Analysis
Lernkarten zur Analysis
Lernkarten zur Analysis
Berechnen Sie die Ableitung von f(x)=x•ex
f´(x)=(x+1)•ex
Berechnen Sie den Flächeninhalt unter dem Graphen von f(x)=ex im Intervall von -3 bis 1
Den Flächeninhalt kann man im GTR mit \(\int_{-3}^{1} e^x dx \approx 2,67\) berechnen. Dafür drückt man zunächst auf die "math" Taste, dann auf 9, woraufhin man die Grenzen und Funktion eingibt, ebenso wie die Variable x nach dem d. Dann drückt man auf Enter.
Steigt oder fällt die Funktion f mit f(x)=x4- 2x3 an der Stelle 1 ?
Der Graph fällt, da f´(1)=-2 ist.
Berechnen Sie die Länge des Kurvenstücks von g mit
\(g(x)=\frac{-1}{3}x^3+2x \) für 0 <x < 3.
\(\int_0^3\mathrm{\sqrt{(1+(-x^2+2)^2}\,\mathrm{d}x}\) ≈ 7,74
Für welche Werte von k ist der Flächeninhalt (nicht der orientierte Flächeninhalt), welchen die Funktion f(x)=x^2*(x-k) mit der x-Achse einschließt, 108 Flächeneinheiten groß?
Wie lässt sich mithilfe des Integrals die Volumenformel V für einen Kegel bestimmen?
f(x)= m•x [0;b]-> Kegel V=1/3 π r2 • h
Vk = π0 ∫b (r/h •x)2 dx weil f(x)=m•x=(r/h)•x
Vk = π [(r2 / h2 )• 1/3 x3 ]b0 = π• (r2 / h2 )• 1/3 h3
Vk = 1/3 π r2 •h
Für die Funktionsschar fa(x) = -a*x*(x-a) gilt a>0
Bestimme ohne GTR den Wert für a, bei dem der Wert des Intergals von fa(x) (untere Grenze: 0; obere Grenze: a) gleich 8/3 ist.
1. Aufleitung bilden --> Fa(x) = -1/3*a*x3+1/2*a2*x2
2. Grenzwerte einsetzen, voneinander suntrahieren und vereinfachen --> 1/6*a^4
3. Ergebnis mit 8/3 gleichsetzen und nach a auflösen ---> a=2 (a=-2 kommt zwar als zweites Ergebnis beim wurzelziehen raus, fällt aber weg, da a>0 gilt)
Begründen Sie, dass jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle hat.
Wenn die untere Grenze a eines Integrals mit der oberen übereinstimmt, ergibt das Integral 0, daher hat jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle, nämlich x=a.
Die Graphen der Funktion f(x)=x^(3)+0,5 und ihrer ersten Ableitung schließen gemeinsam eine Fläche ein. Bestimmen Sie die Größe dieser Fläche.
Die Fläche ist 0,2741 FE groß (gerundeter Wert).
Eine zur y-Achse symmetrische Parabel verläuft durch die Punkte (2|4) und (0|2). Die Fläche zwischen der Parabel und x-Achse rotiert über dem Intervall [-2,2] um die x-Achse. Berechne das Volumen
Gleichung der Parabel: y=0,5x2+2
Mithilfe der Formel das Volumen berechnen.
Ergebnis:93,83 VE
Wie berechne die Otrskurve/Ortslinie von der Ableitungsfunktion einer Kurvenschar?
Generell: Eine Ortskurve kann von verschiedenen Punkten einer Funktionsschar gebildet werden, so z.b die Ortkurve der Extrempunkte oder der Wendepunkte
- Beispiel: Fa(x)=x*e-ax
- Ableitung bilden: F´a(x)=e-ax * (1-ax)
- mit 0 gleichsetzen und anschließend nach A auflösen: a=1/x
- in die Ursprungsfunktion einsetzen: F1/x(X)=(1/e)x
Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Ortslinie der Wendepunkte der
Funktionenschar \(f_a (x)=x^3+ax^2+3x\)
\(f_a ´(x)=3x^2+2ax+3\) \(f_a ´´(x)=6x+2a\)
Notwendige Bedingung für WP: \(f_a ´´(x)=0\)
\(6x+2a=0\) (nach a auflösen) \(a=-3x\)
In \(f_a(x)\) einsetzen, Ortskurve g(x):
\(g(x)=-2x^3+3x\)
+
Gegeben: fk(x)=e^(k•x), für jeden Wert von k bezeichnet tk die Tangente an den Graphen von fk im Punkt (0/1), m1•m2=-1, k1 ist ungleich k2. Aufgabe: tk1 und tk2 schneiden sich senkrecht. Gesucht ist die gemeinsame Nullstelle aller Tangenten tk.
1) Ableitung bilden und die Abszisse von P einsetzen
f'k(0)= k•e^(k•0)= K
2) m1•m2= -1 v k1•k2= -1
Daraus folgt: k2= -1/k1
3) y= m•x+b ; m=k, b= 1 (Ordinate von P)
einsetzen und mit 0 gleichsetzen
0=k•x+1
... x= -1/k
Antwort : Jede Tangente besitzt die Nullstellen -1/k.
