Analysis

Lernkarten zur Analysis

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Set of flashcards Details

Flashcards	14
Students	10
Language	Deutsch
Category	Maths
Level	Other
Created / Updated	04.04.2020 / 08.06.2021
Weblink	https://card2brain.ch/box/20200404_analysis
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Begründen Sie, dass jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle hat.

Keyboard commands:

= turn,

= for-/backward,

= scroll

Wenn die untere Grenze a eines Integrals mit der oberen übereinstimmt, ergibt das Integral 0, daher hat jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle, nämlich x=a.

Die Graphen der Funktion f(x)=x^(3)+0,5 und ihrer ersten Ableitung schließen gemeinsam eine Fläche ein. Bestimmen Sie die Größe dieser Fläche.

Keyboard commands:

= turn,

= for-/backward,

= scroll

Die Fläche ist 0,2741 FE groß (gerundeter Wert).

Eine zur y-Achse symmetrische Parabel verläuft durch die Punkte (2|4) und (0|2). Die Fläche zwischen der Parabel und x-Achse rotiert über dem Intervall [-2,2] um die x-Achse. Berechne das Volumen

Keyboard commands:

= turn,

= for-/backward,

= scroll

Gleichung der Parabel: y=0,5x²+2

Mithilfe der Formel das Volumen berechnen.

Ergebnis:93,83 VE

Wie berechne die Otrskurve/Ortslinie von der Ableitungsfunktion einer Kurvenschar?

Keyboard commands:

= turn,

= for-/backward,

= scroll

Generell: Eine Ortskurve kann von verschiedenen Punkten einer Funktionsschar gebildet werden, so z.b die Ortkurve der Extrempunkte oder der Wendepunkte

Beispiel: Fa(x)=x*e^-ax
Ableitung bilden: F´a(x)=e^-ax * (1-ax)
mit 0 gleichsetzen und anschließend nach A auflösen: a=1/x
in die Ursprungsfunktion einsetzen: F1/x(X)=(1/e)x

Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Ortslinie der Wendepunkte der

Funktionenschar \(f_a (x)=x^3+ax^2+3x\)

Keyboard commands:

= turn,

= for-/backward,

= scroll

\(f_a ´(x)=3x^2+2ax+3\) \(f_a ´´(x)=6x+2a\)

Notwendige Bedingung für WP: \(f_a ´´(x)=0\)

\(6x+2a=0\) (nach a auflösen) \(a=-3x\)

In \(f_a(x)\) einsetzen, Ortskurve g(x):

\(g(x)=-2x^3+3x\)

Gegeben: fk(x)=e^(k•x), für jeden Wert von k bezeichnet tk die Tangente an den Graphen von fk im Punkt (0/1), m1•m2=-1, k1 ist ungleich k2. Aufgabe: tk1 und tk2 schneiden sich senkrecht. Gesucht ist die gemeinsame Nullstelle aller Tangenten tk.

Keyboard commands:

= turn,

= for-/backward,

= scroll

1) Ableitung bilden und die Abszisse von P einsetzen

f'k(0)= k•e^(k•0)= K

2) m1•m2= -1 v k1•k2= -1

Daraus folgt: k2= -1/k1

3) y= m•x+b ; m=k, b= 1 (Ordinate von P)

einsetzen und mit 0 gleichsetzen

0=k•x+1

... x= -1/k

Antwort : Jede Tangente besitzt die Nullstellen -1/k.

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