10 Topologische Grundbegriffe
Analysis vom ETH-Basisjahr Mathematik bzw. Physik oder RW; Dozent Peter Jossen; Kapitel 10 aus der Vorlesung
Analysis vom ETH-Basisjahr Mathematik bzw. Physik oder RW; Dozent Peter Jossen; Kapitel 10 aus der Vorlesung
folgenkompakt
Falls jede Folge \((x_n)_{n=0}^\infty \) im topologischen Raum \(X\) eine konvergente Teilfolge hat, heisst \(X\) folgenkompakt.
Kompaktheit im metrischen Raum \((X,d)\): (folgen)kompakt, falls \((X,\tau)\) mit induzierter Topologie (folgen)kompakt.
Beschränktheit im metrischen Raum \((X,d)\)
beschränkt: \(\exists R > 0 : d(x,y) \le R \quad \forall x,y \in X\)
total beschränkt: \(\forall r > 0 \quad \exists\)endlich viele Punkte \(x_1, \dots, x_n \in X : \,\)\(X = \bigcup \limits_{k=1}^n B(x_k,r)\)
Lebesque Zahl
Sei \((U_i)_{i \in I}\) eine offene Überdeckung des metr. Raumes \(X\).
\(\lambda > 0 \in \mathbb R\) heisst Lebesque Zahl, wenn \(\forall x \in X \ \exists i \in I : B(x,\lambda) \subseteq U_i\)
Äquivalenzen für Kompaktheit im metrischen Raum \((X,d)\)
- X folgenkompakt
- Jede unendliche Teilmenge hat Häufungspunkt
- Jede stetige Funktion \(f: X \to \mathbb R\) ist beschränkt
- Jede stetige Funktion \(f: X \to \mathbb R\) erreicht Max/Min auf X
- X total beschränkt und jede offene Überdeckung hat Lebesque Zahl
- X ist total beschränkt und vollständig
Es gilt für \(f: X \to Y\) stetig (mit X kompakt) \(f\) gleichmässig stetig.
Heine-Borel
Teilmenge \(A \subseteq \mathbb R^n\) (endl. dim.) kompakt \(\Longleftrightarrow\) \(A \) abgeschlossen und beschränkt
Zusammenhangsbegriff im topologischen Raum \((X,d)\)
- zusammenhängend: \(\emptyset, X\) sind die einzigen Teilmengen von \(X\), die offen und abgeschlossen sind.
- wegzusammenhängend: \(\forall x_1, x_2 \in X \ \exists\)Pfad von \(x_1 \) nach \(x_2 \)
(\(\gamma : [0,1] \to X \) stetig mit \(\gamma(0) = x_1, \ \gamma(1) = x_2\)) - einfach zusammenhängend: \(\forall\)Pfade \(\gamma_0, \gamma_1\) von \(x_1 \) nach \(x_2 \) \(\exists\)Homotopie von \(\gamma_0\) nach \(\gamma_1\)
(Homotopie/Deformation von \(\gamma_0\) nach \(\gamma_1\)ist stetige Abb. \(h: [0,1] \times [0,1] \to X\) mit \(h(t,0) = \gamma_0(t)\), \(h(t,1) = \gamma_1(t)\), \(h(0,s) = x_0, h(1,s) = x_1 \ \forall s \in [0,1]\))
einfach zusammenhängend \(\implies\)wegzusammenhängend \(\implies\)zusammenhängend
Zusammenhangskomponente
Teilmenge \(A \subseteq X\) zusammenhängend, falls \(A\) als eigenständiger Raum mit induzierter Topologie zusammenhängend.
Ist \(A \subseteq X\) offen, abgeschlossen und beschränkt, so heisst \(A\) Zusammenhangskomponente von \(X\).
Seien \(Y_1, Y_2 \subseteq X\) zusammenhängend mit \(Y_1 \cap Y_2 \not = \emptyset\) dann ist \(Y_1 \cup Y_2\) zusammenhängend.
Produkttopologie
Seien \((X, \tau_X), (Y, \tau_Y)\) topologische Räume.
Die Produkttopologie enthällt alle \(U \subseteq X \times Y\) für die gilt:
\(\forall(x,y) \in U \quad \exists\)offene Umgebungen
\(V\subseteq X\) von \(x\) und \(W \subseteq Y\) von \(y\) mit \(V\times W \subseteq U\)
topologischer Vektorraum
Ein topo. VR \(V\) über \(\mathbb K\) mit Hausdorff'scher Topologie \(\tau\) auf \(V\)
sd. \(m: \mathbb K \times V \to V\) und \(s: V \times V \to V\) gegeben durch
\(m(a,v) = av\) und \(s(v,w) = v+w\) stetig sind bzgl.
Produkttopologie auf \(\mathbb K \times V\) bzw. \(V \times V\).
Oszillation
Sei \((X,\tau)\)
\(f: X \to \mathbb R\) beschränkte Funktion.
