Photonik TU 2019
Sinnvolle Dinge die bei der mündlichen Prüfung verinnerlicht sein sollen!
Sinnvolle Dinge die bei der mündlichen Prüfung verinnerlicht sein sollen!
Fachterminus für die Anregung eines Elektrons in das Leitungsband
Elektron-Loch-Generation
Im Gegensatz zur Rekombination
Definition Direkter Halbleiter
Wenn das energetische Minimum des Leitungsbandes direkt über dem energetischen Maximum des Valenzbandes liegt.
Übergangsenergie E=hbar*omega
\(\displaystyle \hbar \omega = \left( E_c + \frac{\hbar^2k^2}{2m_c} \right) - \left( E_v + \frac{\hbar^2k^2}{2m_v} \right) = \\ \displaystyle = E_g + \frac{\hbar^2k^2}{2m_r}\\ . \\ mit \qquad E_g = E_c-E_v\qquad \frac 1 {m_r} = \frac 1 {m_c} + \frac 1 {m_v} \)
wobei Delta k = 0 gelten muss, also dass das Elektron im direkt über dem Loch des Valenzbandes liegt.
Fermi-Faktor
Der Fermifaktor kommt aus der Überlegung, dass ein Übergänge statistisch berechenbar sind.
f_c(E_b) ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Leitungsband bei Energieniveau E_b mit einem Elektron besetzt ist.
1-f_v(E_a) ist dementsprechend die Gegenwahrscheinlichkeit im Valenzband. Also die Wahrscheinlichkeit bei dem Energieniveau E_a ein Loch vorzufinden.
Für die Absorption (Elektron-Loch-Generation) und die Emission (Rekombination) ergibt sich das zu:
\(f_{abs} = f_v(E_a)[1-f_c(E_b)] \\ f_{em} = f_c(E_b)[1-f_v(E_a)]\\. \\ \text{FermiFaktor} =f_{em} - f_{abs} = f_c(E_b)- f_v(E_a)\)
Goldene Regel von Fermi im HL
Auch hier kann Absorption eines Photons nur stattfinden, wenn der Energieunterschied mit der Wellenlänge des Photons übereinstimmt.
\(\hbar \omega = E_b - E_a\)
Verstärkerbedingung
\(E_g \prec \hbar \omega \prec E_{F,c}-E_{F,v}\)
Die Lage der QFN hängt von der Ladungsträgerdichte und der Temperatur ab.
In der Abbildung sieht man den Spektralen Verlauf des Gewinnkoeffizienten bei Raumtemperatur für verschiedene Ladungsträgerdichten n_e (GaAs-HL)
Photonen-Ratengleichung bei 4NS
\(\displaystyle \frac{\mathrm d q}{\mathrm d t} = q \left( \sigma c \frac{N_2} V - \frac 1 {\tau_{res}} \right)\)
tau_res ist die Resonatorlebensdauer. Sie setzt sich zusammen aus den "nützlichen" Auskoppelverlusten und verschiedenen inneren Verlusten.
Von 2NS zu dessen Intensitätsverlauf
Grundsätzlich ist folgendes auch für 3- oder 4NS gültig, solange die N's angepasst werden.
\(\displaystyle \frac {\mathrm d \rho_{ph}} {\mathrm d t} = -N_1 W_{12} + N_2 W_{21} = (N_2 - N_1) W \\ . \\ mit \quad F = c\rho_{ph} \quad \mathrm d z = c \mathrm d t \quad W = \sigma F \\ . \\ \displaystyle \frac {\mathrm d F} {\mathrm d z} = (N_2 - N_1) \sigma F \\ \displaystyle \frac {\mathrm d F} F = \frac {\mathrm d I} I = (N_2 - N_1 ) \sigma \mathrm \; d z \qquad \\ . \\ \displaystyle \frac {F(z)} {F(0)} = \frac {I(z)} {I(0)} =e^{ (N_2 - N_1 ) \sigma z}\)
Beschreibe diesen Verlauf der Inversion und was man sonst noch so sieht
Wenn die kritische Pumprate W_p,c erreicht wird, ist einerseits die maximale Inversion erreicht mit N_2,c. Andererseits beginnt ab hier auch die im Resonator stationät bleibende Photonenzahl q_0 an zu wachsen. Diese ist proportional zur Leistung P_out die als Laser ausgekoppelt wird.
