5-6 Riemann Integral, Folgen und Grenzwerte

Eigenschaften von \(T: X \to X\) :

\(T\) ist eine Kontraktion, also Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante \(0 \le \lambda < 1\), also \(d \big( T(x),T(y) \big) \le \lambda \cdot d(x,y)\)

(zwei Punkte sind nach anwenden von \(T\) näher beisammen, also gibt es einen Fixpunkt a)

1. Die Folge \((x_n + y_n)_{n=0}^\infty\) konvergiert gegen \(\lim\limits_{n \to \infty} ( x_n + y_n) = a + b\)  (vgl. Komplexe Folge)
2. Die Folge \((x_n y_n)_{n=0}^\infty\) konvergiert gegen \(\lim\limits_{n \to \infty} ( x_n y_n) = a b\)
3. Angenommen \(x_n \not = 0 \ \ \forall n\) und \(\lim \limits_{n \to \infty} x_n \not = 0\).
   Dann konvergiert \((x_n^{-1})_{n=0}^\infty\) gegen \(\lim \limits_{n \to \infty} x_n^{-1} = a^{-1}\)
4. Gilt \(a < b\) so existiert eine Schranke \(N \in \mathbb N\) mit \(x_n < y_n \quad \forall n \ge N\)
5. Existiert ein \(N \in \mathbb N\) so dass \(x_n \le y_n\) für \(n \ge N\) so gilt \(a \le b\)

für jede konvergente Folge \((y_n)_{n=0}^\infty\) in \(D\) mit \(\lim \limits_{n \to \infty} y_n = x_0\)

auch die Folge \(\big( f(x_n) \big)_{n=0}^\infty\) konvergiert und \(\lim \limits_{n \to \infty} f(y_n) = f(x_0)\) gilt.

Seien \((x_n)_{n=0}^\infty, (y_n)_{n=0}^\infty, (z_n)_{n=0}^\infty\) Folgen in \(\mathbb R\).

Angenommen \(x_n \le y_n \le z_n \ \ \forall n \ (n \ge N)\) und \((x_n)_{n=0}^\infty\) und \((z_n)_{n=0}^\infty\) konvergieren gegen denselben Grenzwert \(a \in \mathbb R\).

Dann konvergiert auch \((y_n)_{n=0}^\infty\) mit \(\lim \limits_{n \to \infty} y_n = a\).

sie beschränkt ist.

Ist sie monoton wachsend, so gilt \(\lim \limits_{n \to \infty} x_n = \sup \{x_n \,|\,n \in \mathbb N\}\).
Monoton fallend entsprechen \(\lim \limits_{n \to \infty} x_n = \inf \{x_n \,|\,n \in \mathbb N\}\).

\(\limsup \limits_{n \to \infty} x_n := \lim \limits_{k \to \infty} ( \sup\{ x_n \,|\, n \ge k\})\)

\(\liminf \limits_{n \to \infty} x_n := \lim \limits_{k \to \infty} ( \inf\{ x_n \,|\, n \ge k\})\)

Sei \(a \in \mathbb R\) mit \(a \ge -1\) dann gilt:

\((1+a)^n \ge 1+na \quad \forall n \in \mathbb N\)

\(\forall \varepsilon >0 \ \ \exists \delta >0 : \,\)\(x \in D \cap B(x_0, \delta) \Longrightarrow | f(x) - a| < \varepsilon\)

Falls der Grenzwert existiert schreibe:
\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = a\)

Weiter gilt, falls \(\lim \limits_{x \to x_0} g(x) = b\) esistiert:
\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) + g(x) = a + b\)  und  \(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) g(x) = a b\)

\(f: D \to \mathbb R\) stetig bei \(x_0 \quad \)\(\Longleftrightarrow \quad \lim \limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\)

Falls \(\lim \limits_{\begin{smallmatrix} x \to x_0 \\ x \ge x_0 \end{smallmatrix}} f(x) \) existiert sagen wir \(f\) sei rechtsseitig stetig (analog links).

Wir nennen \(x_0 \in D\) Sprungstelle, falls \(\lim \limits_{\begin{smallmatrix} x \to x_0 \\ x < x_0 \end{smallmatrix}} f(x) \) und \(\lim \limits_{\begin{smallmatrix} x \to x_0 \\ x > x_0 \end{smallmatrix}} f(x) \) existieren aber verschieden sind.

