Explorative Faktorenanalyse

• Einschätzung der beurteilten Objekte bezüglich der extrahierten Faktoren
• Faktorwert ist die Ausprägung der Faktoren bei den Objekten
• Standardisierte Werte mit m=0 und s=1
• Möglichkeit der graphischen Darstellung der Faktorenergebnisse („Mappings“)

• Split Half: Bei ausreichend großer Stichprobe wird die Faktorenanalyse zunächst für die erste Hälfte der Beobachtungen berechnet. Das Ergebnis sollte sich dann für die zweite Hälfte der Beobachtungen reproduzieren lassen.
• Retest Reliabilität: Zu einem späteren Zeitpunkt sollten Personen den selben Score erlangen.
• Auswahl von weiteren, bezogen auf die Faktoren typische Objekte: Auswahl „neuer“ Objekte, die nicht in der Ausgangsuntersuchung eingeschätzt wurden, aber typische Merkmale im Sinne der gruppierten Variablen aufweisen. Bei Einschätzung sollten diese Objekte hoch auf den entsprechenden Faktoren laden.

• Reliabilität einer Skala (eines Faktors) sollte überprüft werden, d.h. eine Methode sollte das Konstrukt, welches es misst, reliabel reflektieren. (Suche nach interner Konsistenz einer Skala)
• Methode:
  • Der Datensatz wird auf alle möglichen Arten und Weisen in zwei Hälften geteilt.
  • Für jede Subskala muss eine Reliabilitätsanalyse berechnet werden
  • Achtung: Items müssen umgepolt werden!
• Interpretation:
  • Hohe Werte reflektieren eine hohe Reliabilität der Skala.
  • Werte um .8 bzw .7 (Leistungstests) werden als gut angesehen.

... über 30 Variablen angewandt werden. Dann lieber Screeplot. 

...orthogonalen Rotation gerechnet werden.

... die dahinterliegenden (kausalen) Faktoren erfassen wollen. 

... eine Datenreduktion anstreben. 

... nicht erreichen. 

... bei dem es mehr Fälle (Buttersorten) als Variablen (z.B. Preis, Haltbarkeit, ...) gibt. 

... Singularität (tritt bei zu vielen hohen oder niedrigen Korrelationen auf). 

... signifikant werden. (Korrelationsmatrix weicht signifikant von der Einheitsmatrix ab) 

... über 0.6 liegen. 

... 25% der Kovarianzen außerhalb von einem Bereich von 0,09 liegen. 

... aus dem multiplen Bestimmungsmaß geschätzt. 

... der quadrierten Faktorladungen. 

.. auf 1 gesetzt. (man geht davon aus, dass man 100% aufklären kann) 

... kumulierten quadrierten Ladungen nicht, aber die Einzelvarianzen der Werte schon.

... den Eigenwerten nach Extraktion. (Bei der Hauptachsenanalyse ist das nicht der Fall) 

... Summation der quadrierten Faktorladungen berechnen. 

... muss die Faktorenanalyse nochmal neu berechnet werden. 

metrische

Gibt es eine begrenzte Anzahl von Dimensionen/Faktoren, auf denen sich verschiedene Objekte beschreiben lassen?

• Aufgrund welcher grundlegenden Eigenschaften kann die Persönlichkeit des Menschen hinreichend abgebildet werden?
• Benötigt ein Fragebogen zur Erfassung der allgemeinen Intelligenz tatsächlich 120 Variablen oder komme ich auch mit deutlich weniger aus (Dimensionen der Intelligenz: fluid vs. kristallin, mathematisch vs. verbal)?
• Nach welchen Kriterien wählen Konsumenten aus, bei welchem Geschäft sie ihre Einkäufe erledigen?

• Strukturierungsfunktion: Entdeckung von wenigen untereinander unabhängigen Beschreibungsvariablen
• Überprüfung der Dimensionalität komplexer Merkmale (oder Fragebogenkonstruktion)
• Hypothesengenerierung
• Datenreduktion

1. Variablenauswahl und Errechnung der Korrelationsmatrix
2. Extraktion der Faktoren
3. Bestimmung der Kommunalitäten
4. Zahl der Faktoren
5. Faktorinterpretation
6. Bestimmung der Faktorwerte

• Güte der Ergebnisse einer Faktorenanalyse ist von der Zuverlässigkeit der Ausgangsdaten abhängig
• Relevanz der erhobenen Merkmale/Variablen für den Untersuchungsgegenstand
• Möglichst homogene Befragungsstichprobe
• Unabhängigkeit der Beurteilung
• Mindestens intervallskalierte Beobachtungen: korrelatives Verfahren
• Merkmale sollten normalverteilt sein.