Leerlauf-Inversion bei 4NLaser (auch für 3N-System)
\(N_{2,0} = NW\tau_2 \\ \gamma_0 = N_{2,0} \sigma\)
Bei Abwesenheit von stimmulierenden Photonen, wird die Anzahl der im Energieniveau E_2 befindlichen Atome nur von deren Lebensdauer tau_2 bestimmt.
Dies führt zu dem oben angeführten Leerlauf-Gewinnkoeffizienten gamma_0 (Nur 4NS)
Verteilte Verlustkoeffizienten alpha_1,2,i und Kritischer Gewinnkoeffizient gamma_c und nützliche Auskopplung
Bei einem Umlauf von z = 2d setzt sich der Gesamtverlustkoeffizient alpha_res zusammen aus
\(\displaystyle \alpha_{1,2} = - \frac{\ln(1-T_{1,2})}{2d} \\ \displaystyle \alpha_{i} = - \frac{\ln(1-a_{i})}{d} \\ \alpha_{res} = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_i \\. \\ \displaystyle \frac {\mathrm d F} {F} =\frac {\mathrm d q} q = - \alpha_{res} \mathrm d z \\ .\\ \tau_{res} = \frac 1 {c \alpha_{res}}\)
Wobei einer der Spiegel (hier Spiegel 2 angenommen) meist zur Auskopplung des Lasers verwendet wird. Somit ist alpha_2 auch der Auskoppelkoeffizient.
Erst wenn sich die Verluste im Resonator mit dessen Gewinn kompensieren (gamma = alpha_res), gelangt man in einen stationären Zustand des Oszillators. (er schwingt an) Den dazu benötigten Gewinnkoeffizienten gamma = alpha_res nennt man auch kritischen Gewinnkoeffizienten gamma_c
N_2,c Berechnung (4NS)
Über die stationäre Ratengleichung der Photonen folgt, solange q >0 ist
\(\displaystyle \frac {\mathrm d q}{\mathrm dt} = q\left( \sigma c \frac{N_2} V - \frac 1 {\tau_{res}} \right) \qquad \tau_{res} = \frac 1 {c \alpha_{res}}\\ N_{2,c} = \displaystyle \frac{\alpha_{res} V} \sigma\)
Übergangswahrscheinlichkeit aus Photonenzahl/Photonendichte
\(W = \sigma c \rho_{ph} = \sigma c \frac q V\)
in Teilchen/Sekunde
kritische Pumprate W_p,c
Hierbei können N_2,c und N die Teilchen oder deren Dichten darstellen.
\(\displaystyle W_{p,c} = \frac {N_2,c}{N \tau_2} = \frac 1 {\sigma c N \tau_{res}\tau_{2}}\)
Stationäre Photonenzahl q_0
\(q_0 = (W_p - W_{p,c})NV\tau_{res}\)
Erst über der kritischen Pumprate bleiben im stationären Betrieb Photonen im Resonator, welche natürlich von der Resonatorlebensdauer abhängen.
Ausgangsleistung P_out des Resonators aufgrund Auskopplung bei Spiegel 2
\(P_{out} = q_0 c \alpha_{2} \hbar\omega\)
Sättigungsintensität und deren Einheit
\(I_s = \displaystyle \frac {\hbar \omega}{\sigma \tau_2} \\ [I_s] = \displaystyle \frac {J}{m^2 s} = \frac {W}{m^2 } \)
Pumpverhältnis p
Wird verwendet um P_out einfacher darzustellen.
