14 Globale Integralsätze
Analysis vom ETH-Basisjahr Mathematik bzw. Physik oder RW; Dozent Peter Jossen; Fragen zum Kapitel 14 aus der Vorlesung
Analysis vom ETH-Basisjahr Mathematik bzw. Physik oder RW; Dozent Peter Jossen; Fragen zum Kapitel 14 aus der Vorlesung
Sei \(S \subseteq \mathbb R^3\) eine Fläche.
Wir nennen Atlas für \(S\) eine Überdeckung \(\{U_i \ |\ i \in I\}\) von \(S\) durch relativ offene Teilmengen \(U_i \subseteq S\), genannt Kartenbereiche.
Zusammen mit [A] \(\varphi_i : U_i \rightarrow V_i\) mit \(V_i \subseteq \mathbb R^2\) offen, genannt Kartenabbildungen.
So dass die Parametrisierungen \(\varphi_i^{-1}=:\psi_i: V_i \rightarrow U_i \subseteq \mathbb R^3\) glatt sind.
Und so dass die [B] \(\alpha_{12}: \varphi_1(U_1 \cap U_2) \xrightarrow{\varphi_1^{-1}} U_1 \cap U_2 \xrightarrow{\varphi_2} \varphi_2(U_1 \cap U_2)\) glatt ist.
(Def. 14.40)
[A] Homeomorphismus
[B] Transitionsabbildung, Kartenwechsel, Übergangsmorphismus
Was heisst Fläche \(S\subseteq \mathbb R^3\) sei orientierbar?
(14.42)
\(S\) ist orientierbar, falls es einen orienterieten Atlas besitzt:
Atlas \((\varphi_i : U_i \rightarrow V_i)_{i \in I}\) sei orientiert,
falls für alle Transitionsabbildungen/Kartenwechsel \(\alpha_{ij}\) die Jacobi-Determinante positiv ist:
\(\det( D \alpha_{ij} ) > 0\)
\(S\) ist genau dann orientierbar, falls ein stetiges normiertes Normalenfeld auf \(S\) existiert. (Ü14.44)
Was ist das?
Ein stetig normiertes Normalenfeld ist ein stetiger Schnitt des Normalenbündels von S,
also eine stetige Abbildung \(n: S \rightarrow \mathbb (\text T_pS)^\perp \subseteq R^3\) sodass \(||n(p)|| = 1 \quad \forall p \in S\).
Sei \(X\) eine 2-dim reelle Mannigfaltigkeit.
Was bedeutet Glattheit für eine Funktion \(f: X \rightarrow \mathbb R^n\) ?
Funktion \(f: X \rightarrow \mathbb R^n\) heisst glatt, falls für jede Karte von \(X \quad\)(\(\varphi: U\subseteq X \rightarrow V \subseteq \mathbb R^2\)) die Verknüpfung \(V \xrightarrow{\varphi^{-1}} U \xrightarrow{f} \mathbb R^n\) glatt ist.
Wie nennt man eine injektive, abgeschlossene Abbildung \(h: X \rightarrow \mathbb R^3\) mit \(D(h \circ \varphi_i^{-1})(x)\) injektiv?
Immersion
Wenn \(h\) eine Immersion, dann ist \(h(X) \subseteq \mathbb R^3\) eine 2-dim Teilmannigfaltigkeit.
(U.a. weil \(v_1 = D(h \circ \varphi_i^{-1})(\varphi_i(x_0))(e_1) \\v_2 = D(h \circ \varphi_i^{-1})(\varphi_i(x_0))(e_2)\) eine wegen \(D(h \circ \varphi_i^{-1})(x)\) injektiv linear unabhängige Basis des Tangentialraums an Punkt \(x_0 \in X\).)