Dann ist \(x_0 \in D\) eine hebbare Unstetigkeitsstelle von \(f\). Und zwar mit 
\(\tilde f : D \to \mathbb R \\\tilde f(x) = \Big\{ \begin{smallmatrix}f(x) && \text{falls} & x \in D \backslash \{x_0\} \\A && \text{falls} & x = x_0\end{smallmatrix}\)

\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = \infty\)  für

\(\forall M \in \mathbb R \ \ \exists \delta > 0 \ : \ \)\(|x-x_0| < \delta \Longrightarrow f(x) > M \ \ \forall x \in D\)

Umgekehrt:  
\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = -\infty\)   wenn   \(\lim \limits_{x \to x_0} -f(x) = \infty\)

\(\lim \limits_{ \begin{smallmatrix} x \to x_0 \\ x > x_0\end{smallmatrix} }f(x) = a\)       Bzw. linksseitiger:   \(\lim \limits_{ \begin{smallmatrix} x \to x_0 \\ x < x_0\end{smallmatrix} }f(x) = a\)

z.B. \(\lim \limits_{ \begin{smallmatrix} x \to 0 \\ x > 0\end{smallmatrix} }\text{sgn} (x) = 1\)  während \(\lim \limits_{x \to 0}\text{sgn} (x)\) oder \(\lim \limits_{ \begin{smallmatrix} x \to 0 \\ x \not = 0\end{smallmatrix} }\text{sgn} (x)\) nicht existieren

\(f\) ist Gross-O von \(g\) ( \(f(x) = O(g(x))\) ) für \(x \to x_0\), wenn:
\(\exists \delta > 0 , \ M > 0 : \, \)\(|x-x_0| < \delta \Longrightarrow |f(x)| \le M \, |g(x)|\)

\(f\) ist klein-o von \(g\) ( \(f(x) = o(g(x))\) ) für \(x \to x_0\), wenn:
\(\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0 : \, \)\(|x-x_0| < \delta \Longrightarrow|f(x)| \le \varepsilon \, |g(x)|\)

Eine Norm auf V (einem \(\mathbb K\)-Vektorraum, \(\mathbb K = \mathbb R \vee \mathbb K = \mathbb C\) ) ist eine Abbildung \(||\dots|| : V \to \mathbb R\) mit den Eigenschaften:

1. Definitheit
   \(||v|| \ge 0 \ \ \forall v \in V\)  und  \(||v|| = 0 \Longleftrightarrow v = 0\)
2. Homogenität
   \(\forall v \in V \ \ \forall \alpha \in K : \,\)\(|| \alpha \cdot v || = | \alpha | \cdot ||v||\)
3. Dreiecksungleichung
   \(||v + w|| \le ||v|| + ||w||\)

Die p-Norm mit \(p \in \mathbb R\) ist allgemein:   \(||v||_p = \left( \sum \limits_{i=1}^n |x_i|^p\right)^\frac{1}{p}\)

• 1-Norm:   \(||v||_1 = \sum\limits_{i=1}^n |x_i|\)
• 2-Norm, Euklidische Norm, Standardnorm:   \(||v||_2 = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}\)
• \(\infty\)-Norm, sup-Norm, Maximumsnorm:   \(||v||_\infty = \max \{ |x_1|, \dots, |x_n|\}\)

Ähnlich für \(V = \mathcal C([a,b])\) den VR aller stetigen Fct \(f: [a,b] \to \mathbb R\)
\(L_1, L_2, .. ,L_\infty\)-Norm    mit  \(||f||_p = \left( \int_a^b |f(x)|^p \, dx \right)^\frac{1}{p}\)
 

Norm \(||\dots||_1\) und \(||\dots||_2\) sind äquivalent wenn  \(\exists A,B \in \mathbb R : \begin{matrix}||v||_1 \le A||v||_2 \ \forall v \in V \\||v||_2 \le B||v||_1 \ \forall v \in V\end{matrix}\)

Das trifft sowohl auf die p-Normen im \(V = \mathbb R^n\) wie auch im \(V = \mathcal C([a,b])\) zu. (mit \(p \in \mathbb N\backslash\{0\}\))

Unf für zwei Normen auf einem \(\mathbb K\)-VR gilt:

1. Sie sind äquivalent.
2. Die Identitätsabbildung \(||\dots||_1 \to ||\dots||_2\) bzw. \(||\dots||_2 \to ||\dots||_1\) ist stetig.
3. Eine offen Teilmenge ist bzgl. \(||\dots||_1\) offen, genau dann, wenn auch bzgl. \(||\dots||_2\)
   Eine Folge konvergiert bzgl. \(||\dots||_1\), genau dann, wenn auch bzgl. \(||\dots||_2\)