\(\displaystyle p = \frac {W_p}{W_{p,c}} \qquad W_{p,c} = \frac 1 {\sigma c N \tau_{res} \tau_2}\\ .\\ P_{out} = (p - 1) \displaystyle \frac {\hbar \omega V \alpha_2} {\sigma \tau_2}\)
Differentieller Wirkungsgrad \(\eta_p \)
\(\eta_p = \displaystyle \displaystyle \frac {W_pN V_p \hbar \omega_p} {P_{p}} \)
Die Leistung die von den angeregten Photonen erbracht wird, durch die Leistung die zum pumpen benötigt wird.
Wie kommt man zum effizientesten Betriebszustand?
Über die Bedingung
\(\displaystyle \frac {\mathrm d P_{out}}{\mathrm d \alpha_2} = 0 \\.\\ \alpha_{2opt} = \sqrt{\gamma_0\alpha_i}- \alpha _i\)
gelangt man zum optimalen Auskoppelkoeffizienten
In der Photonik betrachteter Wellenlängen Bereich
einige µm bis 100nm, von Infrarot bis Ultraviolett
Dies ist der Bereich typischer atomarer Anregungsenergien und Austrittsarbeiten.
Die Suszeptibilität \(\chi\) [chi]
Sie ist die fundamentale Beziehung zwischen Feld und Materie
\(\vec{D} = \varepsilon_0(I+\tilde\chi) \vec{E} \qquad \vec{P} = \varepsilon_0 \tilde\chi \vec{E}\\ \tilde\varepsilon_r = I+\tilde\chi \\ \varepsilon_r = 1 + \chi\)
Die Polarisation P ist nicht instantan, daher ist chi frequenzabhängig.
Außerdem ist P und E nicht immer parallel -> chi im allgemeinen ein Tensor 2.Stufe
Vorallem bei hohen Feldern merkt man dann, dass chi auch Feldabhängig ist.
Außerdem hängt P nicht nur von der lokalen sondern auch vom umliegenden Feld ab.
im
Von Maxwell-Gleichungen zu Wellengleichung
Man beginnt mit dem Induktionsgesetz und dem Ampere-Maxwell-Satz im ladungs- und stromfreien Feldgebiet.
\(\nabla \times E = - \partial_t \mu_0H \\ \nabla \times H = \partial_t D\\ \nabla \times (\nabla \times E) = -\partial_t^2\mu_0D \\ \nabla(\nabla \cdot E) -\nabla^2E = -\displaystyle \frac{\varepsilon_r}{c_0^2}\partial^2_t E\)
Helmholz Darstellung der Wellengleichung
Wenn man die einfache Wellengleichung in den Frequenzbereich bringt.
\(\nabla^2 \tilde E(\vec x,\omega) + \displaystyle \frac{\omega^2 \varepsilon_r}{c_0^2} \tilde E( \vec x , \omega) = 0\)
Von Frequenzbereich in den Zeitbereich (von E)
\(E(\vec x, t) = Re[\tilde E(\vec x , t )] \\ \tilde E (\vec x , t) = \tilde E(\vec k , \omega) \; e^{-j(\vec k \cdot \vec x - \omega t)}\)
\vec{k} und \omega sind von einander abhängig
\(| \vec k | = k \qquad k^2 = \frac{\omega^2 \varepsilon_r }{c_0^2} \\ k_0 = \frac{\omega}{c_0}\)
Phasengeschwindigkeit von ebenen Wellen bestimmen
Die Ebenen konstanter Phase bewegen sich mit der Phasengeschwindigkeit in Richtung des Wellenvektors \vec{k}.
Nach der Ableitung kann die Phasengeschwindigkeit ermittelt werden.
\(\vec k \cdot \vec x - \omega t = const \\ \vec k \cdot \partial_t \vec x - \omega = 0 \\ v_{ph} = |\partial_t \vec x| = \frac{\omega}{k} = \frac{c_0}{n}\)
wobei n den Brechungsindex angibt.
Der Brechungsindex n
Über die Phasengeschwindigkeit oder die relative Permitivität berechenbar.