Für \(x \in X\) ist die Oszillation bzw. Schwankung von f bei x durch
\(\omega(f,x) = \lim\limits_{\delta \to 0} \left( \sup f(B(x,\delta)) - \inf f(B(x,\delta)) \right)\)
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Cartes-fiches
folgenkompakt
Falls jede Folge \((x_n)_{n=0}^\infty \) im topologischen Raum \(X\) eine konvergente Teilfolge hat, heisst \(X\) folgenkompakt.
Kompaktheit im metrischen Raum \((X,d)\): (folgen)kompakt, falls \((X,\tau)\) mit induzierter Topologie (folgen)kompakt.
Beschränktheit im metrischen Raum \((X,d)\)
beschränkt: \(\exists R > 0 : d(x,y) \le R \quad \forall x,y \in X\)
total beschränkt: \(\forall r > 0 \quad \exists\)endlich viele Punkte \(x_1, \dots, x_n \in X : \,\)\(X = \bigcup \limits_{k=1}^n B(x_k,r)\)
Lebesque Zahl
Sei \((U_i)_{i \in I}\) eine offene Überdeckung des metr. Raumes \(X\).
\(\lambda > 0 \in \mathbb R\) heisst Lebesque Zahl, wenn \(\forall x \in X \ \exists i \in I : B(x,\lambda) \subseteq U_i\)
Äquivalenzen für Kompaktheit im metrischen Raum \((X,d)\)
- X folgenkompakt
- Jede unendliche Teilmenge hat Häufungspunkt
- Jede stetige Funktion \(f: X \to \mathbb R\) ist beschränkt
- Jede stetige Funktion \(f: X \to \mathbb R\) erreicht Max/Min auf X
- X total beschränkt und jede offene Überdeckung hat Lebesque Zahl
- X ist total beschränkt und vollständig
Es gilt für \(f: X \to Y\) stetig (mit X kompakt) \(f\) gleichmässig stetig.
Heine-Borel
Teilmenge \(A \subseteq \mathbb R^n\) (endl. dim.) kompakt \(\Longleftrightarrow\) \(A \) abgeschlossen und beschränkt
Zusammenhangsbegriff im topologischen Raum \((X,d)\)
- zusammenhängend: \(\emptyset, X\) sind die einzigen Teilmengen von \(X\), die offen und abgeschlossen sind.
- wegzusammenhängend: \(\forall x_1, x_2 \in X \ \exists\)Pfad von \(x_1 \) nach \(x_2 \)
(\(\gamma : [0,1] \to X \) stetig mit \(\gamma(0) = x_1, \ \gamma(1) = x_2\)) - einfach zusammenhängend: \(\forall\)Pfade \(\gamma_0, \gamma_1\) von \(x_1 \) nach \(x_2 \) \(\exists\)Homotopie von \(\gamma_0\) nach \(\gamma_1\)
(Homotopie/Deformation von \(\gamma_0\) nach \(\gamma_1\)ist stetige Abb. \(h: [0,1] \times [0,1] \to X\) mit \(h(t,0) = \gamma_0(t)\), \(h(t,1) = \gamma_1(t)\), \(h(0,s) = x_0, h(1,s) = x_1 \ \forall s \in [0,1]\))
einfach zusammenhängend \(\implies\)wegzusammenhängend \(\implies\)zusammenhängend
Zusammenhangskomponente
Teilmenge \(A \subseteq X\) zusammenhängend, falls \(A\) als eigenständiger Raum mit induzierter Topologie zusammenhängend.
Ist \(A \subseteq X\) offen, abgeschlossen und beschränkt, so heisst \(A\) Zusammenhangskomponente von \(X\).
Seien \(Y_1, Y_2 \subseteq X\) zusammenhängend mit \(Y_1 \cap Y_2 \not = \emptyset\) dann ist \(Y_1 \cup Y_2\) zusammenhängend.
Produkttopologie
Seien \((X, \tau_X), (Y, \tau_Y)\) topologische Räume.
Die Produkttopologie enthällt alle \(U \subseteq X \times Y\) für die gilt:
\(\forall(x,y) \in U \quad \exists\)offene Umgebungen
\(V\subseteq X\) von \(x\) und \(W \subseteq Y\) von \(y\) mit \(V\times W \subseteq U\)
topologischer Vektorraum
Ein topo. VR \(V\) über \(\mathbb K\) mit Hausdorff'scher Topologie \(\tau\) auf \(V\)
sd. \(m: \mathbb K \times V \to V\) und \(s: V \times V \to V\) gegeben durch
\(m(a,v) = av\) und \(s(v,w) = v+w\) stetig sind bzgl.
Produkttopologie auf \(\mathbb K \times V\) bzw. \(V \times V\).
Oszillation
Sei \((X,\tau)\)
\(f: X \to \mathbb R\) beschränkte Funktion.
Für \(x \in X\) ist die Oszillation bzw. Schwankung von f bei x durch
\(\omega(f,x) = \lim\limits_{\delta \to 0} \left( \sup f(B(x,\delta)) - \inf f(B(x,\delta)) \right)\)
