Lernkarten

Philipp Stark
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Sprache Deutsch
Stufe Universität
Erstellt / Aktualisiert 21.07.2020 / 28.07.2020
Lizenzierung Namensnennung (CC BY)     (Skript: Analysis I und II von Peter Jossen - https://metaphor.ethz.ch/x/2020/fs/401-1262-07L/sc/SkriptAnalysis.pdf)
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Homöomorphismus

Das Inverse einer stetigen Bijektion ist im Allgmeinen nicht stetig. Falls doch ist es ein Homöomorphismus.

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Folgen im topologischen Raum

Sei \((x_n)_{n=0}^\infty\) eine Folge im topologischen Raum \(X\).

\(a \in X\) heisst Grenzwert der Folge, falls  \(\forall \,\)Umgebungen \(W\) von \(a\)  \(\exists N \in \mathbb N : \ x_n \in W \quad \forall n \ge N\)

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Hausdorff'scher topologischer Raum

\(X\) heisst Hausdorff'sch falls \(\forall x,y \in X, \ x \not = y\)   \(\exists\)Umgebungen \(W,V\) von \(x,y\) mit \(V \cap W = \emptyset\)

In einem Hausdorff'schen topologischen Raum hat eine Folge \((x_n)_{n=0}^\infty\) höchstens einen Grenzwert \(\lim \limits_{n \to\infty} x_n = a \in X\)

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Folgenstetigkeit

Eine Abb. \(f: X \to Y\) zwischen Hausdorff'schen topol. Räumen ist folgenstetig, falls für jede konvergente Folge \((x_n)_{n=0}^\infty\) in \(X\) mit \(\lim \limits_{n \to \infty} x_n = a\)  \(\implies \lim \limits_{n \to \infty} f(x_n) = f(a)\)

(stetig \(\Rightarrow\) folgenstetig,   \(\not \Leftarrow\))

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offene Überdeckungen

Sei \(X\) ein topologischer Raum mit Teilmenge \(A \subseteq X\). Eine offene Überdeckung ist eine Familie offener Mengen \(\mathcal U = (U_i)_{i\in I}\) von \(X\) so dass \(A \subseteq \bigcup \limits_{U \in \mathcal U} U\) gilt.

Teilüberdeckung der Überdeckung \(\mathcal U\) von \(A\) : \(\mathcal V \subseteq \mathcal U\) (überdeckt \(A\))

Endliche Überdeckung \((U_j)_{j \in J}\) mit \(J\) endlich.

 

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Kompaktheit von topologischen Räumen

Falls jede offene Überdeckung vom topologischen Raum \(X\) eine endliche Teilüberdeckung hat.

\(A \subseteq X\) heisst kompakt, falls mit induzierter Topologie kompakt.

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Schachtelungsprinzip \(\Longleftrightarrow X\) kompakt

Schachtelungsprinzip:

Sei \(\mathcal A\) eine Familie abgeschlossener Teilmengen von X sodass
\(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n \not = \emptyset \quad\)\(\forall A_1, \dots, A_n \in \mathcal A\), so gilt auch \(\bigcap \limits_{A \in \mathcal A} A \not = \emptyset\).

Es folgt: Sei \(\mathcal A\) eine Familie abgeschlossener Teilmengen mit \(\bigcap \limits_{A \in \mathcal A} A = \emptyset\).  Dann gibt es auch \(A_1 \cap \dots \cap A_n = \emptyset\). Setze  \(\mathcal U = \{ U_i \ \forall i\}\) mit \(U_i = X \backslash A_i\) dann ist \(\bigcup \limits_{U \in \mathcal U} U = X\) und \(U_1 \cup \dots \cup U_n = X\) (also kompakt).

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Kompaktheit für Teilmengen und stetige Abb.

 

 

Ist \(X\) kompakt und \(A \subseteq X\) abgeschlossen, so ist \(A \) kompakt.

Sei \(f: X \to Y\) eine stetige Abb. auf top. Räumen und sei \(A \subseteq X\) kompakt. Dann ist \(f(A) \subseteq Y\) kompakt.