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Philipp Stark
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Sprache Deutsch
Stufe Universität
Erstellt / Aktualisiert 21.07.2020 / 28.07.2020
Lizenzierung Namensnennung (CC BY)     (Skript: Analysis I und II von Peter Jossen - https://metaphor.ethz.ch/x/2020/fs/401-1262-07L/sc/SkriptAnalysis.pdf)
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metrischer Raum

\((X,d)\) mit \(d: X \times X \to \mathbb R\) sodass \(\forall x,y,z \in X\):

  1. \(d(x,y) \ge 0, \quad d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y\)   (positiv definit)
  2. \(d(x,y) = d(y,x)\)      (symmetrisch)
  3. \(d(x,y) + d(y,z) \ge d(x,z)\)      (3-Ecks-Ungleichung)
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Stetigkeit von \(f: X \to Y\) mit \((X,d), \ (Y,d)\) metrische Räume


(3 Äquivalenzen)
  1. \(\forall x \in X \ \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : \,\)\(d(x,x_1) < \delta \Longrightarrow \,\)\( d(f(x),f(x_1)) < \varepsilon\)   (\(\varepsilon\text{-}\delta\)-stetig)
  2. \((x_n)_{n=0}^\infty\) konvergente Folge in X mit \(\lim \limits_{n \to \infty} x_n = a\)  \(\implies f(x)_{n=0}^\infty\) konvergent mit \(\lim \limits_{n \to \infty} f(x_n) = f(a)\)    (folgenstetig)
  3. \(U \subseteq Y\) offen  \(\implies\)  \(f^{-1} (U) \subseteq X\) offen   (topologisch stetig)
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topologischer Raum

Das geordnete Paar \((X, \tau) \) heisst topologischer Raum.

Sei \(X\) eine Menge. Eine Topologie \(\tau\) auf \(X\) ist eine Kollektion von Teilmengen von \(X\).

\(\tau \subseteq \mathcal P(X)\) genannt offene Teilmengen sodass:


(3 Äquivalenzen)
  1. \(\emptyset, X\) sind offen
  2. Beliebige Vereinigungen offerner Mengen sind offen
  3. Endliche Durchschnitte offener Mengen sind offen.

Beispielsweise liefert jeder metrische Raum einen topologischen Raum.

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abgeschlossene Teilmenge \(A\) auf \((X, \tau)\)

Komplemente abgeschlossener Mengen sind offen.

\(A\) abgeschlossen, falls \(X \backslash A\) offen.

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Stetigkeit auf topologischen Räumen

Urbilder offener Teilmengen sind offen.

Seien \(X,Y\) topologische Räume. Eine Funktion \(f: X \to Y\) heisst stetig, falls
\(\forall U \subseteq Y\) offen \(: f^{-1}(U) \subseteq X\) offen

Verknüpfungen stetiger Funktionen sind stetig.

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Sei \(Y \subseteq X \) eine Teilmenge des topologischen Raumes \(X\).

\(\tau_Y = \{ Y \cap U \, | \, U \subseteq X \text{ offen}\} = \{ Y \cap U \,|\, U \subseteq \tau \} \) die auf \(Y\) induzierte Topologie.

Teilmengen \(V \subseteq Y\) mit \(V \in \tau_Y\) heisst relativ offen bzw. offen in \(Y\).

 

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Umgebung von \(x \in (X,\tau)\)

Teilmenge \(W \subseteq X\) heisst Umgebung von \(x\), falls \(\exists U \subseteq X \text{ offen} : x \in U \subseteq W\).
(Ist \(W\) offen, so ist es eine Umgebung)

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Inneres, Abschluss, Rand

  • das Innere von \(Y\): \(Y^° = \{ x \in Y \,|\, Y \text{ ist Umgebung von }x \}\,\)\(= \{ x \in Y \,|\, \exists U \subseteq X \text{ offen, } x \in U \subseteq Y\}\)
  • Abschluss von \(Y\): \(\overline Y = \{ x \in X \,|\, W \cap Y \not = \emptyset \quad \forall \text{ Umgebungen } W \text{ von } X \}\)
  • der Rand von \(Y\): \(\partial Y = \overline Y \backslash Y^°\)
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Homöomorphismus

Das Inverse einer stetigen Bijektion ist im Allgmeinen nicht stetig. Falls doch ist es ein Homöomorphismus.

