Photonik TU 2019
Sinnvolle Dinge die bei der mündlichen Prüfung verinnerlicht sein sollen!
Sinnvolle Dinge die bei der mündlichen Prüfung verinnerlicht sein sollen!
Fachterminus für die Anregung eines Elektrons in das Leitungsband
Elektron-Loch-Generation
Im Gegensatz zur Rekombination
Definition Direkter Halbleiter
Wenn das energetische Minimum des Leitungsbandes direkt über dem energetischen Maximum des Valenzbandes liegt.
Übergangsenergie E=hbar*omega
\(\displaystyle \hbar \omega = \left( E_c + \frac{\hbar^2k^2}{2m_c} \right) - \left( E_v + \frac{\hbar^2k^2}{2m_v} \right) = \\ \displaystyle = E_g + \frac{\hbar^2k^2}{2m_r}\\ . \\ mit \qquad E_g = E_c-E_v\qquad \frac 1 {m_r} = \frac 1 {m_c} + \frac 1 {m_v} \)
wobei Delta k = 0 gelten muss, also dass das Elektron im direkt über dem Loch des Valenzbandes liegt.
Fermi-Faktor
Der Fermifaktor kommt aus der Überlegung, dass ein Übergänge statistisch berechenbar sind.
f_c(E_b) ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Leitungsband bei Energieniveau E_b mit einem Elektron besetzt ist.
1-f_v(E_a) ist dementsprechend die Gegenwahrscheinlichkeit im Valenzband. Also die Wahrscheinlichkeit bei dem Energieniveau E_a ein Loch vorzufinden.
Für die Absorption (Elektron-Loch-Generation) und die Emission (Rekombination) ergibt sich das zu:
\(f_{abs} = f_v(E_a)[1-f_c(E_b)] \\ f_{em} = f_c(E_b)[1-f_v(E_a)]\\. \\ \text{FermiFaktor} =f_{em} - f_{abs} = f_c(E_b)- f_v(E_a)\)
Goldene Regel von Fermi im HL
Auch hier kann Absorption eines Photons nur stattfinden, wenn der Energieunterschied mit der Wellenlänge des Photons übereinstimmt.
\(\hbar \omega = E_b - E_a\)
Verstärkerbedingung
\(E_g \prec \hbar \omega \prec E_{F,c}-E_{F,v}\)
Die Lage der QFN hängt von der Ladungsträgerdichte und der Temperatur ab.
In der Abbildung sieht man den Spektralen Verlauf des Gewinnkoeffizienten bei Raumtemperatur für verschiedene Ladungsträgerdichten n_e (GaAs-HL)
Photonen-Ratengleichung bei 4NS
\(\displaystyle \frac{\mathrm d q}{\mathrm d t} = q \left( \sigma c \frac{N_2} V - \frac 1 {\tau_{res}} \right)\)
tau_res ist die Resonatorlebensdauer. Sie setzt sich zusammen aus den "nützlichen" Auskoppelverlusten und verschiedenen inneren Verlusten.
Von 2NS zu dessen Intensitätsverlauf
Grundsätzlich ist folgendes auch für 3- oder 4NS gültig, solange die N's angepasst werden.
\(\displaystyle \frac {\mathrm d \rho_{ph}} {\mathrm d t} = -N_1 W_{12} + N_2 W_{21} = (N_2 - N_1) W \\ . \\ mit \quad F = c\rho_{ph} \quad \mathrm d z = c \mathrm d t \quad W = \sigma F \\ . \\ \displaystyle \frac {\mathrm d F} {\mathrm d z} = (N_2 - N_1) \sigma F \\ \displaystyle \frac {\mathrm d F} F = \frac {\mathrm d I} I = (N_2 - N_1 ) \sigma \mathrm \; d z \qquad \\ . \\ \displaystyle \frac {F(z)} {F(0)} = \frac {I(z)} {I(0)} =e^{ (N_2 - N_1 ) \sigma z}\)
Beschreibe diesen Verlauf der Inversion und was man sonst noch so sieht
Wenn die kritische Pumprate W_p,c erreicht wird, ist einerseits die maximale Inversion erreicht mit N_2,c. Andererseits beginnt ab hier auch die im Resonator stationät bleibende Photonenzahl q_0 an zu wachsen. Diese ist proportional zur Leistung P_out die als Laser ausgekoppelt wird.
