Lernkarten

Philipp Stark
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Lernende 1 Lernende
Sprache Deutsch
Stufe Universität
Erstellt / Aktualisiert 18.06.2020 / 25.07.2020
Lizenzierung Namensnennung (CC BY)     (Skript: Analysis I und II von Peter Jossen - https://metaphor.ethz.ch/x/2020/fs/401-1262-07L/sc/SkriptAnalysis.pdf)
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Cauchy-Kriterium

Sei \(( a_n )_{n=0}^\infty \) eine reelle Folge.

\(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n \) konvergiert   \(\Longleftrightarrow\)  \(\forall \varepsilon > 0 \ \ \exists N \in \mathbb N : \left| \sum \limits_{k=m}^n a_k \right| < \varepsilon \ \ \ \)\(\forall n,m: n \ge m \ge N\)

(Also Folge \((s_n)_{n=0}^\infty\) ist Cauchy)

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Cauchy's Wurzelkriterium

Sei \((a_n)_{n=0}^\infty\) eine relle Folge.

\(\rho = \limsup \limits_{n \to \infty} (\sqrt[n]{|a_n|}) \in \mathbb R_{\ge 0} \cup \{ \infty \}\)

Für \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n\) gilt \(\bigg\{ \begin{smallmatrix}\text{konvergiert absolut} & \text{für } \rho <1 \\\text{divergiert} & \text{für } \rho>1\end{smallmatrix}\)

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D'Alembert's Quotientenkriterium

Sei \((a_n)_{n=0}^\infty\) eine Folge komplexer Zahlen mit \(a_n \not =0 \ \ \forall n\).

\(\rho = \limsup \limits_{n \to \infty} {| \frac{a_{n+1}}{a_n} |}\)

Für \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n\) gilt \(\bigg\{ \begin{smallmatrix} \text{konvergiert absolut} & \text{für } \rho <1 \\ \text{divergiert} & \text{für } \rho>1 \end{smallmatrix}\)

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Umordnungssatz

Sei \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n \) eine absolut konvergierende Reihe (in \(\mathbb C, \mathbb R, (V, \| \cdot \|)\)). Sei \(\varphi: \mathbb N \to \mathbb N \) eine Bijektion.

Dann konvergiert \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_{\varphi(n)}\) absolut und es gilt \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_{\varphi(n)} = \sum \limits_{n=0}^\infty a_n\).

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Potenzreihe

Potenzreihe mit Koeffizienten in K; Folge \((a_n)_{n=0}^\infty\) in K geschrieben als \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n \, T^n\). ( T = "variable")

\(K[\![ T ]\!]\)  d.h. Menge aller formalen Potenzreihen

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Konvergenzradius

Sei \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n \, T^n \in \mathbb C [\![T]\!]\).  Sei \(\rho = \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \in [0,\infty) \cup \{ \infty \}\) .

Der Konvergenzradius der Reihe \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n \, T^n \) ist \(R = \Bigg\{ \begin{matrix}\infty & \text{falls} & \rho = 0 \\\frac{1}{\rho} & \text{falls} & \rho > 0 , \rho \not = \infty\\0 & \text{falls} & \rho = \infty\end{matrix}\)

Für \(z \in \mathbb C\) mit \(|z| < R\) konvergiert \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n \, z^n \) wegen Cauchy's Wurzelkriterium absolut.

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Was ist bei..

  1. D'Alembert's Quotientenkriterium mit \(\rho = \limsup\limits_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| > 1\) und \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n\) konvergiert doch
  2. einer Potenzreihe an einem Ort mit \(|z| = R\) (Konvergenzradius)
  1. z.B. \(\bigg\{ \begin{smallmatrix}a_n\ =\ 10^{-n} & n \ \text{gerade}\\a_n\ =\ 2\cdot 10^{-n+1} &n \ \text{ungerade}\\\end{smallmatrix}\)\(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n = 3.0303..\)  mit \(\rho = 2\)
  2. Keine Aussage. Potenzreihe kann konvergieren oder divergieren.
    z.B. \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{T^n}{n}\), \(\rho = \limsup \limits_{n \to \infty} \sqrt[n] \frac{1}{n} = 1 \) \(\Rightarrow R = 1\)
    z = -1, konvergiert; z = 1 und z = i, divergiert;
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gleichmässige Konvergenz

Konvergenz von Potenzreihen: Sei \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n \ T^n \in \mathbb C [ \![T]\!]\) Potenzreihe mit Konvergenzradius \(R > 0\). Definiere \(f_n : D \to \mathbb C\) durch \(\sum \limits_{k=0}^n a_k \ z^k\)  auf  \(D = \overline{B(0,r)}\) mit \(0 < r < R\). (\(f_n\) sind als Polynome stetig)
Die Folge \((f_n )_{n=0}^\infty\) konvergiert gleichmässig gegen f. (insb. f stetig, es gilt \(\lim\limits_{n \to \infty} \int _ B f_n dx = \int_B f \,dx\))

 

Seien \(D \subseteq \mathbb R\)\(f_n: D \to \mathbb R\) stetig mit  \(n = 0,1,2,\dots\)

\(\forall \varepsilon >0 \quad \exists N \in \mathbb N\)  mit  \(\| f_n - f \|_\infty < \varepsilon \quad \forall n \in \mathbb N\)  dann ist f stetig.

\((f_n)_{n=0}^\infty\) konvergiert gleichmässig gegen f.