Lernkarten

Philipp Stark
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Lernende 1 Lernende
Sprache Deutsch
Stufe Universität
Erstellt / Aktualisiert 18.06.2020 / 25.07.2020
Lizenzierung Namensnennung (CC BY)     (Skript: Analysis I und II von Peter Jossen - https://metaphor.ethz.ch/x/2020/fs/401-1262-07L/sc/SkriptAnalysis.pdf)
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Mittelwertsatz von Cauchy

Seien \(f,g: [a,b] \to \mathbb R\) diff'bar.

Lizenzierung: Keine Angabe

Dann existiert \(x \in (a,b)\) mit \(\frac{g'(x)}{f'(x)} = \frac{g(b)-b(a)}{f(b)-f(a)}\) bzw. \(g'(x) \, \big( f(b) - f(a) \big) = f'(x) \, \big( g(b) - g(a) \big) \)

Zurückführen auf Satz von Rolle mit \(F: [a,b] \to \mathbb R\), \(F(x) = g(x) \big( f(b) - f(a) \big) - f(x) \big( g(b) - g(a) \big)\), \(F(a) = f(b) g(a) - f(a) g(b) = F(b)\)

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Regel von l'Hôpitale

Sei \(D = (a,b)\) ein Intervall, \(f,g: D \to \mathbb R\) diff'bar, mit \(g(x) \not = 0 \) und \(g'(x) \not = 0 \) \(\forall x \in D\)

Sei \(\lim \limits_{x \to a} f(x) = 0\)  und  \(\lim \limits_{x \to a} g(x) = 0\) und

\(\lim \limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = A\)

Dann gilt  \(\lim \limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = A\)

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konvex/konkav

Lizenzierung: Keine Angabe

Sei \(I \subseteq \mathbb R\) ein Intervall

\(f \) sei konvex falls \(\forall a< b \in I\)  gilt:

\(f \big( a + (b-a)t \big) \le f(a) + \big( f(b)-f(a) \big) t \)\(\quad \forall t \in [0,1]\)

Also: \(f \) konvex \(\Longleftrightarrow f'\) monoton steigend \(\Longleftrightarrow ( \)falls \(f \in \mathcal C^2(I) : f'' \ge 0) \)

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Fundamentalsatz der Integralrechnung

Sei \(I \subseteq \mathbb R\) ein Intervall \(a \in I\), \(f: I \to \mathbb R \) stetig. \(F : I \to \mathbb R\), \(F(x) = \int \limits_a^x f(t) dt\)

Dann ist F stetig differenzierbar und es gilt \(F' = f\).

Jedes \(F : I \to \mathbb R\) mit \(F' = f\) nennen wir Stammfunktion von \(f\). Jede stetige Funktion besitzt eine Stammfunktion. Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich durch eine Konstante:
\(\int f(t) dt = F + C\)

(Korollar) Sei \(f :I \to \mathbb R\) stetig. F eine Stammfunktion von f. Dann gilt \(\int \limits_a^b f(t)dt = F(b)-F(a)\)

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Additivität

\(\int \limits_a^b f(x) dx + \int \limits_a^b g(x) dx = \int \limits_a^b (f+g)(x) dx\)

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partielle Integration

\(\int Fg \ dx = F \cdot G - \int f \,G \ dx + C\)

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Kettenregel

\(\big( G( f(x) ) \big)' = g(f(x)) \, f'(x)\) woraus folgt:

\(\int g(f(x)) f'(x) \,dx = G(f(x)) + C\)

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Substitution

\(\int \limits_a^b g(f(x)) \, f'(x) dx = \int_{f(a)}^{f(b)} g(u) du\)           \(u = f(x) \implies\ \)\(\frac{d}{dx} u = \frac{d}{dx} f(x) \Rightarrow du = f'(x) dx\)