Leerlauf-Inversion bei 4NLaser (auch für 3N-System)
\(N_{2,0} = NW\tau_2 \\ \gamma_0 = N_{2,0} \sigma\)
Bei Abwesenheit von stimmulierenden Photonen, wird die Anzahl der im Energieniveau E_2 befindlichen Atome nur von deren Lebensdauer tau_2 bestimmt.
Dies führt zu dem oben angeführten Leerlauf-Gewinnkoeffizienten gamma_0 (Nur 4NS)
Verteilte Verlustkoeffizienten alpha_1,2,i und Kritischer Gewinnkoeffizient gamma_c und nützliche Auskopplung
Bei einem Umlauf von z = 2d setzt sich der Gesamtverlustkoeffizient alpha_res zusammen aus
\(\displaystyle \alpha_{1,2} = - \frac{\ln(1-T_{1,2})}{2d} \\ \displaystyle \alpha_{i} = - \frac{\ln(1-a_{i})}{d} \\ \alpha_{res} = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_i \\. \\ \displaystyle \frac {\mathrm d F} {F} =\frac {\mathrm d q} q = - \alpha_{res} \mathrm d z \\ .\\ \tau_{res} = \frac 1 {c \alpha_{res}}\)
Wobei einer der Spiegel (hier Spiegel 2 angenommen) meist zur Auskopplung des Lasers verwendet wird. Somit ist alpha_2 auch der Auskoppelkoeffizient.
Erst wenn sich die Verluste im Resonator mit dessen Gewinn kompensieren (gamma = alpha_res), gelangt man in einen stationären Zustand des Oszillators. (er schwingt an) Den dazu benötigten Gewinnkoeffizienten gamma = alpha_res nennt man auch kritischen Gewinnkoeffizienten gamma_c
N_2,c Berechnung (4NS)
Über die stationäre Ratengleichung der Photonen folgt, solange q >0 ist
\(\displaystyle \frac {\mathrm d q}{\mathrm dt} = q\left( \sigma c \frac{N_2} V - \frac 1 {\tau_{res}} \right) \qquad \tau_{res} = \frac 1 {c \alpha_{res}}\\ N_{2,c} = \displaystyle \frac{\alpha_{res} V} \sigma\)
Übergangswahrscheinlichkeit aus Photonenzahl/Photonendichte
\(W = \sigma c \rho_{ph} = \sigma c \frac q V\)
in Teilchen/Sekunde
kritische Pumprate W_p,c
Hierbei können N_2,c und N die Teilchen oder deren Dichten darstellen.
\(\displaystyle W_{p,c} = \frac {N_2,c}{N \tau_2} = \frac 1 {\sigma c N \tau_{res}\tau_{2}}\)
Stationäre Photonenzahl q_0
\(q_0 = (W_p - W_{p,c})NV\tau_{res}\)
Erst über der kritischen Pumprate bleiben im stationären Betrieb Photonen im Resonator, welche natürlich von der Resonatorlebensdauer abhängen.
Ausgangsleistung P_out des Resonators aufgrund Auskopplung bei Spiegel 2
\(P_{out} = q_0 c \alpha_{2} \hbar\omega\)
Sättigungsintensität und deren Einheit
\(I_s = \displaystyle \frac {\hbar \omega}{\sigma \tau_2} \\ [I_s] = \displaystyle \frac {J}{m^2 s} = \frac {W}{m^2 } \)
Pumpverhältnis p
Wird verwendet um P_out einfacher darzustellen.
\(\displaystyle p = \frac {W_p}{W_{p,c}} \qquad W_{p,c} = \frac 1 {\sigma c N \tau_{res} \tau_2}\\ .\\ P_{out} = (p - 1) \displaystyle \frac {\hbar \omega V \alpha_2} {\sigma \tau_2}\)
Differentieller Wirkungsgrad \(\eta_p \)
\(\eta_p = \displaystyle \displaystyle \frac {W_pN V_p \hbar \omega_p} {P_{p}} \)
Die Leistung die von den angeregten Photonen erbracht wird, durch die Leistung die zum pumpen benötigt wird.