Abbildung \(\langle .,. \rangle : V \times V \to K,\ (v,w) \to \langle v, w \rangle\)  mit:

1. Sesquilinearität
   \(\forall \alpha, \beta \in K, \ \ v_1,v_2,w_1,w_2 \in V : \,\)\(\langle \alpha v_1 + \beta v_2, w\rangle = \alpha \langle v_1, w\rangle + \beta \langle v_2, w\rangle \\ \langle v, \alpha w_1 + \beta w_2 \rangle = \bar \alpha \langle v, w_1 \rangle + \bar \beta \langle v, w_2 \rangle\)
2. Symmetrie  \(\langle v, w \rangle = \overline {\langle w, v \rangle}\)
3. positive Definitheit   \(\forall v \in V : \langle v,v \rangle \in \mathbb R _{\ge0}\)  und  \(\langle v,v \rangle = 0 \implies v = 0\)

Sei \(d \in \mathbb N\). So hat jede bzgl. der Euklidischen Norm beschränkte Folge in \(\mathbb K ^d\) einen Häufungspunkt und eine konvergierende Teilfolge.

Prähilbertraum

Also auch ein normierter Vektorraum, also auch ein Metrischer Raum.

\((X, \langle . , . \rangle ) \Longrightarrow (X, ||\dots ||) \,\)\(\Longrightarrow (X,d)\)

Eine Folge konvergiert genau dann, wenn sie komponentenweise bzgl. der 1-Norm konvergiert.

\(\exp: \mathbb R \to \mathbb R_{>0}\)

bijektiv, streng monoton steigend, stetig

\(\exp(0) = 1 \\\exp(-x) = \exp(x)^{-1} \quad \forall x \in \mathbb R \\\exp(x+y) = \exp(x) \exp(y) \quad \forall x,y \in \mathbb R\)

endlich viele Elemente (Trennungspunkte \(x_i\)):  \(a=x_0 < x_1 < \dots < x_n = b\)

\([a,b] = \{ x_0 \} \cup(x_0,x_1)\cup \{x_1\} \cup \dots \cup (x_{n-1}, x_n) \cup \{x_n\}\)

Eine Funktion \(f:[a,b] \to \mathbb R\) heisst Treppenfunktion, falls eine Zerlegung von \([a,b]\) existiert, sodass:

\(f|_{(x_{i-1},x_{i})} = c_i\) konstant   \(\forall i = 1, \dots, n\)    (\(c_i\) : Konstanzwert)

i.e. \(f\) ist Treppenfunktion bezüglich dieser Zerlegung

Wir schreiben:

\(\int\limits_a^b f(x) dx = \sum\limits_{i=1}^n (x_i - x_{i-1}) \cdot c_i\)

1. Linearität:
   \(I(f+c\cdot g)=I(f) + c \cdot I(g)\)
2. Monotonie:
   \(g \le f \Rightarrow I(g)\le I(f)\)
3. Eichung:
   \(I(\mathbf1_{[c,d]}) = d-c\quad \forall [c,d] \subseteq [a,b]\)

\(\inf \big( \mathcal O(f) \big) = \sup \big(\mathcal U (f) \big)\)

mit Untersumme \(\mathcal U (f) \) und Obersumme \(\mathcal O(f)\):
 \(\mathcal U(f) = \left\{ \int\limits_a^b u dx \,\bigg| \, u \in \mathcal{TF}, u\le f\right\}\)
 \(\mathcal O(f) = \left\{ \int\limits_a^b o dx \,\bigg| \, o \in \mathcal{TF}, o \ge f\right\}\)

Insbesondere ist jede \(\mathcal {TF}\) (Treppenfunktion) Riemann integrierbar.

z.B. :

\(f:[0,1] \to \mathbb R, f(x) = \bigg \{ \begin{matrix}1 && x \in \mathbb Q \\0 && \text{sonst}\end{matrix}\)

\(\exists u,o \in \mathcal{TF}, u \le f \le o : \ \)\(\int_a^b (o-u) dx < \varepsilon\)

\(\left| \int_a^b f \ dx\right| \le \int_a^b |f(x)| \ dx\)

ist f integrierbar

ist f integrierbar.

(Intervall [a,b] kompakt, also f gleichmässig stetig. Wähle \(\delta > x_k -x_{k-1} \quad \forall k = i,\dots, n\) )

Insbesondere sind Polynomfunktionen integrierbar.