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Flashcards
Berechnen Sie die Ableitung von f(x)=x•ex
f´(x)=(x+1)•ex
Berechnen Sie den Flächeninhalt unter dem Graphen von f(x)=ex im Intervall von -3 bis 1
Den Flächeninhalt kann man im GTR mit \(\int_{-3}^{1} e^x dx \approx 2,67\) berechnen. Dafür drückt man zunächst auf die "math" Taste, dann auf 9, woraufhin man die Grenzen und Funktion eingibt, ebenso wie die Variable x nach dem d. Dann drückt man auf Enter.
Steigt oder fällt die Funktion f mit f(x)=x4- 2x3 an der Stelle 1 ?
Der Graph fällt, da f´(1)=-2 ist.
Berechnen Sie die Länge des Kurvenstücks von g mit
\(g(x)=\frac{-1}{3}x^3+2x \) für 0 <x < 3.
\(\int_0^3\mathrm{\sqrt{(1+(-x^2+2)^2}\,\mathrm{d}x}\) ≈ 7,74
Für welche Werte von k ist der Flächeninhalt (nicht der orientierte Flächeninhalt), welchen die Funktion f(x)=x^2*(x-k) mit der x-Achse einschließt, 108 Flächeneinheiten groß?
Wie lässt sich mithilfe des Integrals die Volumenformel V für einen Kegel bestimmen?
f(x)= m•x [0;b]-> Kegel V=1/3 π r2 • h
Vk = π0 ∫b (r/h •x)2 dx weil f(x)=m•x=(r/h)•x
Vk = π [(r2 / h2 )• 1/3 x3 ]b0 = π• (r2 / h2 )• 1/3 h3
Vk = 1/3 π r2 •h
Für die Funktionsschar fa(x) = -a*x*(x-a) gilt a>0
Bestimme ohne GTR den Wert für a, bei dem der Wert des Intergals von fa(x) (untere Grenze: 0; obere Grenze: a) gleich 8/3 ist.
1. Aufleitung bilden --> Fa(x) = -1/3*a*x3+1/2*a2*x2
2. Grenzwerte einsetzen, voneinander suntrahieren und vereinfachen --> 1/6*a^4
3. Ergebnis mit 8/3 gleichsetzen und nach a auflösen ---> a=2 (a=-2 kommt zwar als zweites Ergebnis beim wurzelziehen raus, fällt aber weg, da a>0 gilt)
Begründen Sie, dass jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle hat.
Wenn die untere Grenze a eines Integrals mit der oberen übereinstimmt, ergibt das Integral 0, daher hat jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle, nämlich x=a.
Die Graphen der Funktion f(x)=x^(3)+0,5 und ihrer ersten Ableitung schließen gemeinsam eine Fläche ein. Bestimmen Sie die Größe dieser Fläche.
Die Fläche ist 0,2741 FE groß (gerundeter Wert).
Eine zur y-Achse symmetrische Parabel verläuft durch die Punkte (2|4) und (0|2). Die Fläche zwischen der Parabel und x-Achse rotiert über dem Intervall [-2,2] um die x-Achse. Berechne das Volumen
Gleichung der Parabel: y=0,5x2+2
Mithilfe der Formel das Volumen berechnen.
Ergebnis:93,83 VE
Wie berechne die Otrskurve/Ortslinie von der Ableitungsfunktion einer Kurvenschar?
Generell: Eine Ortskurve kann von verschiedenen Punkten einer Funktionsschar gebildet werden, so z.b die Ortkurve der Extrempunkte oder der Wendepunkte
- Beispiel: Fa(x)=x*e-ax
- Ableitung bilden: F´a(x)=e-ax * (1-ax)
- mit 0 gleichsetzen und anschließend nach A auflösen: a=1/x
- in die Ursprungsfunktion einsetzen: F1/x(X)=(1/e)x
Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Ortslinie der Wendepunkte der
Funktionenschar \(f_a (x)=x^3+ax^2+3x\)
\(f_a ´(x)=3x^2+2ax+3\) \(f_a ´´(x)=6x+2a\)
Notwendige Bedingung für WP: \(f_a ´´(x)=0\)
\(6x+2a=0\) (nach a auflösen) \(a=-3x\)
In \(f_a(x)\) einsetzen, Ortskurve g(x):
\(g(x)=-2x^3+3x\)
+
Gegeben: fk(x)=e^(k•x), für jeden Wert von k bezeichnet tk die Tangente an den Graphen von fk im Punkt (0/1), m1•m2=-1, k1 ist ungleich k2. Aufgabe: tk1 und tk2 schneiden sich senkrecht. Gesucht ist die gemeinsame Nullstelle aller Tangenten tk.
1) Ableitung bilden und die Abszisse von P einsetzen
f'k(0)= k•e^(k•0)= K
2) m1•m2= -1 v k1•k2= -1
Daraus folgt: k2= -1/k1
3) y= m•x+b ; m=k, b= 1 (Ordinate von P)
einsetzen und mit 0 gleichsetzen
0=k•x+1
... x= -1/k
Antwort : Jede Tangente besitzt die Nullstellen -1/k.
