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Crée / Actualisé 27.04.2021 / 03.06.2021
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Was versteht man unter einer Primzahl? Wie werden alle anderen Zahlen, die keine Primzahlen sind, genannt

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl ≠ 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Alle anderen Zahlen, also solche Zahlen, die keine Primzahlen sind, nennen wir zusammengesetzte Zahlen oder zusammengesetzt

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Wann nennen wir zwei natürliche Zahlen teilerfremd?

Seien m, n ∈ ℕ. Wir nennen m und n teilerfremd, wenn die Primfaktorzerlegungen von m und n keinen gemeinsamen Faktor haben.

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Bestimmen Sie die Primfaktorzerlegung der folgenden Zahlen:

a) 24 b) 100

a) 2 · 2 · 2 · 3 = 24

b) 2 · 2 · 5 · 5 = 100

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Sind folgende Zahlenpaare teilerfremd?

a) 4 und 10 b) 9 und 16

a) nein

b) ja

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Ist 79 eine Primzahl?

Ja, 79 ist eine Primzahl. Wie Sie sehen, ist es für „größere“ Zahlen gar nicht mehr so leicht zu entscheiden, ob es sich um eine Primzahl handelt.

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Nennen Sie zwei Möglichkeiten, um Primzahlen zu ermitteln

Sieb des Eratosthenes,

Fermat-Test

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Handelt es sich bei dem Sieb des Eratosthenes streng genommen um einen Test zur Ermittlung von Primzahlen?

Bei diesem Verfahren, dem Sieb des Eratosthenes, handelt es sich streng genommen nicht um einen Test. Vielmehr dient das Verfahren dazu, alle Primzahlen bis zu einem bestimmten Grenzwert zu bestimmen.

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Erläutern Sie das Vorgehen des Verfahrens „Sieb des Eratosthenes“

Man wählt einen Maximalwert n ∈ ℕ mit n ≥ 2 und notiert alle Zahlen 2, 3, 4, ..., n in einer Liste. Jede Zahl erhält eine Markierung, die anzeigt, ob es sich um eine Primzahl oder um eine zusammengesetzte Zahl handelt. Zunächst sind alle Zahlen unmarkiert und somit potenzielle Primzahlen. Das Verfahren läuft nun iterativ wie folgt:

1. Die kleinste unmarkierte Zahl pi wird als Primzahl markiert.

2. Danach werden alle Vielfachen von pi als zusammengesetzte Zahlen markiert. Man beginnt dabei mit dem Quadrat von pi , weil alle kleineren Vielfachen bereits Vielfache von Zahlen < pi sind und deshalb bereits als zusammengesetzte Zahlen markiert wurden.

3. Falls das Quadrat von pi größer ist als der gewählte Maximalwert n, sind alle zusammengesetzten Zahlen ≤ n bereits als solche markiert (denn sie sind Vielfache von Zahlen < pi ) und das Verfahren bricht ab. Alle noch unmarkierten Zahlen sind Primzahlen und werden entsprechend markiert.