7-9 Reihen, Funktionenfolgen, Potenzreihen, Differentialrechnung, Ableitung und Integral
Analysis vom ETH-Basisjahr Mathematik bzw. Physik oder RW; Dozent Peter Jossen; zu den Kapiteln 7, 8 und 9 aus der Vorlesung
Analysis vom ETH-Basisjahr Mathematik bzw. Physik oder RW; Dozent Peter Jossen; zu den Kapiteln 7, 8 und 9 aus der Vorlesung
Mittelwertsatz von Cauchy
Seien \(f,g: [a,b] \to \mathbb R\) diff'bar.
Dann existiert \(x \in (a,b)\) mit \(\frac{g'(x)}{f'(x)} = \frac{g(b)-b(a)}{f(b)-f(a)}\) bzw. \(g'(x) \, \big( f(b) - f(a) \big) = f'(x) \, \big( g(b) - g(a) \big) \)
Zurückführen auf Satz von Rolle mit \(F: [a,b] \to \mathbb R\), \(F(x) = g(x) \big( f(b) - f(a) \big) - f(x) \big( g(b) - g(a) \big)\), \(F(a) = f(b) g(a) - f(a) g(b) = F(b)\)
Regel von l'Hôpitale
Sei \(D = (a,b)\) ein Intervall, \(f,g: D \to \mathbb R\) diff'bar, mit \(g(x) \not = 0 \) und \(g'(x) \not = 0 \) \(\forall x \in D\)
Sei \(\lim \limits_{x \to a} f(x) = 0\) und \(\lim \limits_{x \to a} g(x) = 0\) und
\(\lim \limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = A\)
Dann gilt \(\lim \limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = A\)
konvex/konkav
Sei \(I \subseteq \mathbb R\) ein Intervall
\(f \) sei konvex falls \(\forall a< b \in I\) gilt:
\(f \big( a + (b-a)t \big) \le f(a) + \big( f(b)-f(a) \big) t \)\(\quad \forall t \in [0,1]\)
Also: \(f \) konvex \(\Longleftrightarrow f'\) monoton steigend \(\Longleftrightarrow ( \)falls \(f \in \mathcal C^2(I) : f'' \ge 0) \)
Fundamentalsatz der Integralrechnung
Sei \(I \subseteq \mathbb R\) ein Intervall \(a \in I\), \(f: I \to \mathbb R \) stetig. \(F : I \to \mathbb R\), \(F(x) = \int \limits_a^x f(t) dt\)
Dann ist F stetig differenzierbar und es gilt \(F' = f\).
Jedes \(F : I \to \mathbb R\) mit \(F' = f\) nennen wir Stammfunktion von \(f\). Jede stetige Funktion besitzt eine Stammfunktion. Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich durch eine Konstante:
\(\int f(t) dt = F + C\)
(Korollar) Sei \(f :I \to \mathbb R\) stetig. F eine Stammfunktion von f. Dann gilt \(\int \limits_a^b f(t)dt = F(b)-F(a)\)
Additivität
\(\int \limits_a^b f(x) dx + \int \limits_a^b g(x) dx = \int \limits_a^b (f+g)(x) dx\)
partielle Integration
\(\int Fg \ dx = F \cdot G - \int f \,G \ dx + C\)
Kettenregel
\(\big( G( f(x) ) \big)' = g(f(x)) \, f'(x)\) woraus folgt:
\(\int g(f(x)) f'(x) \,dx = G(f(x)) + C\)
Substitution
\(\int \limits_a^b g(f(x)) \, f'(x) dx = \int_{f(a)}^{f(b)} g(u) du\) \(u = f(x) \implies\ \)\(\frac{d}{dx} u = \frac{d}{dx} f(x) \Rightarrow du = f'(x) dx\)
\(\int_a^b f(x) dx\) konvergiert
falls für ein beliebiges \(c \in (a,b)\) die folgenden Grenzwerte existieren:
\(\lim \limits_{\begin{smallmatrix} x \to a \\ x > a\end{smallmatrix}}\int_x^c f(t)\,dt = A\), \(\lim \limits_{\begin{smallmatrix} x \to b \\ x < b\end{smallmatrix}}\int_c^x f(t)\,dt = B\)
Schreibe \(\int_a^b f(x) dx = A + B\)
Tailor-Reihen
Sei eine Funktion \(f: (-R, R) \to \mathbb R\), \(f(x) = \sum \limits_{n=0}^\infty a_n x^n\) mit Konvergenzradius grösser als R.