Wie kommt man zum effizientesten Betriebszustand?
Über die Bedingung
\(\displaystyle \frac {\mathrm d P_{out}}{\mathrm d \alpha_2} = 0 \\.\\ \alpha_{2opt} = \sqrt{\gamma_0\alpha_i}- \alpha _i\)
gelangt man zum optimalen Auskoppelkoeffizienten
In der Photonik betrachteter Wellenlängen Bereich
einige µm bis 100nm, von Infrarot bis Ultraviolett
Dies ist der Bereich typischer atomarer Anregungsenergien und Austrittsarbeiten.
Die Suszeptibilität \(\chi\) [chi]
Sie ist die fundamentale Beziehung zwischen Feld und Materie
\(\vec{D} = \varepsilon_0(I+\tilde\chi) \vec{E} \qquad \vec{P} = \varepsilon_0 \tilde\chi \vec{E}\\ \tilde\varepsilon_r = I+\tilde\chi \\ \varepsilon_r = 1 + \chi\)
Die Polarisation P ist nicht instantan, daher ist chi frequenzabhängig.
Außerdem ist P und E nicht immer parallel -> chi im allgemeinen ein Tensor 2.Stufe
Vorallem bei hohen Feldern merkt man dann, dass chi auch Feldabhängig ist.
Außerdem hängt P nicht nur von der lokalen sondern auch vom umliegenden Feld ab.
im
Von Maxwell-Gleichungen zu Wellengleichung
Man beginnt mit dem Induktionsgesetz und dem Ampere-Maxwell-Satz im ladungs- und stromfreien Feldgebiet.
\(\nabla \times E = - \partial_t \mu_0H \\ \nabla \times H = \partial_t D\\ \nabla \times (\nabla \times E) = -\partial_t^2\mu_0D \\ \nabla(\nabla \cdot E) -\nabla^2E = -\displaystyle \frac{\varepsilon_r}{c_0^2}\partial^2_t E\)
Helmholz Darstellung der Wellengleichung
Wenn man die einfache Wellengleichung in den Frequenzbereich bringt.
\(\nabla^2 \tilde E(\vec x,\omega) + \displaystyle \frac{\omega^2 \varepsilon_r}{c_0^2} \tilde E( \vec x , \omega) = 0\)
Von Frequenzbereich in den Zeitbereich (von E)
\(E(\vec x, t) = Re[\tilde E(\vec x , t )] \\ \tilde E (\vec x , t) = \tilde E(\vec k , \omega) \; e^{-j(\vec k \cdot \vec x - \omega t)}\)
\vec{k} und \omega sind von einander abhängig
\(| \vec k | = k \qquad k^2 = \frac{\omega^2 \varepsilon_r }{c_0^2} \\ k_0 = \frac{\omega}{c_0}\)
Phasengeschwindigkeit von ebenen Wellen bestimmen
Die Ebenen konstanter Phase bewegen sich mit der Phasengeschwindigkeit in Richtung des Wellenvektors \vec{k}.
Nach der Ableitung kann die Phasengeschwindigkeit ermittelt werden.
\(\vec k \cdot \vec x - \omega t = const \\ \vec k \cdot \partial_t \vec x - \omega = 0 \\ v_{ph} = |\partial_t \vec x| = \frac{\omega}{k} = \frac{c_0}{n}\)
wobei n den Brechungsindex angibt.
Der Brechungsindex n
Über die Phasengeschwindigkeit oder die relative Permitivität berechenbar.
\(v_{ph} = \displaystyle \frac{c_0}{n} \qquad n = \sqrt{\varepsilon_r} \\ \displaystyle n = \frac{k c_0}{\omega}\)
Gruppengeschwindigkeit
Am einfachsten anschaulich gemacht durch Überlagerung zweier kolinerarer harmonischer Wellen.
