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Berechnen Sie ohne Anwendung des Euklidischen Algorithmus und ohne die Primfaktorzerlegung die folgenden größten gemeinsamen Teiler von 15 und 60. Erläutern Sie die Vorgehensweise
Seien a := 15 und b := 60. Ohne Anwendung des Euklidischen Algorithmus könnten wir den größten gemeinsamen Teiler z. B. durch einen Vergleich der Teilermengen bestimmen.
Hierzu ermitteln wir zunächst diejenigen natürlichen Zahlen, die sowohl a als auch b teilen. Dies sind 1, 3, 5 und 15. Es existieren noch weitere Zahlen, die entweder nur a oder nur b teilen. Da wir jedoch auf der Suche nach dem größten gemeinsamen Teiler sind, sind diese Zahlen nicht relevant.
Die Zahlen 1, 3 und 5 können jeweils keine größten gemeinsamen Teiler von a und b sein, denn sie werden nicht von 15 geteilt. Der größte gemeinsame Teiler ist somit 15, denn 15|a und 15|b und 15 selbst wird jeweils von 1, 3 und 5 geteilt.
Bestimmen Sie den größten gemeinsamen Teiler von 90 und 525 mithilfe der Primfaktorzerlegung.
3 * 5 = 15
Berechnen Sie mithilfe des Euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 20 und 65.
ggT(65, 20) = 5
Wie lautet das Lemma von Bézout
Seien a, b ∈ ℤ mit a ≠ 0. Dann gibt es Zahlen s, t ∈ ℤ mit ggT(a, b) = s*a + t*b
Was versteht man unter dem erweiterten Euklidischen Algorithmus? Wozu wird er benötigt?
Häufig kombiniert man das Lemma von Bézout mit dem Euklidischen Algorithmus und berechnet dann zuerst den größten gemeinsamen Teiler und im Anschluss daran die Zahlen s und t. Man spricht dann hierbei häufig auch vom erweiterten Euklidischen Algorithmus.
Wie lautet das Lemma von Euklid?
Seien a, b ∈ ℤ und sei p ∈ ℕ eine Primzahl. Wenn p ein Teiler von ab ist, d. h. wenn p|ab gilt, dann gilt auch p|a oder p|b.
Wie lautet der Fundamentalsatz der Arithmetik?
Jede natürliche Zahl x ∈ ℕ lässt sich in eindeutiger Weise als Produkt von endlich vielen Primzahlen p1, …, pn, also in der Form x = p1 · … · pn, schreiben. Wir nennen das Produkt p1 · … · pn die Primfaktorzerlegung von x.
Bestimmen Sie mithilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus jeweils Zahlen s, t ∈ ℤ in der Art, dass s · 42 + t · 120 = ggT(42, 120).
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Cartes-fiches
Berechnen Sie ohne Anwendung des Euklidischen Algorithmus und ohne die Primfaktorzerlegung die folgenden größten gemeinsamen Teiler von 15 und 60. Erläutern Sie die Vorgehensweise
Seien a := 15 und b := 60. Ohne Anwendung des Euklidischen Algorithmus könnten wir den größten gemeinsamen Teiler z. B. durch einen Vergleich der Teilermengen bestimmen.
Hierzu ermitteln wir zunächst diejenigen natürlichen Zahlen, die sowohl a als auch b teilen. Dies sind 1, 3, 5 und 15. Es existieren noch weitere Zahlen, die entweder nur a oder nur b teilen. Da wir jedoch auf der Suche nach dem größten gemeinsamen Teiler sind, sind diese Zahlen nicht relevant.
Die Zahlen 1, 3 und 5 können jeweils keine größten gemeinsamen Teiler von a und b sein, denn sie werden nicht von 15 geteilt. Der größte gemeinsame Teiler ist somit 15, denn 15|a und 15|b und 15 selbst wird jeweils von 1, 3 und 5 geteilt.
Bestimmen Sie den größten gemeinsamen Teiler von 90 und 525 mithilfe der Primfaktorzerlegung.
3 * 5 = 15
Berechnen Sie mithilfe des Euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 20 und 65.
ggT(65, 20) = 5
Wie lautet das Lemma von Bézout
Seien a, b ∈ ℤ mit a ≠ 0. Dann gibt es Zahlen s, t ∈ ℤ mit ggT(a, b) = s*a + t*b
Was versteht man unter dem erweiterten Euklidischen Algorithmus? Wozu wird er benötigt?
Häufig kombiniert man das Lemma von Bézout mit dem Euklidischen Algorithmus und berechnet dann zuerst den größten gemeinsamen Teiler und im Anschluss daran die Zahlen s und t. Man spricht dann hierbei häufig auch vom erweiterten Euklidischen Algorithmus.
Wie lautet das Lemma von Euklid?
Seien a, b ∈ ℤ und sei p ∈ ℕ eine Primzahl. Wenn p ein Teiler von ab ist, d. h. wenn p|ab gilt, dann gilt auch p|a oder p|b.
Wie lautet der Fundamentalsatz der Arithmetik?
Jede natürliche Zahl x ∈ ℕ lässt sich in eindeutiger Weise als Produkt von endlich vielen Primzahlen p1, …, pn, also in der Form x = p1 · … · pn, schreiben. Wir nennen das Produkt p1 · … · pn die Primfaktorzerlegung von x.
Bestimmen Sie mithilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus jeweils Zahlen s, t ∈ ℤ in der Art, dass s · 42 + t · 120 = ggT(42, 120).
