Lernkarten

Philipp Stark
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Lernende 1 Lernende
Sprache Deutsch
Stufe Universität
Erstellt / Aktualisiert 18.06.2020 / 25.07.2020
Lizenzierung Namensnennung (CC BY)     (Skript: Analysis I und II von Peter Jossen - https://metaphor.ethz.ch/x/2020/fs/401-1262-07L/sc/SkriptAnalysis.pdf)
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\(\int_a^b f(x) dx\) konvergiert

falls für ein beliebiges \(c \in (a,b)\) die folgenden Grenzwerte existieren:

\(\lim \limits_{\begin{smallmatrix} x \to a \\ x > a\end{smallmatrix}}\int_x^c f(t)\,dt = A\),   \(\lim \limits_{\begin{smallmatrix} x \to b \\ x < b\end{smallmatrix}}\int_c^x f(t)\,dt = B\)

Schreibe \(\int_a^b f(x) dx = A + B\)

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Tailor-Reihen

Sei eine Funktion \(f: (-R, R) \to \mathbb R\), \(f(x) = \sum \limits_{n=0}^\infty a_n x^n\) mit Konvergenzradius grösser als R.

Dann gilt: \(a_0 = f(0), \quad a_1 = f'(0), \ \dots\)        \(a_n = \frac{1}{n} f^{(n)} (0)\)

\(L(T) = \sum \limits_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} T^k\)  Taylor-Reihe von \(f\) bei \(x_0\)

\(P_n(x) = \sum \limits_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k\)  n-te Taylorapproximation

Sei \(D \subseteq \mathbb R\) Intervall, \(x_0 \in D\), \(f: D \to \mathbb R\) von \(\mathcal C^{n+1}\). Dann gilt \(\forall x \in D\)

\(f(x) = P_n(x) + \int_{x_0}^x f^{(n+1)} (t) \frac{(x-t)^n}{n!} dt\)

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analytische Funktionen

Sei \(I \subseteq \mathbb R\) ein Intervall, \(f: I \to \mathbb R\) glatt.

\(f\) heisst analytisch, falls \(\forall x_0 \in I \quad \exists \delta > 0 : \, \)\(f(x) = \sum \limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)} (x_0)}{n!} (x-x_0)^n\)   \(\forall x \in [x_0 - \delta, x_0 + \delta]\)

\(\Big( f(x) = \lim \limits_{n \to \infty} P_n (x) \Big)\)    Bei Potenzreihe mit Konvergenzradius R \([x_0 - \delta , x_0 + \delta] \subseteq (-R,R)\) analytisch.

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Starrheit/Rigidität analytischer Funktionen

Seien \(f,g\) reellwertige, analytische Fct. auf Intervall \(I \subseteq \mathbb R\).

\(\exists x_0 \in I, \delta > 0 : \ f(x) = g(x) \quad \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)\) \(\Longleftrightarrow f(x) = g(x) \quad \forall x \in I\)