\(E(z,t) = Re\left[E_0 (e^{-j[(k^0 + \Delta k)z-(\omega_0 + \Delta\omega)t]} + e^{-j[(k^0 - \Delta k)z-(\omega_0 - \Delta\omega)t]})\right] = \\ = 2 E_0 \cos\left( z \Delta k - t \Delta \omega \right) \cos\left( \omega_0 t - k^0 z \right)\)
hier wurde k^0 anstatt k_0 benutzt um die ursprüngliche Kreiswellenzahl anzugeben da k_0 oft die Kreiswellenzwhl im Vakuum angibt...
Im zweiten Cosinusterm sieht man, dass sich die Phasenfronten weiterhin mit der Phasengeschwindigkeit ausbreiten.
Der erste Term zeigt die Einhüllende. Durch Ableitung des Arguments des Cosinus gelangen wir zu deren Ausbreitungsgeschwindigkeit.
\(z\Delta k - t \Delta \omega = const \\ \partial_t z = \frac{\Delta \omega}{\Delta k} = v_{g} \\ \; \\ k = \frac{n \omega}{c_0} \\ \displaystyle \frac{1}{v_g} = \frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}\omega} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \omega}\left( \frac{n \omega}{c_0} \right) = \frac{1}{c_0}\left( n + \omega \frac{\mathrm{d} n }{\mathrm{d} \omega} \right)\)
Gruppengeschwindigkeit nur Formel
\(v_g = \displaystyle \frac{c_0}{n + \omega(\mathrm{d}n/\mathrm{d} \omega)} = \frac{c_0}{n - \lambda_0(\mathrm{d}n/\mathrm{d} \lambda_0)} \\ \mathrm{d} \omega/ \omega = - \mathrm{d} \lambda_0 / \lambda_0\)
Wichtige Geschwindigkeit bei Interferenzphänomänen
Bei Lichtimpulsen bewegt sich die Phasenfront mit der Phasengeschwindigkeit der Trägerfrequenz fort.
Daher ist bei Interferenzphänomänen die Phasengeschwindigkeit maßgeblich!
Polarisationszustände des Lichts
Die Lage der Feldvektoren im Raum gibt den Polarisationszustand an.
Bei Planwellen liegt der Feldstärkevektor E in einer zu dem Wellenvektor k senkrechten Ebene.
Im allgemeinen Fall rotiert E mit der Periodendauer T = 2pi/ \omega und beschreibt dabei eine Ellipse.
bei Ausbreitung in z-Richtung:
\(E_x(z,t) = E_{0,x} \cos(\omega t -kz) \\ E_y(z,t) = E_{0,y} \cos(\omega t -kz + \Delta \phi)\)
Zwei Spezialfälle: lineare Polarisierung (DeltaPhi = 0), zirkulare Polarisierung (DeltaPhi = +- pi/2[+r,-l])
Räumlich gesehen entsteht eine Helix derern Ganghöhe lambda = 2pi/k beträgt.
(isotropische Medien Vorrausgesetzt)
JONES-Formalismus
Mithilfe des Jones-Vektors J lassen sich Polarisationszustände einfacher angeben. Dieser ist meist auf 1 normiert.
\(\text{linear} \qquad \left[\begin{array}{c} \cos\varphi \\ \sin \varphi \end{array}\right] \\ \text{rechts zirkular }\sigma^+ \qquad \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\begin{array}{c} 1 \\ j \end{array}\right]\\ \text{links zirkular }\sigma^- \qquad \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\begin{array}{c} 1 \\-j \end{array}\right]\\ \text{allgemein} \qquad \left[\begin{array}{c} \cos \alpha \\ \sin( \alpha) e^{j \Delta \varphi} \end{array}\right] \\ \alpha = \arctan \left( \frac{E_{0,y}}{E_{0,x}} \right)\)
wobei phi der Winkel zur x-Achse ist.
Ebene Welle an Grenzfläche
Trifft eine ebene Welle auf ein medium, kann durch Aufspaltung der Wellengleichung ihr Verhalten beschrieben werden.
\(\displaystyle \nabla^2E - \varepsilon_0 \mu_0 \partial^2_tE = \mu _0 \partial^2_tP\)
Die rechte Seite kann als Quellterm im Medium betrachtet werden. Die Abstrahlung erfolgt in Vorwärtsrichtung (Transmission) und in Rückwärtsrichtung (Reflexion).