\(d:X \times X \to \mathbb R_{\ge 0}\)

• Definitheit  \(d(x,y) \ge 0\),     \(d(x,y)=0 \Longleftrightarrow x=y\)
• Symmetrie  \(d(x,y) = d(y,x)\)
• Dreiechsungleichung  \(d(x,y) + d(y,z) \ge d(x,z)\)

• Standardmetrik auf \(\mathbb R, \ \mathbb C \simeq \mathbb R^2, \ \mathbb R^n\)    \(d(x,y) = |x-y|\)
• diskrete Metrik \(d(x_1,x_2) = \Big\{ \begin{smallmatrix}1 && \text{falls} \ x_1 \not = x_2 \\ 0 && \text{falls} \ x_1 = x_2\end{smallmatrix}\)
• kürzester Weg (\(n \in \mathbb N\)) beim kominatorischen Graphen
• "SNCF-Metrik" oder "NY-Metrik" im \(\mathbb R^2\)
  \(d(x,y) = \bigg\{ \begin{smallmatrix} |x| + |y| && \text{falls x,y nicht kolinear} \\ |x - y| && \text{falls x,y kolinear} \end{smallmatrix}\),     \(d(x,y) = d \left( \big( \begin{smallmatrix} x_1 \\ x_2 \end{smallmatrix} \big) , \big( \begin{smallmatrix} y_1 \\ y_2 \end{smallmatrix} \big) \right) = |x_1-y_1| + |x_2-y_2|\)
• mit \(X = \mathcal C ([a,b])\) (stetige Fct. auf [a,b]): \(d(f,g) = \max\{ |f(x)-g(x)| \, \big| \, x \in [a,b]\}\)
• mit \(X = \mathcal C ([a,b])\)   \(d(f,g) = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx\)

\(B(x_0, r) = \{ x\in X \,|\,d(x, x_0) < r \} \)    mit  \(x_0 \in X, r\in \mathbb R_{>0}\)

ein offener Ball mit Zentrum \(x_0\) und Radius \(r\)

Falls:

\(\exists R \ge 0 : d(x,y) \le R \quad \forall x,y \in A\)

bsp. \(A = \mathbb Z \subseteq \mathbb R\) ist nicht beschränkt

\(\forall x_0 \in A \ \exists \delta >0 : B(x_0, \delta) \subseteq A\)

Und \(B \subseteq X\) abgeschlossen, falls  \(X \backslash B\) offen.

metrische Räume (X,d) und (Y,d)

Funktion \(f: X \to Y\) heisst stetig im Punkt \(x_0 \in X\) falls:
\(\forall \varepsilon >0 \ \exists \delta >0 : \ \)\(d_X(x,x_0) < \delta \Longrightarrow d_Y \big((f(x), f(x_0) \big) < \varepsilon\)
(\(f\) stetig, wenn stetig in jedem Punkt, also obiges \(\forall x_0 \in X\); zu jedem Punkt und \(\varepsilon\) ein \(\delta\))

gleichmässig stetig:   Wenn obiges \(\forall x,x_0 \in X\), also ein \(\delta(\varepsilon)\) für alle Punkte

Lipschitz stetig:  \(\exists L \ge 0 : d_Y \big( f(x_1), f(x_2) \big) \le L \cdot d_X(x_1,x_2)\)

Für jede offene Teilmenge \(U \subseteq Y\) ist das Urbild \(f^{-1}(U) \subseteq X\) offen.

\(f^{-1}(U) = \{x \in X \,|\, f(x) \in U\}\)

Funktion \(x: \mathbb N \to X\) (kann auch auf einen Funktionenraum wie z.B. \(\mathcal C ([0,1])\) stetige Fct auf [0,1] gehen)

schreibe Folgeglieder als \(x(n) = x_n\)

gesamte Folge als \((x_n)^\infty_{n=0}\) geschrieben

Folge heisst beschränkt, wenn ihr Bild beschränkt ist.

Sei Folge \((x_n)_{n=0}^\infty\) auf metrischem Raum \((X,d)\).

Element \(a \in X\) heisst Grenzwert, falls:

\(\forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb N :\) \(n \ge N \Longrightarrow d(a, x_n) < \varepsilon\)

Schreibe auch  \(a = \lim\limits_{n \to \infty} x_n\)

Folge heisst konvergent, falls Grenzwert existiert. Andernfalls divergent.