statistik

Intercept (b0 ) = vorhergesagter Wert für y^, wenn alle Prädiktoren 0 sind

Regressionsgewichte (b1...bx) = Unterschied im vorhergesagten Wert (AV) für jede Einheit mehr auf dem entsprechenden Prädiktor bei konstanten anderen Prädiktoren

Wichtig: Standardisierte Partialregressionsgewichte und Partialkorrelationen sind verwandt und werden auch ähnlich interpretiert, sind aber nicht ident.

• Bei standardisierten Partialregressionsgewichten werden Prädiktoren standardisiert

• Bei Partialkorrelationen werden Residualvariablen standardisiert

• Die beiden Statistiken können ineinander überführt werden (vgl. Eid et al., 2017), da in derRegel sehr ähnlich (Sinn der OLS)

• Wenn die Prädiktoren untereinander korreliert sind, dann können die bi auch als Regressionsgewichte zweier Residualvariablen aufgefasst werden.

  ◦ Der Prädiktor Xi wird um Abhängigkeiten aller anderen Prädiktoren Xj≠i bereinigt.

◦ Das Kriterium Y wird um Abhängigkeiten aller anderen Prädiktoren Xj≠i bereinigt.

• Die Regressionsgewichte sind ähnlich wie die Partialkorrelation zu interpretieren und werden als Partialregressionsgewichte bezeichnet.

Durch Einsatz in die Regressionsgleichung können neue Werte für das Kriterium vorhergesagt werden (Prognose).

Beispiel: Prognose von Berufserfolg anhand von Informationen aus einer Eignungsuntersuchung

In der Psychologie ist man häufig an der Erklärung individueller Unterschiede in der Ausprägung des Kriteriums interessiert.

Beispiel: Warum sich Personen im Persönlichkeitsmerkmal Extraversion unterschieden lässt sich durch verschiedene Umwelt- und genetische Einflüsse erklären.

Prognose setzt nicht voraus, dass die Prädiktoren Ursache für das Kriterium sind! à Auch wenn Einfluss gefunden wird, kein Kausalzusammenhang/ alleiniger Einfluss notwendig

Beispiel: Das Wohlbefinden eines Zwillings kann durch das Wohlbefinden des anderen Zwillings vorhergesagt werden (Prognose). Eine Erklärungen ist schwieriger, da sowohl Umweltfaktoren (z.B. Familienmitglieder haben gelernt ähnlich mit Gefühlen umzugehen) wie auch erbliche Faktoren eine Rolle spielen könnten.

Kausalinterpretation erfordert: zeitliche Abfolge (Kriterium-Prädiktor), keine Alternativerklärungen

◦ eine zeitliche Abfolge: das Kriterium muss den Prädiktoren zeitlich vorgelagert sein

◦ keine Alternativerklärungen: es dürfen Drittvariablen ignoriert werden, die den Zusammenhang mitbestimmen könnten.

Ziel: Prädiktoren sollen so gewichtet werden, dass gewichtete additive Verknüpfung (=Linearkombination) den Kriteriumswerten „möglichst nahe kommt“: Regressionsgewichte werden so bestimmt, dass die quadrierten Residuen minimiert werden (OLS-Schätzungen)

Voraussetzung für Bestimmung:

o Prädiktorenmatrix X hat den vollen Rang, d.h. keine perfekte Multikollinearität o Notwendig: Zahl der Personen n > Zahl der Variablen m

Für inferenzstatistischen Tests müssen in der Population die folgenden Annahmen / Voraussetzungen gelten:

1. Die AV ist kontinuierlich (metrisch)àmindestens Intervallskalenniveau (Alternative: verallgemeinertes lineares Modell)

1. Alle Variablen müssen eine Varianz größer als 0 aufweisen (keine Konstanten - sonst besteht kein Unterschied und es können entsprechend keine Linearen modell geschätzt werden)

2. Für alle Personen gilt die gleiche lineare Regressionsgleichung (Linearität)

3. Kriteriumswerte (bzw. Residuen) sind statistisch unabhängig voneinander (Alternative: hierarchische lineare Regression)

4. Für jede Kombination von Prädiktorwerten weisen die Residuen...

   1. Den Erwartungswert 0 auf

   2. Die gleiche Varianz auf (Varianzhomogenität = Homoskedastizität)

5. Für jede Kombination von Prädiktorwerten weisen die Residuen eine Normalverteilung auf

6. Wünschenswert (und für einige Tests erforderlich) ist, dass sich die Kriteriumsvariable und alle Prädiktoren multivariat normalverteilen (d.h. jede Variable und jede Linearkombination

   von Variablen normalverteilt ist)

• Aus der Regressionsgleichung

"Stückzahl" = 1531.3 - 66.2·"Preis" + 0.4·"Werbung" + 4.6·"Zahl Vertreterbesuche" + Fehler kann man schließen

• Werbung und Vertreterbesuche wirken sich förderlich auf die Zahl der verkauften Einheiten aus, ein hoher Preis hinderlich.

• dassz.B.fürdiefolgendenWerteeinerweiterenRegionvorhergesagtwerdenkann: "Geschätzte Stückzahl" = 1531.3 - 66.2·9.90 + 0.4·800 + 4.6·95 = 1632.9

• dass vorhergesagt wird, dass 10 weitere Vertreterbesuche den Verkauf um 46 Stück erhöhen (was bei einem Preis von z.B. 10 € den Umsatz um 460 € erhöhen würde).

  • Hingegen kann man nicht auf die relative Wichtigkeit der Prädiktoren schließen: die b-Gewichte hängen vom Maßstab der Prädiktoren ab!

  Beispiel: Eine Angabe des Prädiktors "Preis" in Cent statt Euro führt zu einem Gewicht von b1/100.
  • Um dies zu können, muss man die Variablen vorher standardisieren und erhält dann die

  -Gewichte: (Preis) = -0.35, (Werbung) = 0.77, (Vertreterbesuche) = 0.22