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Folgen im topologischen Raum

Sei \((x_n)_{n=0}^\infty\) eine Folge im topologischen Raum \(X\).

\(a \in X\) heisst Grenzwert der Folge, falls  \(\forall \,\)Umgebungen \(W\) von \(a\)  \(\exists N \in \mathbb N : \ x_n \in W \quad \forall n \ge N\)

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Hausdorff'scher topologischer Raum

\(X\) heisst Hausdorff'sch falls \(\forall x,y \in X, \ x \not = y\)   \(\exists\)Umgebungen \(W,V\) von \(x,y\) mit \(V \cap W = \emptyset\)

In einem Hausdorff'schen topologischen Raum hat eine Folge \((x_n)_{n=0}^\infty\) höchstens einen Grenzwert \(\lim \limits_{n \to\infty} x_n = a \in X\)

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Folgenstetigkeit

Eine Abb. \(f: X \to Y\) zwischen Hausdorff'schen topol. Räumen ist folgenstetig, falls für jede konvergente Folge \((x_n)_{n=0}^\infty\) in \(X\) mit \(\lim \limits_{n \to \infty} x_n = a\)  \(\implies \lim \limits_{n \to \infty} f(x_n) = f(a)\)

(stetig \(\Rightarrow\) folgenstetig,   \(\not \Leftarrow\))

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offene Überdeckungen

Sei \(X\) ein topologischer Raum mit Teilmenge \(A \subseteq X\). Eine offene Überdeckung ist eine Familie offener Mengen \(\mathcal U = (U_i)_{i\in I}\) von \(X\) so dass \(A \subseteq \bigcup \limits_{U \in \mathcal U} U\) gilt.

Teilüberdeckung der Überdeckung \(\mathcal U\) von \(A\) : \(\mathcal V \subseteq \mathcal U\) (überdeckt \(A\))

Endliche Überdeckung \((U_j)_{j \in J}\) mit \(J\) endlich.

 

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Kompaktheit von topologischen Räumen

Falls jede offene Überdeckung vom topologischen Raum \(X\) eine endliche Teilüberdeckung hat.

\(A \subseteq X\) heisst kompakt, falls mit induzierter Topologie kompakt.

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Schachtelungsprinzip \(\Longleftrightarrow X\) kompakt

Schachtelungsprinzip:

Sei \(\mathcal A\) eine Familie abgeschlossener Teilmengen von X sodass
\(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n \not = \emptyset \quad\)\(\forall A_1, \dots, A_n \in \mathcal A\), so gilt auch \(\bigcap \limits_{A \in \mathcal A} A \not = \emptyset\).

Es folgt: Sei \(\mathcal A\) eine Familie abgeschlossener Teilmengen mit \(\bigcap \limits_{A \in \mathcal A} A = \emptyset\).  Dann gibt es auch \(A_1 \cap \dots \cap A_n = \emptyset\). Setze  \(\mathcal U = \{ U_i \ \forall i\}\) mit \(U_i = X \backslash A_i\) dann ist \(\bigcup \limits_{U \in \mathcal U} U = X\) und \(U_1 \cup \dots \cup U_n = X\) (also kompakt).

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Kompaktheit für Teilmengen und stetige Abb.

 

 

Ist \(X\) kompakt und \(A \subseteq X\) abgeschlossen, so ist \(A \) kompakt.

Sei \(f: X \to Y\) eine stetige Abb. auf top. Räumen und sei \(A \subseteq X\) kompakt. Dann ist \(f(A) \subseteq Y\) kompakt.

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folgenkompakt

Falls jede Folge \((x_n)_{n=0}^\infty \) im topologischen Raum \(X\) eine konvergente Teilfolge hat, heisst \(X\) folgenkompakt.

Kompaktheit im metrischen Raum \((X,d)\): (folgen)kompakt, falls \((X,\tau)\) mit induzierter Topologie (folgen)kompakt.

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Beschränktheit im metrischen Raum \((X,d)\)

beschränkt: \(\exists R > 0 : d(x,y) \le R \quad \forall x,y \in X\)

total beschränkt: \(\forall r > 0 \quad \exists\)endlich viele Punkte \(x_1, \dots, x_n \in X : \,\)\(X = \bigcup \limits_{k=1}^n B(x_k,r)\)

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Lebesque Zahl

Sei \((U_i)_{i \in I}\) eine offene Überdeckung des metr. Raumes \(X\).