Divergenzsatz/Satz von Gauss
Sei \(B \subseteq \mathbb R^2\) ein kompakter, glatt berandeter Bereich und F ein stetig diff'bares Vektorfeld definiert auf einer offenen Umgebung von \(B\) dann gilt:
\(\int_B \text{div}(F)\, dx = \int_{\partial B} F \, dn\)
(14.58)
Divergenzsatz mit "Bereich unter einem Graphen"
\(\int_{\partial B} F \, dn = \int^d_c \bigg( \int_{\partial B_{x_2}}F_y \, dn \bigg) dx_2 =\,\)\( \int^d_c \int_{B_{x_2}}(\partial_1 F_1 + \partial_3 F_3) dx_1 dx_3 dx_2 =\int_B \text{div} F \,dx\)
Für Beweis: 2dim Divergenzsatz und Satz von Fubini
Stokes für Flächen mit Rand
\(\int_S \text{rot}(F) \, dn = \int_{\partial S} F \, dt\)
(\(F\) stetig diff'bares VF auf offener TM \(U \subseteq \mathbb R^3\), \(S \subseteq U\) eine glatt berandete, kompakte und orientierte Fläche)
orientierte Fläche
Sei \(S \subseteq \mathbb R^3\) eine Fläche.
Wir sagen ein Atlas \((\varphi_i: U_i \to V_i)_{i\in I}\) sei orientiert,
falls für alle Kartenwechsel \(\alpha_{ij}\) gilt:
\(\det (D\alpha_{ij}) > 0\) (Jacobi-Det positiv)
\(S\) sei orientiert, falls \(\exists\)orientierter Atlas.
Flächen im \(\mathbb R^3\)
- geschlossene Flächen: \(S = \partial B\) mit \(B\subseteq \mathbb R^3\) kompakt, glatt berandet
- Fläche mit Rand: \(S \subseteq M\) Fläche sd. \(\overline{S} \) kompakt und \(\partial S\) (TMF dim 1) glatt
Beides sind 2-dim Teilmannigfaltigkeiten
Zurückgezogenes Vektorfeld
\(U \subseteq \mathbb R^n, V \subseteq \mathbb R^m\) offen,
\(F:U\to\mathbb R^n\) ein stetiges Vektorfeld, \(\varphi: V \to U \) eine stetig diff'bare Fkt.
Vektorfeld \(\varphi^* F : V \to \mathbb R^m\) gegeben durch:
\(\varphi^*F:x \mapsto \sum \limits_{k=1}^m \langle \partial_k \varphi(x), F(\varphi(x))\rangle e_k\)
(Pullback von F bzw. entlang \(\varphi\) zurückgezogenes VF)
Es entsteht Abb. \(\varphi^*:\) {stetige VF auf U} \(\to\) {stetige VF auf V}
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Cartes-fiches
Sei \(S \subseteq \mathbb R^3\) eine Fläche.
Wir nennen Atlas für \(S\) eine Überdeckung \(\{U_i \ |\ i \in I\}\) von \(S\) durch relativ offene Teilmengen \(U_i \subseteq S\), genannt Kartenbereiche.
Zusammen mit [A] \(\varphi_i : U_i \rightarrow V_i\) mit \(V_i \subseteq \mathbb R^2\) offen, genannt Kartenabbildungen.
So dass die Parametrisierungen \(\varphi_i^{-1}=:\psi_i: V_i \rightarrow U_i \subseteq \mathbb R^3\) glatt sind.
Und so dass die [B] \(\alpha_{12}: \varphi_1(U_1 \cap U_2) \xrightarrow{\varphi_1^{-1}} U_1 \cap U_2 \xrightarrow{\varphi_2} \varphi_2(U_1 \cap U_2)\) glatt ist.
(Def. 14.40)
[A] Homeomorphismus
[B] Transitionsabbildung, Kartenwechsel, Übergangsmorphismus
Was heisst Fläche \(S\subseteq \mathbb R^3\) sei orientierbar?
(14.42)
\(S\) ist orientierbar, falls es einen orienterieten Atlas besitzt:
Atlas \((\varphi_i : U_i \rightarrow V_i)_{i \in I}\) sei orientiert,
falls für alle Transitionsabbildungen/Kartenwechsel \(\alpha_{ij}\) die Jacobi-Determinante positiv ist:
\(\det( D \alpha_{ij} ) > 0\)
\(S\) ist genau dann orientierbar, falls ein stetiges normiertes Normalenfeld auf \(S\) existiert. (Ü14.44)
Was ist das?
Ein stetig normiertes Normalenfeld ist ein stetiger Schnitt des Normalenbündels von S,
also eine stetige Abbildung \(n: S \rightarrow \mathbb (\text T_pS)^\perp \subseteq R^3\) sodass \(||n(p)|| = 1 \quad \forall p \in S\).