• Backhaus: Anzahl der Fälle >= Anzahl Variablen; besser: Anzahl Fälle >= 3*Anzahl Variable
• Tabachnick und Fidell (2012): mind. 300 Fälle
• Mac Callum et al (1999): Abhängig von Kommunalitäten
  • Alle Kommunalitäten > 0.6 →< 100 ist ok
  • Kommunalitäten um 0.5 100 bis 200 Fälle
  • Kommunalitäten geringer als 0.5 und vielen Faktoren →> 500 Fälle

Ausgangsdatenmatrix für die FA ist stets eine Matrix, in der die beurteilten Objekte die Zeilen füllen und die Eigenschaften, auf denen sie beurteilt worden sind, die Spalten, wobei die Eigenschaften das zu gruppierende Merkmal sind.

--> Mittelung der beurteilten Eigenschaft (Var.) pro Objekt über die Versuchspersonen

--> Datenmatrix = Objekte x Eigenschaften (Var.)

• Signifikanztests für Korrelationskoeffizienten
  • Gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit (1 p) Korrelationen unterschiedlich von 0 sind
  • Achtung: Abhängigkeit von Stichprobengröße
  • Wichtig: Es sollten nicht zu viele kleine Korrelationen (r < .3) und zu große Korrelationen (>.8/9) enthalten
  • Variablen eliminieren (aber nicht immer die perfekte Lösung)
• Determinante der Korrelationsmatrix
  • Multikollinearität und Singularität sind ein Problem für die FA (zu hohe Korrelation)
  • Die Determinante sollte möglichst kein sein, aber >0.00001 sein
• Bartlett Test / Test of sphericity
  • H 0 : Stichprobe stammt aus einer Grundgesamtheit, in die Variablen unkorreliert sind (Korrelationsmatrix weicht nur zufällig von Einheitsmatrix ab.
  • Voraussetzung: Normalverteilung der Variablen in der Stichprobe
  • Signifikanzniveau der Prüfgröße sollte < 0.05 sein
  • Achtung: Abhängigkeit von Stichprobengröße
• Anti Image Kovarianz Matrix
  • Ausgangspunkt: Teilung der Varianz einer Variablen in „Image“ und „Anti Image“
  • „Image“: im Rahmen einer multiplen Regressionsanalyse aufklärbarer Varianzanteil„Anti Image“: Teil der Variablenvarianz, der unabhängig von den übrigen Variablen ist
  • „Anti Image“ soll möglichst gering sein
  • Werte außerhalb der Diagonalen sollten nahe Null sein
  • Konvention: Wenn mehr als 25% der Nicht diagonal Elemente <>0 , d.h. >0.09, dann ist Matrix ungeeignet für
    FA
• Anti Image Korrelations Matrix und Kaiser Meyer Olkin Kriterium (KMO) (!!)
  • Maßzahl auf Basis der Anti Image Korrelations Matrix: „ measure of sampling adequacy “ (
  • MSA zeigt an, in welchem Umfang die Ausgangsvariablen zusammengehören
  • Wertebereich zwischen 0 und 1
  • Beurteilung der Korrelationsmatrix insgesamt (KMO) als auch einzelner Variablen möglich (Matrix) (!!!)
  • Interpretation: MSA ≥ 0.9: „erstaunlich“, MSA ≥ 0.8: „verdienstvoll“, MSA ≥ 0.7: „ziemlich gut“, MSA ≥ 0.6:
    „mittelmäßig“, MSA ≥ 0.5: „kläglich“, MSA < 0.5: „
  • Korrelationsmatrizen mit Durchschnitts MSA < 0.5 nicht geeignet
  • Nach Literatur: KMO ist bestes Verfahren zur Eignungsprüfung einer Korrelationsmatrix für eine FA

• Neben der Korrelationsmatrix sollten auch die Ausgangsdaten selbst auf ihre Eignung für eine faktorenanalytische Auswertung überprüft werden.
• Die Variablen in der Erhebungsstichprobe sollten normalverteilt, mindestens jedoch halbwegs gleichartig verteilt sein.
• Graphische Darstellung der Daten mithilfe eines Histogramms (auch Boxplots oder QQ-Plots)
• Überprüfung der Normalverteilung mit Hilfe eines Anpassungstests (Kolmogorov-Smirnov-Anpassungstest) --> sollte nicht signifikant werden (nach Scheuchi > 20%)

• Die beobachteten Werte der Personen in den Variablen lassen sich als lineare Kombination mehrerer nicht beobachtbarer Faktoren beschreiben.
• Die empirische Korrelationsmatrix ist durch das Faktorenmuster reproduzierbar.
• Mit k Objekten, i Merkmalen und q Faktoren gilt:

              x_ik = a_i1 p_1k + a_i2 p_2k + ... + a_iq p_qk (+Rest)

