Lernkarten

Philipp Stark
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Lernende 1 Lernende
Sprache Deutsch
Stufe Universität
Erstellt / Aktualisiert 21.07.2020 / 28.07.2020
Lizenzierung Namensnennung (CC BY)     (Skript: Analysis I und II von Peter Jossen - https://metaphor.ethz.ch/x/2020/fs/401-1262-07L/sc/SkriptAnalysis.pdf)
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folgenkompakt

Falls jede Folge \((x_n)_{n=0}^\infty \) im topologischen Raum \(X\) eine konvergente Teilfolge hat, heisst \(X\) folgenkompakt.

Kompaktheit im metrischen Raum \((X,d)\): (folgen)kompakt, falls \((X,\tau)\) mit induzierter Topologie (folgen)kompakt.

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Beschränktheit im metrischen Raum \((X,d)\)

beschränkt: \(\exists R > 0 : d(x,y) \le R \quad \forall x,y \in X\)

total beschränkt: \(\forall r > 0 \quad \exists\)endlich viele Punkte \(x_1, \dots, x_n \in X : \,\)\(X = \bigcup \limits_{k=1}^n B(x_k,r)\)

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Lebesque Zahl

Sei \((U_i)_{i \in I}\) eine offene Überdeckung des metr. Raumes \(X\).

\(\lambda > 0 \in \mathbb R\) heisst Lebesque Zahl, wenn \(\forall x \in X \ \exists i \in I : B(x,\lambda) \subseteq U_i\)

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Äquivalenzen für Kompaktheit im metrischen Raum \((X,d)\)

  1. X folgenkompakt
  2. Jede unendliche Teilmenge hat Häufungspunkt
  3. Jede stetige Funktion \(f: X \to \mathbb R\) ist beschränkt
  4. Jede stetige Funktion \(f: X \to \mathbb R\) erreicht Max/Min auf X
  5. X total beschränkt und jede offene Überdeckung hat Lebesque Zahl
  6. X ist total beschränkt und vollständig

Es gilt für \(f: X \to Y\) stetig (mit X kompakt) \(f\) gleichmässig stetig.

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Heine-Borel

Teilmenge \(A \subseteq \mathbb R^n\) (endl. dim.) kompakt  \(\Longleftrightarrow\)  \(A \) abgeschlossen und beschränkt

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Zusammenhangsbegriff im topologischen Raum \((X,d)\)

Lizenzierung: Keine Angabe
  • zusammenhängend: \(\emptyset, X\) sind die einzigen Teilmengen von \(X\), die offen und abgeschlossen sind.
  • wegzusammenhängend: \(\forall x_1, x_2 \in X \ \exists\)Pfad von \(x_1 \) nach \(x_2 \)
    (\(\gamma : [0,1] \to X \) stetig mit \(\gamma(0) = x_1, \ \gamma(1) = x_2\))
  • einfach zusammenhängend: \(\forall\)Pfade \(\gamma_0, \gamma_1\) von \(x_1 \) nach \(x_2 \)  \(\exists\)Homotopie von \(\gamma_0\) nach \(\gamma_1\)
    (Homotopie/Deformation von \(\gamma_0\) nach \(\gamma_1\)ist stetige Abb. \(h: [0,1] \times [0,1] \to X\) mit \(h(t,0) = \gamma_0(t)\), \(h(t,1) = \gamma_1(t)\), \(h(0,s) = x_0, h(1,s) = x_1 \ \forall s \in [0,1]\))

einfach zusammenhängend \(\implies\)wegzusammenhängend \(\implies\)zusammenhängend

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Zusammenhangskomponente

Lizenzierung: Keine Angabe

Teilmenge \(A \subseteq X\) zusammenhängend, falls \(A\) als eigenständiger Raum mit induzierter Topologie zusammenhängend.

Ist \(A \subseteq X\) offen, abgeschlossen und beschränkt, so heisst \(A\) Zusammenhangskomponente von \(X\).

Seien \(Y_1, Y_2 \subseteq X\) zusammenhängend mit \(Y_1 \cap Y_2 \not = \emptyset\) dann ist \(Y_1 \cup Y_2\) zusammenhängend.

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Produkttopologie

Seien \((X, \tau_X), (Y, \tau_Y)\) topologische Räume.
Die Produkttopologie enthällt alle \(U \subseteq X \times Y\) für die gilt:
\(\forall(x,y) \in U \quad \exists\)offene Umgebungen
\(V\subseteq X\) von \(x\) und \(W \subseteq Y\) von \(y\) mit \(V\times W \subseteq U\)