Logistische Regression

• unabhängige Variable: metrisch
• abhängige Variable: nominal

Statistische Beurteilung des Zusammenhangs zwischen einer nominalskalierten, dichotomen abhängigen Variablen und mindestens einer unabhängigen Variablen:

• Wovon hängt das Eintreten eines Ereignisses/Zustands bei einem Untersuchungsobjekt ab bzw. wodurch wird das Eintreten beeinflusst?
• Gewichtungsfunktion, die angibt, welche Prädiktoren/Regressoren die AV wie stark in welche Richtung beeinflussen
• Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses/Zustands bei einem bestimmten Untersuchungsobjekt, wenn man dessen Ausprägungen der unabhängigen Variablen kennt?
• Beispiele: 
  • Abhängigkeit von Fehlgeburten von den Lebensumständen der Mutter (Alter, Alkoholkonsum, Zigarettenkonsum...)
  • Therapieerfolg in Abhängigkeit von der Dauer der Erkrankung, Dauer der Therapie, des Therapieansatzes
  • Kaufentscheidung für ein Produkt

Problem

• für lineare Regression muss AV metrisch skaliert sein
• Wertebereich der Vorhersage bei der lin. Reg. von -unendlich bis +unendlich und nicht beschränkt auf 0 ≤ p ≥ 1 (unplausible Prognosewerte)
• Modellspezifikation fragwürdig
  • keine Varianzhomogenität der Residuen
  • Residuen nicht normalverteilt

Ziel: Entwicklung einer Gleichung, die auf der rechten Seite ß₀+ß₁x_1i + … +ß_kx_ki enthält und auf der linken Seite einen Ausdruck, der ebenfalls von -unendlich bis +unendlich variiert und der es ermöglicht, eine dichotome Variable einzubinden

Wenn xk (unabhängige Variable) um eine Einheit zunimmt, dann steigt Logit p(y=1) um ß_k.

ß₀ kann nur bei Kohortenstudien interpretiert werden, bei Fall-Kontroll-Studien und Querschnittsstudien müsse Verhältnis Fälle-Kontrollen berücksichtigt werden! 

Das bachground log odd ergibt sich, wenn alle x_i = 0. Also wenn keine Exposition erfolgt ist. 

Die ß_i repräsentieren die Veränderungen in Log Odds, die eintreten würden, wenn in einer Variablen ein Änderung um eine Einheit vorgenommen wird, während die Ausprägung der anderen Variablen fixiert werden!!!

z = Linearkombination 

ß₀ = -x --> bewirkt Verschiebung der Funktion um x nach rechts 

ß₁ = 5 --> Stauchung der Funktion 

ß₁ = 1/5 --> Abflachen der Funktion

• Die Logistische Regression modelliert den Wahrscheinlichkeitsübergang einer kategorial (hier binär) ausgeprägten Variablen in Abhängigkeit von der Ausprägung der unabhängigen Variablen (unter Annahme der logistischen Verteilung der Residuen)
• Ergebnis ist zunächst die Schätzung der Gewichtungsfaktoren ß₀, ß₁, ß₂, ...

Interpretation

• Die Erhöhung der UV i um eine Einheit bewirkt eine Veränderung der Chance um e^ßi
• Wertebereich von 0 bis +unendlich
  • Werte <1: Erhöhung der UV vermindert die Eintrittswahrscheinlichkeit für y=1 gegenüber y=0
  • Werte >1: Erhöhung der UV vergrößert die Eintrittswahrscheinlichkeit für y=1 gegenüber y=0
  • Werte =1: OR bleibt konstant
• Interpretation des Zahlenwertes nur als Veränderung der Chance!!!

Prädiktorblöcke

• Sukzessive Modellerweiterung um Blöcke von Regressoren, wobei mit einem F-Test beurteilt werden kann, ob der zuletzt einbezogene Block eine signifikante Verbesserung der Vorhersage bewirkt hat

Automatische Modellsuche

• Innerhalb eines Blocks, der auch alle Regressoren umfassen darf, kann man SPSS nach einem guten Modell suchen lassen. Es wird schrittweise anhand von Signifikanztests entschieden, ob Regressoren aufgenommen werden oder nicht
• Strategien
  • vorwärts: Ausgehend vom Modell ohne Regressoren wird Schritt für Schritt entschieden, ob ein (weiterer) Regressor aufgenommen werden sollte
  • rückwärts: Zunächst werden alle Regressoren aufgenommen, dann wird Schritt für Schritt geprüft, ob ein Regressor entfernt werden sollte.

aber: In der Regel sollte die Modellsuche vom Untersucher nach inhaltlichen und statistischen Informationen vorgenommen werden.

Fallzahl

• mindestens 50 Fälle für binären Fall, besser jedoch 100 Fälle
• bei ungleichen Zellverteilungen sollte die kleinste Zellbesetzung 25 betragen
• benötigte Fallzahl steigt enorm mit zunehmender Anzahl von unabhängigen Variablen

weiterhin

• Unkorreliertheit der unabhängigen Variablen
• alle relevanten Regressoren müssen im Modell enthalten sein

• sehr robust
• weniger statistische Voraussetzungen
  • DA verlangt Intervallskalenniveau und Normalverteilung aller Prädiktoren
  • DA verlangt Homogenität der Varianz Kovarianz Matrizen aller Gruppen

• Chi 2 Test (Omnibus Test der Modell Koeffizienten, Likelihood Ratio Test)
  • sollte für Modell signifikant sein
  • gibt die Vorhersageverbesserung im Vergleich zum Modell ohne Prädiktoren (nur Konstante) an
• Pseudo R 2 Maße
  • McFadden R 2 :
    • relatives Gütemaß, d.h. es gibt Verbesserung des Modells gegenüber dem Ausgangsmodell an
    • Wertebereich zwischen 0 und 1
    • akzeptabel ab Werte größer 0.2; gut ab 0.4 (gibt bereits einen starken Zusammenhang zwischen UV und AV an)
  • Cox and Snell R 2
    • höhere Werte als McFadden R 2
    • akzeptabel ab Werte größer 0.2; gut ab 0.4
    • kann Maximalwert von 1 nicht erreichen
  • Nagelkerke R 2
    • Wertebereich zwischen 0 und 1
    • akzeptabel ab Werte größer 0.2; gut ab 0.4
    • Interpretation wie Determinationskoeffizient in der linearen Regression
• t Test/Wald Test
  • statistische Signifikanz des Effektkoeffizienten
• Hosmer und Lemeshow
  • Messung der Übereinstimmung zwischen tatsächlichen und vorhergesagten Werten der
    AV (Gruppen werden nach prognostizierten Wahrscheinlichkeiten gebildet)
  • da geringe Unterschiede ein gutes Modell ausmachen, sollte der CHI 2 Wert nicht
    signifikant sein
• Klassifikationsmatrix
  • Vergleich der tatsächlichen und vorhergesagten Gruppenzugehörigkeit
  • Prozent korrekt Klassifizierte
• Entwicklung des Modells an einer Analyse Stichprobe und Vergleich mit Anwendung auf Validierungs Stichprobe