7-9 Reihen, Funktionenfolgen, Potenzreihen, Differentialrechnung, Ableitung und Integral

\(\exp : \mathbb C \to \mathbb C\)       \(\exp(z) = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{z^n}{n!}\)

stetig, nicht injektiv

( \(\exp : \mathbb R \times [0,2 \pi) i \to \mathbb C^*\) ist bijektiv; Umkehrabbildung \(\log: \mathbb C^* \to \mathbb R \times [0,2 \pi) i\) )

stetig mit \(|\exp(z)| = \exp(\text{Re}(z)) \quad \forall z \in \mathbb C\)

insbesondere \(|\exp (iy)| = 1 \quad \forall y \in \mathbb R\)

\(\big(\) Konvergenzradius: \(\rho = \limsup \limits_{n \to \infty} \sqrt[n] {\left| \frac{1}{n ! } \right|} =0 \) \(\Rightarrow R = \infty \Rightarrow \) konvergiert \(\forall z \in \mathbb C\) \(\big)\)

\(\sin(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \, z^{2n+1}\)             \(\cos(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} \, z^{2n}\)

Daraus folgt (siehe Def. \(\exp\)):

\(\sin(z) = \frac{ \exp(iz)-\exp(-iz)}{2i}\)  und  \(\cos(z) = \frac{ \exp(iz)+\exp(-iz)}{2}\)

weil

\(\cos(z) + i \sin(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \left( \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \, z^{2n+1} + i\frac{(-1)^n}{(2n)!} \, z^{2n} \right) = \exp(iz)\)

\(\exists ! \pi \in (0,4) \subset \mathbb R : \sin(\pi) = 0\) und es gilt \(e^{2 \pi i} =1 \)

\(\sin'(x) = \cos(x), \quad \cos'(x) = -\sin(x)\)

Sei \((V, ||\dots||)\) ein normierter Vektorraum. \((v_n)_{n=0}^\infty\) eine Folge auf V.

\(s_n = v_0 + \dots + v_n = \sum \limits _{i=0}^n v_i\)  ist eine Partialsumme. Die Partialsummen bilden wieder eine Folge auf V:

\((s_n)_{n=0}^\infty = \)    (wird auch Reihe genannt)

Sei \((V, ||\dots||)\) ein normierter Vektorraum. \((v_n)_{n=0}^\infty\) eine Folge auf V.
Und \((s_n)_{n=0}^\infty\) mit  \(s_n = \sum \limits_{i=0}^n v_i\)  die entsprechende Reihe.

Der Grenzwert:  \(w = \lim \limits_{n \to \infty} s_n = \sum \limits_{n = 0}^\infty v_n\) 
also  \(\forall \varepsilon >0 \ \exists N \in \mathbb N : ||s_n-w|| < \varepsilon \ \forall n \ge N\)

Existiert der Grenzwert, so gilt: \(\lim \limits_{n \to \infty} s_{n+1} - s_n = \lim \limits_{n \to \infty} x_{n+1} = 0\)
\((x_n)_{n=0}^\infty\)  ist eine Nullfolge

\(\sum \limits_{n = 0}^\infty v_n\)  konvergiert absolut, falls die Reihe \(\sum \limits_{n = 0}^\infty ||v_n||\)  konvergiert.
( \(v_i \in (V, ||\dots||)\) )

Für absolut konvergierende Reihen \((z_n)_{n=0}^\infty \in \mathbb C\) gilt: \(\left| \sum \limits_{n = 0}^\infty z_n \right| \le \sum \limits_{n = 0}^\infty | z_n |\)

Seien \((a_n)_{n=0}^\infty , (b_n)_{n=0}^\infty \in \mathbb R\)  Folgen mit \(0 \le a_n \le b_n\).

Falls \(\sum \limits_{n=0}^\infty b_n\) konvergiert, so konvergiert \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n\) und es gilt \(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n \le \sum \limits_{n=0}^\infty b_n\) .

(Denn \(\left( \sum \limits_{k=0}^n a_k \right)_{n=0}^\infty\) ist monoton steigend und beschränkt)

Sei \(( a_n )_{n=0}^\infty\) eine monoton fallende Folge in \(\mathbb R_{ \ge 0}\) .

\(\sum \limits_{n=0}^\infty a_n\) konvergiert  \(\Longleftrightarrow\)  \(\sum \limits_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n}\) konvergiert

Sei \(( a_n )_{n=0}^\infty\) eine monoton fallende Folge in \(\mathbb R_{ \ge 0}\) . \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n = 0\)

Dann konvergiert \( \sum \limits_{n=0}^\infty(-1)^n \, a_n\)   (alternierende Reihe)

(Weil mit \(s_n := \sum \limits_{k=0}^n (-1)^k a_k\) gilt \(s_{2n-1} \le \sum \limits_{k=0}^\infty (-1)^k a_k \le s_{2n}\) wobei \((s_{2n})_{n=0}^\infty\) monoton fallend und durch \(s_1\) beschränkt, analog \((s_{2n+1})_{n=0}^\infty\) monoton steigend und durch \(s_0\) beschränkt. Also konvergieren beide Seiten des Sandwich wobei \(\lim \limits_{n \to \infty} s_{n} - s_{n-1} = \lim \limits_{n \to \infty} a_n = 0\) und somit auch die Reihe selbst konvergiert.