\(v_{ph} = \displaystyle \frac{c_0}{n} \qquad n = \sqrt{\varepsilon_r} \\ \displaystyle n = \frac{k c_0}{\omega}\)
Gruppengeschwindigkeit
Am einfachsten anschaulich gemacht durch Überlagerung zweier kolinerarer harmonischer Wellen.
\(E(z,t) = Re\left[E_0 (e^{-j[(k^0 + \Delta k)z-(\omega_0 + \Delta\omega)t]} + e^{-j[(k^0 - \Delta k)z-(\omega_0 - \Delta\omega)t]})\right] = \\ = 2 E_0 \cos\left( z \Delta k - t \Delta \omega \right) \cos\left( \omega_0 t - k^0 z \right)\)
hier wurde k^0 anstatt k_0 benutzt um die ursprüngliche Kreiswellenzahl anzugeben da k_0 oft die Kreiswellenzwhl im Vakuum angibt...
Im zweiten Cosinusterm sieht man, dass sich die Phasenfronten weiterhin mit der Phasengeschwindigkeit ausbreiten.
Der erste Term zeigt die Einhüllende. Durch Ableitung des Arguments des Cosinus gelangen wir zu deren Ausbreitungsgeschwindigkeit.
\(z\Delta k - t \Delta \omega = const \\ \partial_t z = \frac{\Delta \omega}{\Delta k} = v_{g} \\ \; \\ k = \frac{n \omega}{c_0} \\ \displaystyle \frac{1}{v_g} = \frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}\omega} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \omega}\left( \frac{n \omega}{c_0} \right) = \frac{1}{c_0}\left( n + \omega \frac{\mathrm{d} n }{\mathrm{d} \omega} \right)\)
Gruppengeschwindigkeit nur Formel
\(v_g = \displaystyle \frac{c_0}{n + \omega(\mathrm{d}n/\mathrm{d} \omega)} = \frac{c_0}{n - \lambda_0(\mathrm{d}n/\mathrm{d} \lambda_0)} \\ \mathrm{d} \omega/ \omega = - \mathrm{d} \lambda_0 / \lambda_0\)
Wichtige Geschwindigkeit bei Interferenzphänomänen
Bei Lichtimpulsen bewegt sich die Phasenfront mit der Phasengeschwindigkeit der Trägerfrequenz fort.
Daher ist bei Interferenzphänomänen die Phasengeschwindigkeit maßgeblich!
Polarisationszustände des Lichts
Die Lage der Feldvektoren im Raum gibt den Polarisationszustand an.
Bei Planwellen liegt der Feldstärkevektor E in einer zu dem Wellenvektor k senkrechten Ebene.
Im allgemeinen Fall rotiert E mit der Periodendauer T = 2pi/ \omega und beschreibt dabei eine Ellipse.
bei Ausbreitung in z-Richtung:
\(E_x(z,t) = E_{0,x} \cos(\omega t -kz) \\ E_y(z,t) = E_{0,y} \cos(\omega t -kz + \Delta \phi)\)
Zwei Spezialfälle: lineare Polarisierung (DeltaPhi = 0), zirkulare Polarisierung (DeltaPhi = +- pi/2[+r,-l])
Räumlich gesehen entsteht eine Helix derern Ganghöhe lambda = 2pi/k beträgt.
(isotropische Medien Vorrausgesetzt)
JONES-Formalismus
Mithilfe des Jones-Vektors J lassen sich Polarisationszustände einfacher angeben. Dieser ist meist auf 1 normiert.
\(\text{linear} \qquad \left[\begin{array}{c} \cos\varphi \\ \sin \varphi \end{array}\right] \\ \text{rechts zirkular }\sigma^+ \qquad \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\begin{array}{c} 1 \\ j \end{array}\right]\\ \text{links zirkular }\sigma^- \qquad \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\begin{array}{c} 1 \\-j \end{array}\right]\\ \text{allgemein} \qquad \left[\begin{array}{c} \cos \alpha \\ \sin( \alpha) e^{j \Delta \varphi} \end{array}\right] \\ \alpha = \arctan \left( \frac{E_{0,y}}{E_{0,x}} \right)\)
wobei phi der Winkel zur x-Achse ist.
