metrischer Raum
\((X,d)\) mit \(d: X \times X \to \mathbb R\) sodass \(\forall x,y,z \in X\):
Stetigkeit von \(f: X \to Y\) mit \((X,d), \ (Y,d)\) metrische Räume
topologischer Raum
Das geordnete Paar \((X, \tau) \) heisst topologischer Raum.
Sei \(X\) eine Menge. Eine Topologie \(\tau\) auf \(X\) ist eine Kollektion von Teilmengen von \(X\).
\(\tau \subseteq \mathcal P(X)\) genannt offene Teilmengen sodass:
Beispielsweise liefert jeder metrische Raum einen topologischen Raum.
abgeschlossene Teilmenge \(A\) auf \((X, \tau)\)
Komplemente abgeschlossener Mengen sind offen.
\(A\) abgeschlossen, falls \(X \backslash A\) offen.
Stetigkeit auf topologischen Räumen
Urbilder offener Teilmengen sind offen.
Seien \(X,Y\) topologische Räume. Eine Funktion \(f: X \to Y\) heisst stetig, falls
\(\forall U \subseteq Y\) offen \(: f^{-1}(U) \subseteq X\) offen
Verknüpfungen stetiger Funktionen sind stetig.
Sei \(Y \subseteq X \) eine Teilmenge des topologischen Raumes \(X\).
\(\tau_Y = \{ Y \cap U \, | \, U \subseteq X \text{ offen}\} = \{ Y \cap U \,|\, U \subseteq \tau \} \) die auf \(Y\) induzierte Topologie.
Teilmengen \(V \subseteq Y\) mit \(V \in \tau_Y\) heisst relativ offen bzw. offen in \(Y\).
Umgebung von \(x \in (X,\tau)\)
Teilmenge \(W \subseteq X\) heisst Umgebung von \(x\), falls \(\exists U \subseteq X \text{ offen} : x \in U \subseteq W\).
(Ist \(W\) offen, so ist es eine Umgebung)
Inneres, Abschluss, Rand