Lernkarten

Karten 16 Karten
Lernende 1 Lernende
Sprache Deutsch
Stufe Universität
Erstellt / Aktualisiert 27.04.2021 / 28.04.2021
Lizenzierung Keine Angabe
Weblink
Einbinden
0 Exakte Antworten 16 Text Antworten 0 Multiple Choice Antworten

1/16

Fenster schliessen

Berechnen Sie mithilfe des Euklidischen Algorithmus den folgenden größten gemeinsamen Teiler:
ggT(45, 81)

ggT(45, 81) = 9

Fenster schliessen

Berechnen Sie mithilfe des Euklidischen Algorithmus den folgenden größten gemeinsamen Teiler:
ggT(136, 123)

ggT(136, 123) = 1

Fenster schliessen

Berechnen Sie mithilfe des Euklidischen Algorithmus den folgenden größten gemeinsamen Teiler:
ggT(2341, 5817)

ggT(2341, 5817) = 1

Fenster schliessen

Bestimmen Sie mithilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus (Lemma von Bézout) jeweils Zahlen s, t ∈ ℤ in der Art, dass Folgendes gilt:
s·45 + t·81= ggT (45,81)
 

s := 2 und t := −1

Fenster schliessen

Bestimmen Sie mithilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus (Lemma von Bézout) jeweils Zahlen s, t ∈ ℤ in der Art, dass Folgendes gilt:

s·136 + t·123= ggT(136,123)
 

s := 19 und t := −21

Fenster schliessen

Wozu wird der Euklidische Algorithmus benötigt?

Mit dem Euklidischen Algorithmus lässt sich der größte gemeinsame Teiler von zwei natürlichen Zahlen bestimmen. Darüber hinaus findet er beim Beweis des Fundamentalsatzes der Arithmetik Anwendung

Fenster schliessen

Was versteht man unter dem größten gemeinsamen Teiler?

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier Zahlen a und b teilt zum einen diese beiden Zahlen, zum anderen wird er selbst von jeder ganzen Zahl geteilt, die ebenfalls diese beiden Zahlen teilt.

Es ist zu beachten, dass der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen per Definition immer eine natürliche Zahl, also insbesondere immer positiv, ist.

Fenster schliessen

Benutzen Sie den Satz „Division mit Rest“. Bestimmen Sie r und q.

a) a = 15 und b = 3

b) a = 5 und b = 2

a) Seien a = 15 und b = 3. Dann ist 15 = 3 · 5 + 0, also q = 3 und r = 0.

b) Seien a = 5 und b = 2. Dann ist 5 = 2 · 5 + 1, also q = 2 und r = 1.

Fenster schliessen

Berechnen Sie ohne Anwendung des Euklidischen Algorithmus und ohne die Primfaktorzerlegung die folgenden größten gemeinsamen Teiler von 15 und 60. Erläutern Sie die Vorgehensweise

Seien a := 15 und b := 60. Ohne Anwendung des Euklidischen Algorithmus könnten wir den größten gemeinsamen Teiler z. B. durch einen Vergleich der Teilermengen bestimmen.

Hierzu ermitteln wir zunächst diejenigen natürlichen Zahlen, die sowohl a als auch b teilen. Dies sind 1, 3, 5 und 15. Es existieren noch weitere Zahlen, die entweder nur a oder nur b teilen. Da wir jedoch auf der Suche nach dem größten gemeinsamen Teiler sind, sind diese Zahlen nicht relevant.

Die Zahlen 1, 3 und 5 können jeweils keine größten gemeinsamen Teiler von a und b sein, denn sie werden nicht von 15 geteilt. Der größte gemeinsame Teiler ist somit 15, denn 15|a und 15|b und 15 selbst wird jeweils von 1, 3 und 5 geteilt.

Fenster schliessen

Bestimmen Sie den größten gemeinsamen Teiler von 90 und 525 mithilfe der Primfaktorzerlegung.

3 * 5 = 15

Fenster schliessen

Berechnen Sie mithilfe des Euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 20 und 65.

ggT(65, 20) = 5

Fenster schliessen

Wie lautet das Lemma von Bézout

Seien a, b ∈ ℤ mit a ≠ 0. Dann gibt es Zahlen s, t ∈ ℤ mit ggT(a, b) = s*a + t*b

Fenster schliessen

Was versteht man unter dem erweiterten Euklidischen Algorithmus? Wozu wird er benötigt?

Häufig kombiniert man das Lemma von Bézout mit dem Euklidischen Algorithmus und berechnet dann zuerst den größten gemeinsamen Teiler und im Anschluss daran die Zahlen s und t. Man spricht dann hierbei häufig auch vom erweiterten Euklidischen Algorithmus.

Fenster schliessen

Wie lautet das Lemma von Euklid?

Seien a, b ∈ ℤ und sei p ∈ ℕ eine Primzahl. Wenn p ein Teiler von ab ist, d. h. wenn p|ab gilt, dann gilt auch p|a oder p|b.

Fenster schliessen

Wie lautet der Fundamentalsatz der Arithmetik?

Jede natürliche Zahl x ∈ ℕ lässt sich in eindeutiger Weise als Produkt von endlich vielen Primzahlen p1, …, pn, also in der Form x = p1 · … · pn, schreiben. Wir nennen das Produkt p1 · … · pn die Primfaktorzerlegung von x.

Fenster schliessen

Bestimmen Sie mithilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus jeweils Zahlen s, t ∈ ℤ in der Art, dass s · 42 + t · 120 = ggT(42, 120).

Lizenzierung: Keine Angabe