11-13 Mehrdimensionale Differenzial und Integralrechnung

Dann ist die Funktion \(\Phi*f: X \rightarrow \mathbb R\) gegeben durch \((\Phi * f)(x) = (f \circ \Phi(x)) \cdot |det(D\Phi(X)|\)  Riemann-int'bar, hat kompakten Träger und es gilt:

\(\int_Y f(y)\,dy = \int_X (f \circ \Phi(x)) \cdot |det(D\Phi(X)| \, dx\)

(13.55)

Sei \(U \subseteq \mathbb R^n \times \mathbb R^m \) offen, \((x_0,y_0) \in U\) und sei \(F:U\to \mathbb R^m\) eine stetige Funktion mit folgenden Bedingungen:

1. \(F(x_0, y_0) = 0\)
2. \(\forall k \in \{1,\dots,m\} \ \exists \text{partielle Abl.}\ \partial_{y_k} F:U\to\mathbb R^m\ \text{stetig}\)
3. Matrix \(A = (\partial_{y_k} F_j(x_0,y_0))_{j,k} \in \text{Mat}_{m,m}(\mathbb R)\) ist invertierbar

Dann existieren \(r >0, \ s>0\) und stetige Funktion \(f:B(x_0,r) \to B(y_0,s)\), sodass:
\(\forall (x,y) \in B(x_0,r)\times B(y_0,s) : \quad F(x,y)=0 \quad\)\(\Longleftrightarrow \quad y = f(x)\)

Zusatz: Angenommen \(F \) ist d-mal stetig diffbar für \(d\ge 1\), also \(F \in \mathcal{C}^d\). Dann \(f\) ebenso und Ableitung von \(f\) bei \(x \in B(x_0,r)\) ist gegeben durch \(Df(x) = -(D_y F)(x,f(x))^{-1} \circ (D_x F)(x,f(x))\).

Sei \(U\subseteq \mathbb R^n\) offen, \(f:U \to \mathbb R^n\) d-mal stetig diff'bar, \(x_0 \in U\) s.d. \(Df(x_0)\) inv'bar,
Dann \(\exists\)offene Umgebungen \(U_0 \subseteq U\) von \(x_0\) und \(V_0 \subseteq \mathbb R^n\) von \(y_0 = f(x_0)\) sodass \(f|_{U_0}:U_0 \to V_0\) bijektiv und \((f|_{U_0})^{-1}\) ebenso d-mal stetig diff'bar.  (\(d \ge 1\))

Weiter gilt:

\((Df^{-1})(y)=(Df(x))^{-1} \quad \forall x \in U_0, y = f(x) \in V_0\)

bijektive, glatte Funktion \(f:U\to V\) mit \(f^{-1}:V\to U\) glatt    (\(U,V \subset \mathbb R^n\) offen)

\(\mathcal C^d\)-Diffeomorphismus: \(f\) und \(f^{-1}\) nur \(d\) mal stetig diff'bar (\(d\ge 1\))

Geeignete \(U,V\) finden: det(Jacobi-Matrix)\(\ne\)0 (muss vollen Rang haben, bzw. invertierbar sein)

Teilmenge \(N \subseteq \mathbb R^n\) mit \(\forall \varepsilon > 0 \quad \exists\)abzählbare* Familie offener Quader \((Q_k)_{k\in \mathbb N}\) in \(\mathbb R^n\) sodass:

\(N \subset \bigcup \limits_{k=0}^{\infty} Q_k \quad\) und\(\quad \sum \limits_{k=0}^{\infty} \text{vol}(Q_k) < \varepsilon\)

Wir sagen \(\text{vol}(N)=0\).

(* abzählbar, nicht zwingend endlich, aber nicht überabzählbar unendlich)

Teilmenge \(J \subseteq \mathbb R^n\) mit \(\forall \varepsilon > 0 \quad \exists\)endliche Familie offener Quader \((Q_k)_{k\in \mathbb \{1,...,m\}}\) in \(\mathbb R^n\) sodass:

\(J \subset \bigcup \limits_{k=0}^{m} Q_k \quad\) und\(\quad \sum \limits_{k=0}^{m} \text{vol}(Q_k) < \varepsilon\)

Wir sagen \(J\) ist Jordan-messbar und \(\text{vol}(J)=0\).

Äquivalent: \(\overline J\) ist eine beschränkte Lebesque-Nullmenge

Sei \(n \ge 1, \quad 0 \le k \le n\).

Teilmenge \(M \subseteq \mathbb R^n \) ist k-dim TMF, wenn:

\(\forall\)Punkte \(p \in M\)     \(\exists\)eine offene Umgebung von p  \(U_p \subseteq \mathbb R^n\)  und ein Diffeomorphismus \(\varphi_p: U_p \to V_p=\varphi_p(U_p)\) auf \(V_p \subseteq \mathbb R^n\) offen,

sodass
\(\varphi_p(U_p \cap M) = \{y \in V_p \,|\, y_i = 0 \quad \forall i > k\}\)

Wir nennen den Diffeomorphismus \(\varphi\) eine Karte von \(M\) um \(p\), und den zu \(\varphi\) inversen
Diffeomorphismus \(\varphi^{-1} : V \to U_p\) eine Parametrisierung von \(M\) um \(p\).