• Bsp : Der Wert x den Rama (k) bzgl. Vitamingehalt (i) hat = best. Gewichtung des Faktors ‚Gesundheit‘ + best. Gewichtung des Faktors ‚Wirtschaftlichkeit‘ + … + Rest

• Die Gewichtung hängt davon ab, wie hoch Vitamingehalt mit dem entsprechenden Faktoren korreliert (a) und wie hoch die Faktoren bei Rama ausgeprägt sind (p)
• D.h. die FA unterstellt ein additives Modell hinsichtlich des Zustandekommens der Messwerte.
• Faktorladung a_iq : Wie viel hat ein Faktor mit einer Ausgangsvariablen zu tun? (Korrelation zwischen Faktor und Faktorwert p_qk : Welche Ausprägung hat ein Faktor bei einem Objekt?

Ebenso gilt:

• Die Faktorwerte eines Objekts/einer Person lassen sich als lineare Kombination der Variablenausprägungen dieser Person beschreiben.

               P_kq = a₁ x₁ + a₂ x₂ +….(+Rest)

• Also der Wert P von Rama (k) auf dem Faktor Gesundheit (q) = der Wert von Rama auf allen fünf Merkmalen (i), gewichtet durch die Ladungen dieser Merkmale auf dem Faktor (a). 

0.5

• Das über Korrelationskoeffizienten gemessene Verhältnis der Variablen zueinander soll in einem möglichst gering dimensionierten Raum reproduziert werden. (Zahl der Achsen entspricht der Faktorenzahl).
• Faktor 1 entspricht der Resultante der Variablenvektoren.
• Im Falle orthogonaler (unabhängiger) Faktoren wird der 2. Faktor rechtwinklig zum 1. Faktor errichtet.

• Umfang an Varianzaufklärung, den die Faktoren gemeinsam für eine Ausgangsvariable liefern.
• Kommunalitätenproblem der Faktorenanalyse besteht darin, die Kommunalität zu schätzen (die am Anfang der FA unbekannt ist).
  • Subjektives Vorab Urteil des Anwenders
• Bestimmung der Ausgangskommunalitäten (vor Faktorextraktion) ist unmittelbar an die Methode der Faktorenermittlung gekoppelt.
• Zwei Verfahren der Kommunalitätenbestimmung sind von Bedeutung:
  • Hauptkomponentenanalyse
  • Hauptachsenanalyse
• Kommunalitäten nach der Faktorextraktion liefern z.B. Hinweise darauf, welche Variablen aus der Faktorenanalyse ausgeschlossen werden sollten.

Wie groß ist der Teil der Varianz einer Variablen, der durch die Faktoren erklärt werden soll?

• Hauptachsenanalyse
• Hauptkomponentenanalyse
• Image Analyse, Guttman 1953
• Alpha Faktorenanalyse, Kaiser & Caffrey 1965
• Ungewichtete Least Square
• Verallgemeinerte Least Square
• Maximum Likelihood
• Die verschiedenen Extraktionsmethoden führen i.d.R. zu ähnlichen Ergebnissen.
• Entscheidung aufgrund von sach inhaltlichen Überlegungen (Was ist das Ziel meiner Analyse?)

• Gemeinsame Varianz --> durch Faktoren erklärt 
• Spezifische Varianz --> auf Methode zurückzuführende Varianz 
• Fehlervarianz/Zufallsvarianz --> unreliabler Messfehler

• Die Kommunalitätenschätzung wird auf 1 gesetzt, d.h. der Anwender geht davon aus, dass die Varianz der Ausgangsvariablen vollständig durch die Extraktion von Faktoren erklärt werden kann.
• Kommunalität von 1 wird dann vollständig reproduziert, wenn ebenso viele Faktoren wie Variablen in die FA eingehen extrahiert werden.
• Ziel der Hauptkomponentenanalyse: Reproduktion der Datenstruktur. Keine kausale Interpretation der Faktoren.
• Interpretation: Wie lassen sich die auf einem Faktor hoch ladenden Variablen durch einen Sammelbegriff zusammenfassen?

• Die Kommunalitätenschätzung wird auf einen Wert < 1 gesetzt, d.h. der Anwender geht davon aus, dass die Varianz der Ausgangsvariablen aus Kommunalität und Einzelrestvarianz besteht.
• Schätzwert entspricht meist dem quadrierten multiplen Regressionskoeffizienten R 2 (z.B. in
• Ziel der Hauptachsenanalyse: Kausale Interpretation der Faktoren.
• Interpretation: Wie lässt sich die Ursache bezeichnen, die für die hohen Ladungen der Variablen auf diesem Faktor verantwortlich ist?

Finden von wenigen Faktoren (Dimensionen) im Raum, die die Zusammenhänge der Variablen möglichst gut erklären (Kriterium ist Gesamtvarianz)