10 Topologische Grundbegriffe

1. \(\forall x \in X \ \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : \,\)\(d(x,x_1) < \delta \Longrightarrow \,\)\( d(f(x),f(x_1)) < \varepsilon\)   (\(\varepsilon\text{-}\delta\)-stetig)
2. \((x_n)_{n=0}^\infty\) konvergente Folge in X mit \(\lim \limits_{n \to \infty} x_n = a\)  \(\implies f(x)_{n=0}^\infty\) konvergent mit \(\lim \limits_{n \to \infty} f(x_n) = f(a)\)    (folgenstetig)
3. \(U \subseteq Y\) offen  \(\implies\)  \(f^{-1} (U) \subseteq X\) offen   (topologisch stetig)

1. \(\emptyset, X\) sind offen
2. Beliebige Vereinigungen offerner Mengen sind offen
3. Endliche Durchschnitte offener Mengen sind offen.

Beispielsweise liefert jeder metrische Raum einen topologischen Raum.

Komplemente abgeschlossener Mengen sind offen.

\(A\) abgeschlossen, falls \(X \backslash A\) offen.

Urbilder offener Teilmengen sind offen.

Seien \(X,Y\) topologische Räume. Eine Funktion \(f: X \to Y\) heisst stetig, falls
\(\forall U \subseteq Y\) offen \(: f^{-1}(U) \subseteq X\) offen

Verknüpfungen stetiger Funktionen sind stetig.

\(\tau_Y = \{ Y \cap U \, | \, U \subseteq X \text{ offen}\} = \{ Y \cap U \,|\, U \subseteq \tau \} \) die auf \(Y\) induzierte Topologie.

Teilmengen \(V \subseteq Y\) mit \(V \in \tau_Y\) heisst relativ offen bzw. offen in \(Y\).

Teilmenge \(W \subseteq X\) heisst Umgebung von \(x\), falls \(\exists U \subseteq X \text{ offen} : x \in U \subseteq W\).
(Ist \(W\) offen, so ist es eine Umgebung)

• das Innere von \(Y\): \(Y^° = \{ x \in Y \,|\, Y \text{ ist Umgebung von }x \}\,\)\(= \{ x \in Y \,|\, \exists U \subseteq X \text{ offen, } x \in U \subseteq Y\}\)
• Abschluss von \(Y\): \(\overline Y = \{ x \in X \,|\, W \cap Y \not = \emptyset \quad \forall \text{ Umgebungen } W \text{ von } X \}\)
• der Rand von \(Y\): \(\partial Y = \overline Y \backslash Y^°\)

Das Inverse einer stetigen Bijektion ist im Allgmeinen nicht stetig. Falls doch ist es ein Homöomorphismus.

Sei \((x_n)_{n=0}^\infty\) eine Folge im topologischen Raum \(X\).

\(a \in X\) heisst Grenzwert der Folge, falls  \(\forall \,\)Umgebungen \(W\) von \(a\)  \(\exists N \in \mathbb N : \ x_n \in W \quad \forall n \ge N\)

\(X\) heisst Hausdorff'sch falls \(\forall x,y \in X, \ x \not = y\)   \(\exists\)Umgebungen \(W,V\) von \(x,y\) mit \(V \cap W = \emptyset\)

In einem Hausdorff'schen topologischen Raum hat eine Folge \((x_n)_{n=0}^\infty\) höchstens einen Grenzwert \(\lim \limits_{n \to\infty} x_n = a \in X\)

Eine Abb. \(f: X \to Y\) zwischen Hausdorff'schen topol. Räumen ist folgenstetig, falls für jede konvergente Folge \((x_n)_{n=0}^\infty\) in \(X\) mit \(\lim \limits_{n \to \infty} x_n = a\)  \(\implies \lim \limits_{n \to \infty} f(x_n) = f(a)\)

(stetig \(\Rightarrow\) folgenstetig,   \(\not \Leftarrow\))

Sei \(X\) ein topologischer Raum mit Teilmenge \(A \subseteq X\). Eine offene Überdeckung ist eine Familie offener Mengen \(\mathcal U = (U_i)_{i\in I}\) von \(X\) so dass \(A \subseteq \bigcup \limits_{U \in \mathcal U} U\) gilt.

Teilüberdeckung der Überdeckung \(\mathcal U\) von \(A\) : \(\mathcal V \subseteq \mathcal U\) (überdeckt \(A\))

Endliche Überdeckung \((U_j)_{j \in J}\) mit \(J\) endlich.

Falls jede offene Überdeckung vom topologischen Raum \(X\) eine endliche Teilüberdeckung hat.

\(A \subseteq X\) heisst kompakt, falls mit induzierter Topologie kompakt.

Schachtelungsprinzip:

Sei \(\mathcal A\) eine Familie abgeschlossener Teilmengen von X sodass
\(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n \not = \emptyset \quad\)\(\forall A_1, \dots, A_n \in \mathcal A\), so gilt auch \(\bigcap \limits_{A \in \mathcal A} A \not = \emptyset\).