Die Transmittierte Welle hat die Phasengeschwindigkeit c_0/n.
Übergang von optisch dünner zu optisch dichter n_i < n_t
Brechung zum Lot.
Es gilt die Dispersionsrelation und das daraus folgende Reflexionsgesetz und das nach Snelliu benannte Brechungsgesetz.
\(|k^{i,r,t}| = n_{i,r,t}k_0 \\ n_i \sin \theta^i = n_i \sin \theta^r = n_t \sin\theta^t \\ \theta ^r= \theta^i\)
Übergang von optisch dichter zu optisch dünner n_i > n_t
Brechung vom Lot. Falls die Tangentialkomponente (TK) der transmittierten Welle größer als die TK der einfallenden/reflektierten werden würde, kommt es zur Totalreflexion.
\(|\vec k _{t}| = n_ik_0 \sin\theta^i \succ n_tk_0 \\ \theta^i \succ\theta_{crit} = \arcsin\frac{n_t}{n_i}\)
pi-polarisierte Felder
TM-polarisiert
sigma-polarisiertes Feld
TE-polarisiert
Reflexionskoeffizient und Transmissionskoeffizient
Verhältnis vom reflektierten/transmittierten Feld zum einfallenden.
\(\displaystyle r = \frac{H_r}{H_i} \qquad t = \frac{H_t}{H_i}\)
Es entstehen unterschiedliche Ausdrücke für den TE bzw TM Fall!
Reflektivität und Transmittivität
Die Reflektivität bzw Transmittivität gibt an, wieviel % der Leistung reflektiert bzw transmittiert wird. Zur Berechnung benötigt man die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten.
Sie müssen sich zu 1 ergänzen.
R + T = 1
Brewsterwinkel
Unterhalb des Brewsterwinkels gibt es im pi-polarisiertem Fall (TM) keine Reflexion.
\(\theta^i \leq \theta^{i,B} = \arctan \frac{n_t}{n_i}\)
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Lernkarten
Stationäres N_2 bei 4NS bei fehlender Stimmulation
\(\displaystyle \frac{\mathrm d N_2}{\mathrm d t} = 0 = W_pN_g-\frac {N_2}{\tau_2}\\ N_{2,0} = W_p N_g \tau_2\)
Wobei in 1/tau_2 auch andere nichtstrahlende Übergänge inkludiert sind...
mit N_g = N - N_2 (weil die Besetzung aller anderen Zustände Verschwindend ist)
Sättigungsintensität für 4NS
Sättigungsintensität ist jene Intensität, bei der die stimmulierte Emissionsrate gleich der spontanen/nichtstrahlenden Deexiziationsrate ist.
\(\displaystyle I_s = \frac{\hbar \omega}{\sigma \tau_2}\)
Besetzungsdichte N_2 mit stationärer Besetzungsdichte im unstimmulierten System in Abhängigkeit zur Intesität
\(\displaystyle N_2 \approx N_{2,0} \frac 1 {1+ I/I_s} \\ \displaystyle I_s = \frac{\hbar \omega}{\sigma \tau_2}\)
Verstärkungskoeffizient gamma bzw Gewinnkoeffizient gamma
\(\displaystyle \frac {I(z)} {I(0)} =e^{ N_2 \sigma z} \\ \gamma_0 = N_{2,0} \sigma \\ \displaystyle \gamma(I) = \gamma_0 \frac 1 {1+ I/I_s}\)
gamma_0 ist der Leerlauf- bzw Kleinsignal-Gewinnkoeffizient
Sättigungsintensität 2NS
Sättigungsintensität ist jene Intensität, bei der die stimmulierte Emissionsrate gleich der spontanen/nichtstrahlenden Deexiziationsrate ist.
\(\displaystyle I_s = \frac{\hbar \omega}{2\sigma \tau_{sp}}\)
Sie ist im Gegensatz zum 4NS um den Faktor 2 kleiner. Das liegt daran, dass sich jeder Übergang auf beide Zustände auswirkt!
Wozu werden Optische Verstärker benötigt?