\(\lambda > 0 \in \mathbb R\) heisst Lebesque Zahl, wenn \(\forall x \in X \ \exists i \in I : B(x,\lambda) \subseteq U_i\)

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Äquivalenzen für Kompaktheit im metrischen Raum \((X,d)\)

  1. X folgenkompakt
  2. Jede unendliche Teilmenge hat Häufungspunkt
  3. Jede stetige Funktion \(f: X \to \mathbb R\) ist beschränkt
  4. Jede stetige Funktion \(f: X \to \mathbb R\) erreicht Max/Min auf X
  5. X total beschränkt und jede offene Überdeckung hat Lebesque Zahl
  6. X ist total beschränkt und vollständig

Es gilt für \(f: X \to Y\) stetig (mit X kompakt) \(f\) gleichmässig stetig.

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Heine-Borel

Teilmenge \(A \subseteq \mathbb R^n\) (endl. dim.) kompakt  \(\Longleftrightarrow\)  \(A \) abgeschlossen und beschränkt

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Zusammenhangsbegriff im topologischen Raum \((X,d)\)

Lizenzierung: Keine Angabe
  • zusammenhängend: \(\emptyset, X\) sind die einzigen Teilmengen von \(X\), die offen und abgeschlossen sind.
  • wegzusammenhängend: \(\forall x_1, x_2 \in X \ \exists\)Pfad von \(x_1 \) nach \(x_2 \)
    (\(\gamma : [0,1] \to X \) stetig mit \(\gamma(0) = x_1, \ \gamma(1) = x_2\))
  • einfach zusammenhängend: \(\forall\)Pfade \(\gamma_0, \gamma_1\) von \(x_1 \) nach \(x_2 \)  \(\exists\)Homotopie von \(\gamma_0\) nach \(\gamma_1\)
    (Homotopie/Deformation von \(\gamma_0\) nach \(\gamma_1\)ist stetige Abb. \(h: [0,1] \times [0,1] \to X\) mit \(h(t,0) = \gamma_0(t)\), \(h(t,1) = \gamma_1(t)\), \(h(0,s) = x_0, h(1,s) = x_1 \ \forall s \in [0,1]\))

einfach zusammenhängend \(\implies\)wegzusammenhängend \(\implies\)zusammenhängend

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Zusammenhangskomponente

Lizenzierung: Keine Angabe

Teilmenge \(A \subseteq X\) zusammenhängend, falls \(A\) als eigenständiger Raum mit induzierter Topologie zusammenhängend.

Ist \(A \subseteq X\) offen, abgeschlossen und beschränkt, so heisst \(A\) Zusammenhangskomponente von \(X\).

Seien \(Y_1, Y_2 \subseteq X\) zusammenhängend mit \(Y_1 \cap Y_2 \not = \emptyset\) dann ist \(Y_1 \cup Y_2\) zusammenhängend.

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Produkttopologie

Seien \((X, \tau_X), (Y, \tau_Y)\) topologische Räume.
Die Produkttopologie enthällt alle \(U \subseteq X \times Y\) für die gilt:
\(\forall(x,y) \in U \quad \exists\)offene Umgebungen
\(V\subseteq X\) von \(x\) und \(W \subseteq Y\) von \(y\) mit \(V\times W \subseteq U\)

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topologischer Vektorraum

Ein topo. VR \(V\) über \(\mathbb K\) mit Hausdorff'scher Topologie \(\tau\) auf \(V\)
sd. \(m: \mathbb K \times V \to V\) und \(s: V \times V \to V\) gegeben durch
\(m(a,v) = av\) und \(s(v,w) = v+w\) stetig sind bzgl.
Produkttopologie auf \(\mathbb K \times V\) bzw. \(V \times V\).

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Oszillation

Sei \((X,\tau)\)
\(f: X \to \mathbb R\) beschränkte Funktion.
Für \(x \in X\) ist die Oszillation bzw. Schwankung von f bei x durch
\(\omega(f,x) = \lim\limits_{\delta \to 0} \left( \sup f(B(x,\delta)) - \inf f(B(x,\delta)) \right)\)