Es folgt: Sei \(\mathcal A\) eine Familie abgeschlossener Teilmengen mit \(\bigcap \limits_{A \in \mathcal A} A = \emptyset\).  Dann gibt es auch \(A_1 \cap \dots \cap A_n = \emptyset\). Setze  \(\mathcal U = \{ U_i \ \forall i\}\) mit \(U_i = X \backslash A_i\) dann ist \(\bigcup \limits_{U \in \mathcal U} U = X\) und \(U_1 \cup \dots \cup U_n = X\) (also kompakt).

Ist \(X\) kompakt und \(A \subseteq X\) abgeschlossen, so ist \(A \) kompakt.

Sei \(f: X \to Y\) eine stetige Abb. auf top. Räumen und sei \(A \subseteq X\) kompakt. Dann ist \(f(A) \subseteq Y\) kompakt.

Falls jede Folge \((x_n)_{n=0}^\infty \) im topologischen Raum \(X\) eine konvergente Teilfolge hat, heisst \(X\) folgenkompakt.

Kompaktheit im metrischen Raum \((X,d)\): (folgen)kompakt, falls \((X,\tau)\) mit induzierter Topologie (folgen)kompakt.

beschränkt: \(\exists R > 0 : d(x,y) \le R \quad \forall x,y \in X\)

total beschränkt: \(\forall r > 0 \quad \exists\)endlich viele Punkte \(x_1, \dots, x_n \in X : \,\)\(X = \bigcup \limits_{k=1}^n B(x_k,r)\)

Sei \((U_i)_{i \in I}\) eine offene Überdeckung des metr. Raumes \(X\).

\(\lambda > 0 \in \mathbb R\) heisst Lebesque Zahl, wenn \(\forall x \in X \ \exists i \in I : B(x,\lambda) \subseteq U_i\)

1. X folgenkompakt
2. Jede unendliche Teilmenge hat Häufungspunkt
3. Jede stetige Funktion \(f: X \to \mathbb R\) ist beschränkt
4. Jede stetige Funktion \(f: X \to \mathbb R\) erreicht Max/Min auf X
5. X total beschränkt und jede offene Überdeckung hat Lebesque Zahl
6. X ist total beschränkt und vollständig

Es gilt für \(f: X \to Y\) stetig (mit X kompakt) \(f\) gleichmässig stetig.

Teilmenge \(A \subseteq \mathbb R^n\) (endl. dim.) kompakt  \(\Longleftrightarrow\)  \(A \) abgeschlossen und beschränkt

• zusammenhängend: \(\emptyset, X\) sind die einzigen Teilmengen von \(X\), die offen und abgeschlossen sind.
• wegzusammenhängend: \(\forall x_1, x_2 \in X \ \exists\)Pfad von \(x_1 \) nach \(x_2 \)
  (\(\gamma : [0,1] \to X \) stetig mit \(\gamma(0) = x_1, \ \gamma(1) = x_2\))
• einfach zusammenhängend: \(\forall\)Pfade \(\gamma_0, \gamma_1\) von \(x_1 \) nach \(x_2 \)  \(\exists\)Homotopie von \(\gamma_0\) nach \(\gamma_1\)
  (Homotopie/Deformation von \(\gamma_0\) nach \(\gamma_1\)ist stetige Abb. \(h: [0,1] \times [0,1] \to X\) mit \(h(t,0) = \gamma_0(t)\), \(h(t,1) = \gamma_1(t)\), \(h(0,s) = x_0, h(1,s) = x_1 \ \forall s \in [0,1]\))

einfach zusammenhängend \(\implies\)wegzusammenhängend \(\implies\)zusammenhängend

Teilmenge \(A \subseteq X\) zusammenhängend, falls \(A\) als eigenständiger Raum mit induzierter Topologie zusammenhängend.

Ist \(A \subseteq X\) offen, abgeschlossen und beschränkt, so heisst \(A\) Zusammenhangskomponente von \(X\).

Seien \(Y_1, Y_2 \subseteq X\) zusammenhängend mit \(Y_1 \cap Y_2 \not = \emptyset\) dann ist \(Y_1 \cup Y_2\) zusammenhängend.

Seien \((X, \tau_X), (Y, \tau_Y)\) topologische Räume.
Die Produkttopologie enthällt alle \(U \subseteq X \times Y\) für die gilt:
\(\forall(x,y) \in U \quad \exists\)offene Umgebungen
\(V\subseteq X\) von \(x\) und \(W \subseteq Y\) von \(y\) mit \(V\times W \subseteq U\)

Ein topo. VR \(V\) über \(\mathbb K\) mit Hausdorff'scher Topologie \(\tau\) auf \(V\)
sd. \(m: \mathbb K \times V \to V\) und \(s: V \times V \to V\) gegeben durch
\(m(a,v) = av\) und \(s(v,w) = v+w\) stetig sind bzgl.
Produkttopologie auf \(\mathbb K \times V\) bzw. \(V \times V\).

Sei \((X,\tau)\)
\(f: X \to \mathbb R\) beschränkte Funktion.
Für \(x \in X\) ist die Oszillation bzw. Schwankung von f bei x durch
\(\omega(f,x) = \lim\limits_{\delta \to 0} \left( \sup f(B(x,\delta)) - \inf f(B(x,\delta)) \right)\)