Dann gilt: \(a_0 = f(0), \quad a_1 = f'(0), \ \dots\) \(a_n = \frac{1}{n} f^{(n)} (0)\)
\(L(T) = \sum \limits_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} T^k\) Taylor-Reihe von \(f\) bei \(x_0\)
\(P_n(x) = \sum \limits_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k\) n-te Taylorapproximation
Sei \(D \subseteq \mathbb R\) Intervall, \(x_0 \in D\), \(f: D \to \mathbb R\) von \(\mathcal C^{n+1}\). Dann gilt \(\forall x \in D\)
\(f(x) = P_n(x) + \int_{x_0}^x f^{(n+1)} (t) \frac{(x-t)^n}{n!} dt\)
analytische Funktionen
Sei \(I \subseteq \mathbb R\) ein Intervall, \(f: I \to \mathbb R\) glatt.
\(f\) heisst analytisch, falls \(\forall x_0 \in I \quad \exists \delta > 0 : \, \)\(f(x) = \sum \limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)} (x_0)}{n!} (x-x_0)^n\) \(\forall x \in [x_0 - \delta, x_0 + \delta]\)
\(\Big( f(x) = \lim \limits_{n \to \infty} P_n (x) \Big)\) Bei Potenzreihe mit Konvergenzradius R \([x_0 - \delta , x_0 + \delta] \subseteq (-R,R)\) analytisch.
Starrheit/Rigidität analytischer Funktionen
Seien \(f,g\) reellwertige, analytische Fct. auf Intervall \(I \subseteq \mathbb R\).
\(\exists x_0 \in I, \delta > 0 : \ f(x) = g(x) \quad \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)\) \(\Longleftrightarrow f(x) = g(x) \quad \forall x \in I\)
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Cartes-fiches
Mittelwertsatz von Cauchy
Seien \(f,g: [a,b] \to \mathbb R\) diff'bar.
Dann existiert \(x \in (a,b)\) mit \(\frac{g'(x)}{f'(x)} = \frac{g(b)-b(a)}{f(b)-f(a)}\) bzw. \(g'(x) \, \big( f(b) - f(a) \big) = f'(x) \, \big( g(b) - g(a) \big) \)
Zurückführen auf Satz von Rolle mit \(F: [a,b] \to \mathbb R\), \(F(x) = g(x) \big( f(b) - f(a) \big) - f(x) \big( g(b) - g(a) \big)\), \(F(a) = f(b) g(a) - f(a) g(b) = F(b)\)
Regel von l'Hôpitale
Sei \(D = (a,b)\) ein Intervall, \(f,g: D \to \mathbb R\) diff'bar, mit \(g(x) \not = 0 \) und \(g'(x) \not = 0 \) \(\forall x \in D\)
Sei \(\lim \limits_{x \to a} f(x) = 0\) und \(\lim \limits_{x \to a} g(x) = 0\) und
\(\lim \limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = A\)
Dann gilt \(\lim \limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = A\)
konvex/konkav
Sei \(I \subseteq \mathbb R\) ein Intervall
\(f \) sei konvex falls \(\forall a< b \in I\) gilt:
\(f \big( a + (b-a)t \big) \le f(a) + \big( f(b)-f(a) \big) t \)\(\quad \forall t \in [0,1]\)
Also: \(f \) konvex \(\Longleftrightarrow f'\) monoton steigend \(\Longleftrightarrow ( \)falls \(f \in \mathcal C^2(I) : f'' \ge 0) \)
Fundamentalsatz der Integralrechnung
Sei \(I \subseteq \mathbb R\) ein Intervall \(a \in I\), \(f: I \to \mathbb R \) stetig. \(F : I \to \mathbb R\), \(F(x) = \int \limits_a^x f(t) dt\)
Dann ist F stetig differenzierbar und es gilt \(F' = f\).