Bei der direkten Verstärkung optischer Signale in der optischen Nachrichtentechnik.
Sie sind aber auch die Grundlage optischer Oszillatoren.
Energie eines Elektrons an der Stelle k =m_i * 2 pi / d_i
und Zustandsdichte dort.
\(E(k) = E_c + \displaystyle \frac {\hbar ^2 k^2}{2 m_c} \\ E(k) = E_v - \displaystyle \frac {\hbar ^2 k^2}{2 m_v} \\ \displaystyle \rho_B (k) = \frac {k^2}{\pi ^2}\)
Zustandsdichte im Leitungsband als Funktion der Energie
.
Wie können die Elektronen ihren Zustand innerhalb eines Bandes ändern?
Durch Wechselwirkungen mit Kristallgitterschwingungen(Phononen). Dabei Ändert sich ihre Energie E und ihr Wellenvektor k.
Fermi Dirac Verteilung
Das ist die Gleichgewichtsverteilung, welche die Besetzungswahrscheinlichkeit eines Elektrons mit der Energie E bei der Temperatur T und dem Fermi-Niveau E_F angibt.
\(f(E) = \displaystyle \frac 1 {e^{(E-E_F)/(k_B T)}+1} \)
Normalerweise sollte demnach das Leitungsband (E-E_F) > 0 eher unbesetzt sein und das Valenzband (E-E_F) < 0 recht voll sein.
Möglichkeiten wie Elektronen in das Leitungsband gelangen
Durch Ladungsträgerinjektion oder optische Anregung.
Dort angekommen können sie Intrabandübergänge (Zustandswechsel innerhalb des Bandes) und Interbandübergänge (in einen Zustand eines anderen Bandes --> Rekombination) machen.
Was ist Rekombination
Der Übergang von einem Elektron im Leitungsband in das Valenzband.
Diese Übergänge erfolgen statistisch mit einer Rate von 1/tau_rec. Wobei tau_rec als Rekombinationszeit bezeichnet wird.
Typische Zeiten für Intra- und Interbandübergänge
Intrabandübergänge (ps) sind wesentlich schneller als Interbandübergänge (ns), sodass sich zwischen den Interbandübergängen immer bereits ein Quasi-Gleichgewicht eingestellt hat.
Quasi-Fermi-Niveaus E_F,v und E_F,c
Sobald sich Elektronen im Leitungsband befinden wird die Besetzungswahrscheinlichkeit ein bisschen individuell angepasst indem für das Valenz und das Leitungsband eigene Quasi-Fermi-Niveaus (QFN) verwendet werden.
\(f_v(E) = \displaystyle \frac 1 {e^{(E-E_{F,v})/(k_B T)}+1} \\ f_c(E) = \displaystyle \frac 1 {e^{(E-E_{F,c})/(k_B T)}+1} \)
Die Lage der QFNs hängt von der Dichte der angeregten Elektronen n_e und der Temperatur T ab. Sodass für E_F,c diese Gleichung erfüllt sein muss.
\(n_e = \displaystyle \int_{E_c}^\infty \rho_c(E) \frac 1 {e^{(E-E_{F,c})/(k_B T)}+1} \mathrm d E\)
Die Dichte n_e muss demnach unter dem QFN Platz finden.
Für das Valenzband gilt ähnliches, hier geht es aber um die freien Plätze der Löcher n_h
Dotierung in Halbleitern
n-Dotiert: zusätzliche Elektronen; Ferminiveau wird nach oben verschoben (bei hoher Dotierung in das LB hinein)
p-Dotiert: zusätzliche Löcher im Valenzband; FN wird nach unten verschoben.
undotiert: intrinsischer Halbleiter. Dichte der Löcher im Valenzband ist gleich der Dichte der Elektronen im Leitungsband;
FN liegt ungefähr in der Mitte zwischen Leitungs- und Valenzband
Fachterminus für die Anregung eines Elektrons in das Leitungsband
Elektron-Loch-Generation
Im Gegensatz zur Rekombination
Definition Direkter Halbleiter
Wenn das energetische Minimum des Leitungsbandes direkt über dem energetischen Maximum des Valenzbandes liegt.
