Lernkarten

Philipp Stark
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Lernende 1 Lernende
Sprache Deutsch
Stufe Universität
Erstellt / Aktualisiert 18.06.2020 / 25.07.2020
Lizenzierung Namensnennung (CC BY)     (Skript: Analysis I und II von Peter Jossen - https://metaphor.ethz.ch/x/2020/fs/401-1262-07L/sc/SkriptAnalysis.pdf)
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Abel'scher Grenzwertsatz

Sei \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n T^n \in \mathbb C [\![ T ]\!]\) mit Konvergenzradius \(R \in \mathbb R_{\ge 0}\). Falls die Reihe konvergiert, gilt:

\(\lim \limits_{\begin{smallmatrix} t \to R \\ t < R \end{smallmatrix}} \sum \limits_{n=0}^\infty a_n t^n = \sum \limits_{n=0}^\infty a_n R^n\)  i.e. \(f(t) := \sum \limits_{n=0}^\infty a_n t^n\) ist stetig bei R

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Ableitung

\(f: (a,b) \to \mathbb C\) sei bei \(x_0 \in (a,b) \not = \{\}\) differenzierbar, falls der folgende Grenzwert existiert:

\(f'(x_0) = \lim \limits_{ \begin{smallmatrix}x \to x_0 \\ x \not = x_0\end{smallmatrix} }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} =\lim \limits_{ \begin{smallmatrix}h \to 0 \\ h \not = 0\end{smallmatrix} }\frac{f(x_0 + h)}{h}\)

\(f\) ist differenzierbar auf \((a,b)\), falls in jedem Punkt differenzierbar. Dann nennen wir \(f' : (a,b) \to \mathbb C\) Ableitung von \(f\).

Linksseitige Ableitung: \(\lim \limits_{\begin{smallmatrix} x \to x_0 \\ x < x_0 \end{smallmatrix}} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) (rechts-s. analog)

Ableitbar bei \(x_0 \implies \)stetig bei \(x_0\)

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Für \(f,g: D \to \mathbb R\) ableitbar bei \(x_0 \in D\) gilt:

\((f+g)\) und \((f\,g)\) sind ableitbar bei \(x_0\) und es gilt:

  • \((f+g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)\)
  • \((f\,g)'(x_0) = f'(x_0) \, g(x_0) + f(x_0) \, g'(x_0)\)
    Leibnitzregel
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Seien \(D,E \subseteq \mathbb R\) offen. Seien \(f: D \to E\) und \(g: E \to \mathbb R\) ableitbar. Die Funktion \((g \circ f) : D \to \mathbb R\) ist ableitbar und es gilt:

\((g \circ f)'(x_0) = g'(f(x_0)) \, f'(x_0)\)

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Ableitung der Inversen

Seien \(D,E \subseteq \mathbb R\) offen. \(f: D \to E\) stetig, bijektiv und ableitbar. Sei \(g = f^{-1} : E \to D\) stetig.

Ist bei \(x_0 \in D\)  \(f'(x_0) \not = 0\), so gilt:

\(g\) ist bei \(f(x_0) =: y_0\) ableitbar und es gilt:

\(g'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}\)

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Klassen von stetig diff'baren Funktionen

Sei \(D \in \mathbb R\) ohne isolierte Punkte.

\(\mathcal C(D) = \mathcal C^0(D) :=\) Klasser der stetigen, reellwertigen Fct. auf D

\(\mathcal C^1(D) := \) Vektorraum aller stetig diff'baren Fct. auf D

\(\mathcal C^n (D) := \) Vektorraum aller Fct. \(f\) auf D mit \(f' \in \mathcal C^{n-1}(D)\)

\(\mathcal C^\infty (D) = \bigcap\limits_{n=0}^\infty \mathcal C^n(D)\)    (glatte Funktionen)

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Lokales Minimum von \(f\)

(Sei \(f: D \in \mathbb R \to \mathbb R\) Funktion.)
\(x_0 \in D\)  lokales Maximum von \(f\), falls \(\exists \varepsilon > 0 : \) \(f(x) \le f(x_0) \quad \forall x \in B(x_0, \varepsilon)\cap D\)
isoliertes Maximum wenn \(f(x) < f(x_0)\)

Bei lokalem Maxima oder Minima gilt mindestens eine der folgenden Aussagen:

  1. \(x_0\) ist Randpunkt von \(D\)
  2. \(f\) nicht ableitbar bei \(x_0\)
  3. \(f\) ist ableitbar bei \(x_0\) und \(f'(x_0) =0\)
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Mittelwertsatz (V1, V2)

Sei \(D \subseteq \mathbb R\) Intervall, \(f: D \to \mathbb R\) ableitbar, \(a < b \in D\)

Lizenzierung: Keine Angabe
  1. Wenn \(f(a) = f(b)\), dann existiert \(x \in (a,b)\) mit \(f'(x) = 0\) (Satz von Rolle)
  2. Es existiert \(x \in (a,b)\) mit \(f'(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
    ( Lässt sich auf Satz von Rolle zurückführen: \(g(x) := f(x) - \frac{f(b)- f(a)}{b-a}(x-a)\) mit \(g(a)=g(b)=f(a)\) )

Generell sagt Mittelwertsatz: Mittlere Steigung wird erreicht.