Lernkarten

Philipp Stark
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Lernende 4 Lernende
Sprache Deutsch
Stufe Universität
Erstellt / Aktualisiert 10.06.2020 / 16.07.2021
Lizenzierung Namensnennung (CC BY)     (Skript: Analysis I und II von Peter Jossen - https://metaphor.ethz.ch/x/2020/fs/401-1262-07L/sc/SkriptAnalysis.pdf)
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Sei \(S \subseteq \mathbb R^3\) eine Fläche.
Wir nennen Atlas für \(S\) eine Überdeckung \(\{U_i \ |\ i \in I\}\) von \(S\) durch relativ offene Teilmengen \(U_i \subseteq S\), genannt Kartenbereiche.
Zusammen mit  [A]  \(\varphi_i : U_i \rightarrow V_i\)  mit \(V_i \subseteq \mathbb R^2\) offen,  genannt Kartenabbildungen.
So dass die Parametrisierungen  \(\varphi_i^{-1}=:\psi_i: V_i \rightarrow U_i \subseteq \mathbb R^3\) glatt sind.
Und so dass die  [B]  \(\alpha_{12}: \varphi_1(U_1 \cap U_2) \xrightarrow{\varphi_1^{-1}} U_1 \cap U_2 \xrightarrow{\varphi_2} \varphi_2(U_1 \cap U_2)\)  glatt ist.


(Def. 14.40)

  [A]  Homeomorphismus

  [B]  Transitionsabbildung, Kartenwechsel, Übergangsmorphismus

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Was heisst Fläche \(S\subseteq \mathbb R^3\) sei orientierbar?
(14.42)

\(S\) ist orientierbar, falls es einen orienterieten Atlas besitzt:

Atlas \((\varphi_i : U_i \rightarrow V_i)_{i \in I}\)  sei orientiert,
falls für alle Transitionsabbildungen/Kartenwechsel \(\alpha_{ij}\) die Jacobi-Determinante positiv ist:
\(\det( D \alpha_{ij} ) > 0\)

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\(S\) ist genau dann orientierbar, falls ein stetiges normiertes Normalenfeld auf \(S\) existiert. (Ü14.44)

Was ist das?

Ein stetig normiertes Normalenfeld ist ein stetiger Schnitt des Normalenbündels von S,
also eine stetige Abbildung  \(n: S \rightarrow \mathbb (\text T_pS)^\perp \subseteq R^3\)  sodass \(||n(p)|| = 1 \quad \forall p \in S\).

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Sei \(X\) eine 2-dim reelle Mannigfaltigkeit.

Was bedeutet Glattheit für eine Funktion \(f: X \rightarrow \mathbb R^n\) ?

Funktion \(f: X \rightarrow \mathbb R^n\) heisst glatt, falls für jede Karte von \(X \quad\)(\(\varphi: U\subseteq X \rightarrow V \subseteq \mathbb R^2\))   die Verknüpfung \(V \xrightarrow{\varphi^{-1}} U \xrightarrow{f} \mathbb R^n\)  glatt ist.

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Wie nennt man eine injektive, abgeschlossene Abbildung \(h: X \rightarrow \mathbb R^3\) mit \(D(h \circ \varphi_i^{-1})(x)\) injektiv?

Immersion

Wenn \(h\) eine Immersion, dann ist \(h(X) \subseteq \mathbb R^3\) eine 2-dim Teilmannigfaltigkeit.

(U.a. weil \(v_1 = D(h \circ \varphi_i^{-1})(\varphi_i(x_0))(e_1) \\v_2 = D(h \circ \varphi_i^{-1})(\varphi_i(x_0))(e_2)\) eine wegen \(D(h \circ \varphi_i^{-1})(x)\) injektiv linear unabhängige Basis des Tangentialraums an Punkt \(x_0 \in X\).)

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Divergenzsatz/Satz von Gauss

Sei \(B \subseteq \mathbb R^2\) ein kompakter, glatt berandeter Bereich und F ein stetig diff'bares Vektorfeld definiert auf einer offenen Umgebung von \(B\) dann gilt:

\(\int_B \text{div}(F)\, dx = \int_{\partial B} F \, dn\)

(14.58)

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Divergenzsatz mit "Bereich unter einem Graphen"

\(\int_{\partial B} F \, dn = \int^d_c \bigg( \int_{\partial B_{x_2}}F_y \, dn \bigg) dx_2 =\,\)\( \int^d_c \int_{B_{x_2}}(\partial_1 F_1 + \partial_3 F_3) dx_1 dx_3 dx_2 =\int_B \text{div} F \,dx\)

Für Beweis: 2dim Divergenzsatz und Satz von Fubini

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Stokes für Flächen mit Rand

\(\int_S \text{rot}(F) \, dn = \int_{\partial S} F \, dt\)

(\(F\) stetig diff'bares VF auf offener TM \(U \subseteq \mathbb R^3\),   \(S \subseteq U\) eine glatt berandete, kompakte und orientierte Fläche)