Übergangsenergie E=hbar*omega
\(\displaystyle \hbar \omega = \left( E_c + \frac{\hbar^2k^2}{2m_c} \right) - \left( E_v + \frac{\hbar^2k^2}{2m_v} \right) = \\ \displaystyle = E_g + \frac{\hbar^2k^2}{2m_r}\\ . \\ mit \qquad E_g = E_c-E_v\qquad \frac 1 {m_r} = \frac 1 {m_c} + \frac 1 {m_v} \)
wobei Delta k = 0 gelten muss, also dass das Elektron im direkt über dem Loch des Valenzbandes liegt.
Fermi-Faktor
Der Fermifaktor kommt aus der Überlegung, dass ein Übergänge statistisch berechenbar sind.
f_c(E_b) ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Leitungsband bei Energieniveau E_b mit einem Elektron besetzt ist.
1-f_v(E_a) ist dementsprechend die Gegenwahrscheinlichkeit im Valenzband. Also die Wahrscheinlichkeit bei dem Energieniveau E_a ein Loch vorzufinden.
Für die Absorption (Elektron-Loch-Generation) und die Emission (Rekombination) ergibt sich das zu:
\(f_{abs} = f_v(E_a)[1-f_c(E_b)] \\ f_{em} = f_c(E_b)[1-f_v(E_a)]\\. \\ \text{FermiFaktor} =f_{em} - f_{abs} = f_c(E_b)- f_v(E_a)\)
Goldene Regel von Fermi im HL
Auch hier kann Absorption eines Photons nur stattfinden, wenn der Energieunterschied mit der Wellenlänge des Photons übereinstimmt.
\(\hbar \omega = E_b - E_a\)
Verstärkerbedingung
\(E_g \prec \hbar \omega \prec E_{F,c}-E_{F,v}\)
Die Lage der QFN hängt von der Ladungsträgerdichte und der Temperatur ab.
In der Abbildung sieht man den Spektralen Verlauf des Gewinnkoeffizienten bei Raumtemperatur für verschiedene Ladungsträgerdichten n_e (GaAs-HL)
Photonen-Ratengleichung bei 4NS
\(\displaystyle \frac{\mathrm d q}{\mathrm d t} = q \left( \sigma c \frac{N_2} V - \frac 1 {\tau_{res}} \right)\)
tau_res ist die Resonatorlebensdauer. Sie setzt sich zusammen aus den "nützlichen" Auskoppelverlusten und verschiedenen inneren Verlusten.
Von 2NS zu dessen Intensitätsverlauf
Grundsätzlich ist folgendes auch für 3- oder 4NS gültig, solange die N's angepasst werden.
\(\displaystyle \frac {\mathrm d \rho_{ph}} {\mathrm d t} = -N_1 W_{12} + N_2 W_{21} = (N_2 - N_1) W \\ . \\ mit \quad F = c\rho_{ph} \quad \mathrm d z = c \mathrm d t \quad W = \sigma F \\ . \\ \displaystyle \frac {\mathrm d F} {\mathrm d z} = (N_2 - N_1) \sigma F \\ \displaystyle \frac {\mathrm d F} F = \frac {\mathrm d I} I = (N_2 - N_1 ) \sigma \mathrm \; d z \qquad \\ . \\ \displaystyle \frac {F(z)} {F(0)} = \frac {I(z)} {I(0)} =e^{ (N_2 - N_1 ) \sigma z}\)
Beschreibe diesen Verlauf der Inversion und was man sonst noch so sieht
Wenn die kritische Pumprate W_p,c erreicht wird, ist einerseits die maximale Inversion erreicht mit N_2,c. Andererseits beginnt ab hier auch die im Resonator stationät bleibende Photonenzahl q_0 an zu wachsen. Diese ist proportional zur Leistung P_out die als Laser ausgekoppelt wird.
Leerlauf-Inversion bei 4NLaser (auch für 3N-System)
\(N_{2,0} = NW\tau_2 \\ \gamma_0 = N_{2,0} \sigma\)
Bei Abwesenheit von stimmulierenden Photonen, wird die Anzahl der im Energieniveau E_2 befindlichen Atome nur von deren Lebensdauer tau_2 bestimmt.