Jedes \(F : I \to \mathbb R\) mit \(F' = f\) nennen wir Stammfunktion von \(f\). Jede stetige Funktion besitzt eine Stammfunktion. Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich durch eine Konstante:
\(\int f(t) dt = F + C\)
(Korollar) Sei \(f :I \to \mathbb R\) stetig. F eine Stammfunktion von f. Dann gilt \(\int \limits_a^b f(t)dt = F(b)-F(a)\)
Additivität
\(\int \limits_a^b f(x) dx + \int \limits_a^b g(x) dx = \int \limits_a^b (f+g)(x) dx\)
partielle Integration
\(\int Fg \ dx = F \cdot G - \int f \,G \ dx + C\)
Kettenregel
\(\big( G( f(x) ) \big)' = g(f(x)) \, f'(x)\) woraus folgt:
\(\int g(f(x)) f'(x) \,dx = G(f(x)) + C\)
Substitution
\(\int \limits_a^b g(f(x)) \, f'(x) dx = \int_{f(a)}^{f(b)} g(u) du\) \(u = f(x) \implies\ \)\(\frac{d}{dx} u = \frac{d}{dx} f(x) \Rightarrow du = f'(x) dx\)
\(\int_a^b f(x) dx\) konvergiert
falls für ein beliebiges \(c \in (a,b)\) die folgenden Grenzwerte existieren:
\(\lim \limits_{\begin{smallmatrix} x \to a \\ x > a\end{smallmatrix}}\int_x^c f(t)\,dt = A\), \(\lim \limits_{\begin{smallmatrix} x \to b \\ x < b\end{smallmatrix}}\int_c^x f(t)\,dt = B\)
Schreibe \(\int_a^b f(x) dx = A + B\)
Tailor-Reihen
Sei eine Funktion \(f: (-R, R) \to \mathbb R\), \(f(x) = \sum \limits_{n=0}^\infty a_n x^n\) mit Konvergenzradius grösser als R.
Dann gilt: \(a_0 = f(0), \quad a_1 = f'(0), \ \dots\) \(a_n = \frac{1}{n} f^{(n)} (0)\)
\(L(T) = \sum \limits_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} T^k\) Taylor-Reihe von \(f\) bei \(x_0\)
\(P_n(x) = \sum \limits_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k\) n-te Taylorapproximation
Sei \(D \subseteq \mathbb R\) Intervall, \(x_0 \in D\), \(f: D \to \mathbb R\) von \(\mathcal C^{n+1}\). Dann gilt \(\forall x \in D\)
\(f(x) = P_n(x) + \int_{x_0}^x f^{(n+1)} (t) \frac{(x-t)^n}{n!} dt\)
analytische Funktionen
Sei \(I \subseteq \mathbb R\) ein Intervall, \(f: I \to \mathbb R\) glatt.
\(f\) heisst analytisch, falls \(\forall x_0 \in I \quad \exists \delta > 0 : \, \)\(f(x) = \sum \limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)} (x_0)}{n!} (x-x_0)^n\) \(\forall x \in [x_0 - \delta, x_0 + \delta]\)
\(\Big( f(x) = \lim \limits_{n \to \infty} P_n (x) \Big)\) Bei Potenzreihe mit Konvergenzradius R \([x_0 - \delta , x_0 + \delta] \subseteq (-R,R)\) analytisch.
Starrheit/Rigidität analytischer Funktionen
Seien \(f,g\) reellwertige, analytische Fct. auf Intervall \(I \subseteq \mathbb R\).
\(\exists x_0 \in I, \delta > 0 : \ f(x) = g(x) \quad \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)\) \(\Longleftrightarrow f(x) = g(x) \quad \forall x \in I\)