Seien \(U,V \subseteq \mathbb R^n\) offen, V einfach zusammenhängend, \(f: U \to V\) von \(\mathcal C^1\)und
eigentlich und \(\det(Df(x)) \ne 0 \quad \forall x\in U\)

\(\implies f\) ist ein Diffeomorphismus

Urbilder kompakter Mengen sind kompakt.

\(U \subset \mathbb R^n\) offen,  \(F: U \to \mathbb R^m\)  glatte Funktion.
Nullstellenmenge \(M = \{p \in U\ |\ F(p) = 0\}\) ist eine (\(n - m\))-dim. TMF von \(\mathbb R^n\), falls
\(\forall p \in M\) die lineare Abbildung \(DF(p) : \mathbb R^n \to \mathbb R^m\) surjektiv ist.

(surjektiv: \(\det DF(p) \ne 0\), also vollen Rang)

Sei \(M \subseteq \mathbb R^n\) eine Mannigfaltigkeit, \(p \in M\)
\(T_p M = \{ \gamma'(0) \ |\ \gamma: (-\delta, \delta) \to M \text{ diff'bar}, \gamma(0) = p, \delta > 0 \}\) ist der Tangentialraum.

bzw. wenn M Nullstellenmenge von \(F: U \subseteq \mathbb R^n \to \mathbb R^m\) (wie im Satz vom konstanten Rang):
\(T_pM = Ker(DF(p))\)

\(U \subset \mathbb R^n\) offen, \(f:U\to \mathbb R^m\) Funktion
\(f\) heisst differenzierbar (ableitbar) bei \(x_0 \in U\), falls
\(\exists \)lineare Abb. \(L: \mathbb R^n \to \mathbb R^m\) sd.
\(\lim \limits_{x\to0} \frac{\| f(x_0+x) - f(x_0) - L(x)\|}{\|x\|} = 0\)

\(L=Df(x_0)\) heisst totale Ableitung bzw. Differential, Tangentialabb.

Seien \(\gamma_1, \gamma_2 : [0,1] \to U \) stückweise stetig diff'bare Pfade
mit selbem Anfangs- und Endpunkt und homotop zueinander, so gilt
\(\int_{\gamma_0} F dt = \int_{\gamma_1} Fdt\)

Bzw. \(U \subseteq \mathbb R^n \) offen und einfach zush., so ist stetig diff'bares VF
genau dann konservativ, wenn Integrabilitätsbedingungen erfüllt sind.

\(X,Y \subseteq \mathbb R^n\) offene Teilmengen, \(\Phi: X \to Y\) ein \(\mathcal C^1\)-Diffeomorphismus
sei \(f: Y \to \mathbb R\) Riemann-int'bare Funktion mit kompaktem Träger.

Dann ist Funktion \(\Phi * f : X \to \mathbb R\) gegeben durch
\((\Phi*f)(x) = (f \circ \Phi(x))\ |\det(D\Phi(x))|\)
Riemann-int'bar, kompakter Träger und

\(\int_Y f(y) dy = \int_X (f \circ \Phi(x))\ |\det(D\Phi(x))|\ dx\)

\(U \subset \mathbb R^n\) offen, \(f:U \to \mathbb R\) diff'bar
Sei \(x_0 \in U, h \in \mathbb R^n\) sd. \(x_0 + th \in U\quad \forall t \in [0,1]\)
Dann \(\exists t \in (0,1) \) sd. für \(\xi = x_0 + th\) folgendes gilt:
\(f(x_0+h)-f(x_0) = Df(\xi)(h) = \partial_h f(\xi)\)

\(U \subset \mathbb R^n \) offen, \(f: U \to \mathbb R\) in \(\mathcal C^{d+1}\)
Sei \(x \in U, h \in \mathbb R^n \) sd. \(x+th \in U \quad \forall t \in [0,1]\)
So gilt:

\(f(x+h) = f(x) + \sum\limits_{k=1}^d \frac{1}{k!} D^k f(x)(h,...,h) \)\(+ \int_0^1 \frac{(1-t)^d}{d!} D^{d+1} f(x+th)(h,...,h) dt\)

bsp.
\(T_2(x,y) = \sum\limits_{k=0}^2 \frac{1}{k!} \left((x-x_0)\cdot\frac{\partial}{\partial y} + (y-y_0)\cdot\frac{\partial}{\partial y}\right)^k f(x_0,y_0)\)

\(U\subset \mathbb R^n \) offen, \(f:U\to\mathbb R\) zweimal stetig diff'bar
Dann gilt:

\(\partial_j\partial_k f = \partial_k\partial_j f \quad \forall j,k \in \{1,...,n\}\)