10 Topologische Grundbegriffe

beschränkt: \(\exists R > 0 : d(x,y) \le R \quad \forall x,y \in X\)

total beschränkt: \(\forall r > 0 \quad \exists\)endlich viele Punkte \(x_1, \dots, x_n \in X : \,\)\(X = \bigcup \limits_{k=1}^n B(x_k,r)\)

Sei \((U_i)_{i \in I}\) eine offene Überdeckung des metr. Raumes \(X\).

\(\lambda > 0 \in \mathbb R\) heisst Lebesque Zahl, wenn \(\forall x \in X \ \exists i \in I : B(x,\lambda) \subseteq U_i\)

1. X folgenkompakt
2. Jede unendliche Teilmenge hat Häufungspunkt
3. Jede stetige Funktion \(f: X \to \mathbb R\) ist beschränkt
4. Jede stetige Funktion \(f: X \to \mathbb R\) erreicht Max/Min auf X
5. X total beschränkt und jede offene Überdeckung hat Lebesque Zahl
6. X ist total beschränkt und vollständig

Es gilt für \(f: X \to Y\) stetig (mit X kompakt) \(f\) gleichmässig stetig.

Teilmenge \(A \subseteq \mathbb R^n\) (endl. dim.) kompakt  \(\Longleftrightarrow\)  \(A \) abgeschlossen und beschränkt

• zusammenhängend: \(\emptyset, X\) sind die einzigen Teilmengen von \(X\), die offen und abgeschlossen sind.
• wegzusammenhängend: \(\forall x_1, x_2 \in X \ \exists\)Pfad von \(x_1 \) nach \(x_2 \)
  (\(\gamma : [0,1] \to X \) stetig mit \(\gamma(0) = x_1, \ \gamma(1) = x_2\))
• einfach zusammenhängend: \(\forall\)Pfade \(\gamma_0, \gamma_1\) von \(x_1 \) nach \(x_2 \)  \(\exists\)Homotopie von \(\gamma_0\) nach \(\gamma_1\)
  (Homotopie/Deformation von \(\gamma_0\) nach \(\gamma_1\)ist stetige Abb. \(h: [0,1] \times [0,1] \to X\) mit \(h(t,0) = \gamma_0(t)\), \(h(t,1) = \gamma_1(t)\), \(h(0,s) = x_0, h(1,s) = x_1 \ \forall s \in [0,1]\))

einfach zusammenhängend \(\implies\)wegzusammenhängend \(\implies\)zusammenhängend

Teilmenge \(A \subseteq X\) zusammenhängend, falls \(A\) als eigenständiger Raum mit induzierter Topologie zusammenhängend.

Ist \(A \subseteq X\) offen, abgeschlossen und beschränkt, so heisst \(A\) Zusammenhangskomponente von \(X\).

Seien \(Y_1, Y_2 \subseteq X\) zusammenhängend mit \(Y_1 \cap Y_2 \not = \emptyset\) dann ist \(Y_1 \cup Y_2\) zusammenhängend.

Seien \((X, \tau_X), (Y, \tau_Y)\) topologische Räume.
Die Produkttopologie enthällt alle \(U \subseteq X \times Y\) für die gilt:
\(\forall(x,y) \in U \quad \exists\)offene Umgebungen
\(V\subseteq X\) von \(x\) und \(W \subseteq Y\) von \(y\) mit \(V\times W \subseteq U\)

Ein topo. VR \(V\) über \(\mathbb K\) mit Hausdorff'scher Topologie \(\tau\) auf \(V\)
sd. \(m: \mathbb K \times V \to V\) und \(s: V \times V \to V\) gegeben durch
\(m(a,v) = av\) und \(s(v,w) = v+w\) stetig sind bzgl.
Produkttopologie auf \(\mathbb K \times V\) bzw. \(V \times V\).

Sei \((X,\tau)\)
\(f: X \to \mathbb R\) beschränkte Funktion.
Für \(x \in X\) ist die Oszillation bzw. Schwankung von f bei x durch
\(\omega(f,x) = \lim\limits_{\delta \to 0} \left( \sup f(B(x,\delta)) - \inf f(B(x,\delta)) \right)\)