\epsilon_{\alpha, kin}}}\)

Der alpha Zerfall beruht auf dem Tunnel effekt.

Die Zerfallskonstante ist: \(\lambda_\alpha = J_0 e^{-G}\)

Halbwertszeit: \(T_{1/2} = \frac{ln2}{\lambda_\alpha}\)

Die Experimentelle bestätigung durch die Geiger Nuttallsche Regel.

Die Rückstoßfreie Emission oder Absorption eines Photons ist möglich, sofern sich die Kerne in einem Kristal befinden.

Die Rückstoßenergie muss kleiner sein als die Minimale Anregungsenergie der Phononen. Somit ist die einzige Möglichkeit, dass das gesamte Gitter das Photon zurückstößt. Im Vergleich zu seiner grße kann aber die Rückstoßenergie vernachlässigt werden.

Anwendung: Messung von sehr kleinen Energiedifferenzen.

Energie erhaltung, (Diskretes Spektrum), Impulserhaltung, Drehimpulserhaltung, Laduns,Baryonen und Leptonenzahl erhaltung.

\(\beta^+ : M(A,Z) \rightarrow T(A,Z-1) + e^+ + \nu_e \\\beta^- : M(A,Z) \rightarrow T(A,Z+1) + e^- + \nu_e\)

Es gelten Energie, Impuls und drehimpuls Erhaltung. Leptonenzahlerhaltung.

Parität ist nicht erhalten und das spektrum ist kontinuierlich. (Drei Teilchen Zerfall)

Steuerstäbe mit Neutronenabsorbern werden zwischen die Brennelemente eingebracht um Neutronen einzufangen und die Kettenreaktion zu steuern.

Alpha: Bremsung durch ionisation. Inelastische Stöße mit Elektronen in einer Schale. Hier gibt es den Bragg Peak, dort ist das Maximum des Energieverlusts in Luft.

Beta: bremsstrahlung: Durch Coulomb WW kommt es zu Anregung/ionisation.

Gamma, neutronen: Über den Photoeffekt. Das gammateilchen löst ein Elektron aus einer Schale. Dem compton Effekt, das Gamma Teilchen streut an einem Elektron. Das Neutron wechselwirkt mit einem Kern. (Streuung, Einfang, Kettenreaktion.)