Dies führt zu dem oben angeführten Leerlauf-Gewinnkoeffizienten gamma_0 (Nur 4NS)
Verteilte Verlustkoeffizienten alpha_1,2,i und Kritischer Gewinnkoeffizient gamma_c und nützliche Auskopplung
Bei einem Umlauf von z = 2d setzt sich der Gesamtverlustkoeffizient alpha_res zusammen aus
\(\displaystyle \alpha_{1,2} = - \frac{\ln(1-T_{1,2})}{2d} \\ \displaystyle \alpha_{i} = - \frac{\ln(1-a_{i})}{d} \\ \alpha_{res} = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_i \\. \\ \displaystyle \frac {\mathrm d F} {F} =\frac {\mathrm d q} q = - \alpha_{res} \mathrm d z \\ .\\ \tau_{res} = \frac 1 {c \alpha_{res}}\)
Wobei einer der Spiegel (hier Spiegel 2 angenommen) meist zur Auskopplung des Lasers verwendet wird. Somit ist alpha_2 auch der Auskoppelkoeffizient.
Erst wenn sich die Verluste im Resonator mit dessen Gewinn kompensieren (gamma = alpha_res), gelangt man in einen stationären Zustand des Oszillators. (er schwingt an) Den dazu benötigten Gewinnkoeffizienten gamma = alpha_res nennt man auch kritischen Gewinnkoeffizienten gamma_c
N_2,c Berechnung (4NS)
Über die stationäre Ratengleichung der Photonen folgt, solange q >0 ist
\(\displaystyle \frac {\mathrm d q}{\mathrm dt} = q\left( \sigma c \frac{N_2} V - \frac 1 {\tau_{res}} \right) \qquad \tau_{res} = \frac 1 {c \alpha_{res}}\\ N_{2,c} = \displaystyle \frac{\alpha_{res} V} \sigma\)
Übergangswahrscheinlichkeit aus Photonenzahl/Photonendichte
\(W = \sigma c \rho_{ph} = \sigma c \frac q V\)
in Teilchen/Sekunde
kritische Pumprate W_p,c
Hierbei können N_2,c und N die Teilchen oder deren Dichten darstellen.
\(\displaystyle W_{p,c} = \frac {N_2,c}{N \tau_2} = \frac 1 {\sigma c N \tau_{res}\tau_{2}}\)
Stationäre Photonenzahl q_0
\(q_0 = (W_p - W_{p,c})NV\tau_{res}\)
Erst über der kritischen Pumprate bleiben im stationären Betrieb Photonen im Resonator, welche natürlich von der Resonatorlebensdauer abhängen.
Ausgangsleistung P_out des Resonators aufgrund Auskopplung bei Spiegel 2
\(P_{out} = q_0 c \alpha_{2} \hbar\omega\)
Sättigungsintensität und deren Einheit
\(I_s = \displaystyle \frac {\hbar \omega}{\sigma \tau_2} \\ [I_s] = \displaystyle \frac {J}{m^2 s} = \frac {W}{m^2 } \)
Pumpverhältnis p
Wird verwendet um P_out einfacher darzustellen.
\(\displaystyle p = \frac {W_p}{W_{p,c}} \qquad W_{p,c} = \frac 1 {\sigma c N \tau_{res} \tau_2}\\ .\\ P_{out} = (p - 1) \displaystyle \frac {\hbar \omega V \alpha_2} {\sigma \tau_2}\)
Differentieller Wirkungsgrad \(\eta_p \)
\(\eta_p = \displaystyle \displaystyle \frac {W_pN V_p \hbar \omega_p} {P_{p}} \)
Die Leistung die von den angeregten Photonen erbracht wird, durch die Leistung die zum pumpen benötigt wird.
Wie kommt man zum effizientesten Betriebszustand?
Über die Bedingung
\(\displaystyle \frac {\mathrm d P_{out}}{\mathrm d \alpha_2} = 0 \\.\\ \alpha_{2opt} = \sqrt{\gamma_0\alpha_i}- \alpha _i\)
gelangt man zum optimalen Auskoppelkoeffizienten
