Lernkarten
metrischer Raum
\((X,d)\) mit \(d: X \times X \to \mathbb R\) sodass \(\forall x,y,z \in X\):
- \(d(x,y) \ge 0, \quad d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y\) (positiv definit)
- \(d(x,y) = d(y,x)\) (symmetrisch)
- \(d(x,y) + d(y,z) \ge d(x,z)\) (3-Ecks-Ungleichung)
Stetigkeit von \(f: X \to Y\) mit \((X,d), \ (Y,d)\) metrische Räume
(3 Äquivalenzen)
- \(\forall x \in X \ \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : \,\)\(d(x,x_1) < \delta \Longrightarrow \,\)\( d(f(x),f(x_1)) < \varepsilon\) (\(\varepsilon\text{-}\delta\)-stetig)
- \((x_n)_{n=0}^\infty\) konvergente Folge in X mit \(\lim \limits_{n \to \infty} x_n = a\) \(\implies f(x)_{n=0}^\infty\) konvergent mit \(\lim \limits_{n \to \infty} f(x_n) = f(a)\) (folgenstetig)
- \(U \subseteq Y\) offen \(\implies\) \(f^{-1} (U) \subseteq X\) offen (topologisch stetig)
topologischer Raum
Das geordnete Paar \((X, \tau) \) heisst topologischer Raum.
Sei \(X\) eine Menge. Eine Topologie \(\tau\) auf \(X\) ist eine Kollektion von Teilmengen von \(X\).
\(\tau \subseteq \mathcal P(X)\) genannt offene Teilmengen sodass:
(3 Äquivalenzen)
- \(\emptyset, X\) sind offen
- Beliebige Vereinigungen offerner Mengen sind offen
- Endliche Durchschnitte offener Mengen sind offen.
Beispielsweise liefert jeder metrische Raum einen topologischen Raum.
abgeschlossene Teilmenge \(A\) auf \((X, \tau)\)
Komplemente abgeschlossener Mengen sind offen.
\(A\) abgeschlossen, falls \(X \backslash A\) offen.
Stetigkeit auf topologischen Räumen
Urbilder offener Teilmengen sind offen.
Seien \(X,Y\) topologische Räume. Eine Funktion \(f: X \to Y\) heisst stetig, falls
\(\forall U \subseteq Y\) offen \(: f^{-1}(U) \subseteq X\) offen
Verknüpfungen stetiger Funktionen sind stetig.
Sei \(Y \subseteq X \) eine Teilmenge des topologischen Raumes \(X\).
\(\tau_Y = \{ Y \cap U \, | \, U \subseteq X \text{ offen}\} = \{ Y \cap U \,|\, U \subseteq \tau \} \) die auf \(Y\) induzierte Topologie.
Teilmengen \(V \subseteq Y\) mit \(V \in \tau_Y\) heisst relativ offen bzw. offen in \(Y\).
Umgebung von \(x \in (X,\tau)\)
Teilmenge \(W \subseteq X\) heisst Umgebung von \(x\), falls \(\exists U \subseteq X \text{ offen} : x \in U \subseteq W\).
(Ist \(W\) offen, so ist es eine Umgebung)
Inneres, Abschluss, Rand
- das Innere von \(Y\): \(Y^° = \{ x \in Y \,|\, Y \text{ ist Umgebung von }x \}\,\)\(= \{ x \in Y \,|\, \exists U \subseteq X \text{ offen, } x \in U \subseteq Y\}\)
- Abschluss von \(Y\): \(\overline Y = \{ x \in X \,|\, W \cap Y \not = \emptyset \quad \forall \text{ Umgebungen } W \text{ von } X \}\)
- der Rand von \(Y\): \(\partial Y = \overline Y \backslash Y^°\)