Sei \(X\) eine 2-dim reelle Mannigfaltigkeit.
Was bedeutet Glattheit für eine Funktion \(f: X \rightarrow \mathbb R^n\) ?
Funktion \(f: X \rightarrow \mathbb R^n\) heisst glatt, falls für jede Karte von \(X \quad\)(\(\varphi: U\subseteq X \rightarrow V \subseteq \mathbb R^2\)) die Verknüpfung \(V \xrightarrow{\varphi^{-1}} U \xrightarrow{f} \mathbb R^n\) glatt ist.
Wie nennt man eine injektive, abgeschlossene Abbildung \(h: X \rightarrow \mathbb R^3\) mit \(D(h \circ \varphi_i^{-1})(x)\) injektiv?
Immersion
Wenn \(h\) eine Immersion, dann ist \(h(X) \subseteq \mathbb R^3\) eine 2-dim Teilmannigfaltigkeit.
(U.a. weil \(v_1 = D(h \circ \varphi_i^{-1})(\varphi_i(x_0))(e_1) \\v_2 = D(h \circ \varphi_i^{-1})(\varphi_i(x_0))(e_2)\) eine wegen \(D(h \circ \varphi_i^{-1})(x)\) injektiv linear unabhängige Basis des Tangentialraums an Punkt \(x_0 \in X\).)
Divergenzsatz/Satz von Gauss
Sei \(B \subseteq \mathbb R^2\) ein kompakter, glatt berandeter Bereich und F ein stetig diff'bares Vektorfeld definiert auf einer offenen Umgebung von \(B\) dann gilt:
\(\int_B \text{div}(F)\, dx = \int_{\partial B} F \, dn\)
(14.58)
Divergenzsatz mit "Bereich unter einem Graphen"
\(\int_{\partial B} F \, dn = \int^d_c \bigg( \int_{\partial B_{x_2}}F_y \, dn \bigg) dx_2 =\,\)\( \int^d_c \int_{B_{x_2}}(\partial_1 F_1 + \partial_3 F_3) dx_1 dx_3 dx_2 =\int_B \text{div} F \,dx\)
Für Beweis: 2dim Divergenzsatz und Satz von Fubini
Stokes für Flächen mit Rand
\(\int_S \text{rot}(F) \, dn = \int_{\partial S} F \, dt\)
(\(F\) stetig diff'bares VF auf offener TM \(U \subseteq \mathbb R^3\), \(S \subseteq U\) eine glatt berandete, kompakte und orientierte Fläche)
orientierte Fläche
Sei \(S \subseteq \mathbb R^3\) eine Fläche.
Wir sagen ein Atlas \((\varphi_i: U_i \to V_i)_{i\in I}\) sei orientiert,
falls für alle Kartenwechsel \(\alpha_{ij}\) gilt:
\(\det (D\alpha_{ij}) > 0\) (Jacobi-Det positiv)
\(S\) sei orientiert, falls \(\exists\)orientierter Atlas.
Flächen im \(\mathbb R^3\)
- geschlossene Flächen: \(S = \partial B\) mit \(B\subseteq \mathbb R^3\) kompakt, glatt berandet
- Fläche mit Rand: \(S \subseteq M\) Fläche sd. \(\overline{S} \) kompakt und \(\partial S\) (TMF dim 1) glatt
Beides sind 2-dim Teilmannigfaltigkeiten
Zurückgezogenes Vektorfeld
\(U \subseteq \mathbb R^n, V \subseteq \mathbb R^m\) offen,
\(F:U\to\mathbb R^n\) ein stetiges Vektorfeld, \(\varphi: V \to U \) eine stetig diff'bare Fkt.
Vektorfeld \(\varphi^* F : V \to \mathbb R^m\) gegeben durch:
\(\varphi^*F:x \mapsto \sum \limits_{k=1}^m \langle \partial_k \varphi(x), F(\varphi(x))\rangle e_k\)
(Pullback von F bzw. entlang \(\varphi\) zurückgezogenes VF)
Es entsteht Abb. \(\varphi^*:\) {stetige VF auf U} \(\to\) {stetige VF auf V}