Ebene Welle an Grenzfläche
Trifft eine ebene Welle auf ein medium, kann durch Aufspaltung der Wellengleichung ihr Verhalten beschrieben werden.
\(\displaystyle \nabla^2E - \varepsilon_0 \mu_0 \partial^2_tE = \mu _0 \partial^2_tP\)
Die rechte Seite kann als Quellterm im Medium betrachtet werden. Die Abstrahlung erfolgt in Vorwärtsrichtung (Transmission) und in Rückwärtsrichtung (Reflexion).
Die Transmittierte Welle hat die Phasengeschwindigkeit c_0/n.
Übergang von optisch dünner zu optisch dichter n_i < n_t
Brechung zum Lot.
Es gilt die Dispersionsrelation und das daraus folgende Reflexionsgesetz und das nach Snelliu benannte Brechungsgesetz.
\(|k^{i,r,t}| = n_{i,r,t}k_0 \\ n_i \sin \theta^i = n_i \sin \theta^r = n_t \sin\theta^t \\ \theta ^r= \theta^i\)
Übergang von optisch dichter zu optisch dünner n_i > n_t
Brechung vom Lot. Falls die Tangentialkomponente (TK) der transmittierten Welle größer als die TK der einfallenden/reflektierten werden würde, kommt es zur Totalreflexion.
\(|\vec k _{t}| = n_ik_0 \sin\theta^i \succ n_tk_0 \\ \theta^i \succ\theta_{crit} = \arcsin\frac{n_t}{n_i}\)
pi-polarisierte Felder
TM-polarisiert
sigma-polarisiertes Feld
TE-polarisiert
Reflexionskoeffizient und Transmissionskoeffizient
Verhältnis vom reflektierten/transmittierten Feld zum einfallenden.
\(\displaystyle r = \frac{H_r}{H_i} \qquad t = \frac{H_t}{H_i}\)
Es entstehen unterschiedliche Ausdrücke für den TE bzw TM Fall!
Reflektivität und Transmittivität
Die Reflektivität bzw Transmittivität gibt an, wieviel % der Leistung reflektiert bzw transmittiert wird. Zur Berechnung benötigt man die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten.
Sie müssen sich zu 1 ergänzen.
R + T = 1
Brewsterwinkel
Unterhalb des Brewsterwinkels gibt es im pi-polarisiertem Fall (TM) keine Reflexion.
\(\theta^i \leq \theta^{i,B} = \arctan \frac{n_t}{n_i}\)
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Lernkarten
Hauptursache von Impulsverbreiterung
Die Frequenzabhängigkeit der Gruppengeschwindigkeit
Superpositionsprinzip
Es gilt für Felder.
NICHT für Intensitäten!
Die Phänomene, welche aus der Abweichung der Gesamtintensität von den aufsummierten Teilintensitäten resultieren, werden Interferenz-Erscheinungen genannt.
Zweistrahlinterferenz
Zur Vereinfachung der Notation benutzen wir die Komplexe Feldamplitude U
\(I(x) = \tilde U(x) \cdot \tilde U^*(x)\)
Bei der Überlagerung von U1 und U2 ergibt sich die Intensität zu
\(I(x) = \left( \tilde U_1(x) +\tilde U_2(x) \right) \cdot \left( \tilde U_1(x) +\tilde U_2(x) \right)^* =\\ I_1 + I_2 + 2 \mathrm{Re} \left[ \tilde U_1(x) \cdot\tilde U_2^*(x) \right]\)
Der hintere Term ist der Interferenzterm. Je nach Phasenlage kann er positiv oder negativ sein (konstruktive/destruktive Interferenz)
Der Interferenzterm verschwindet, wenn die Phasen der beiden Felder nicht korrelieren. Bzw auch wenn die beiden felder zueinander orthogonale Polarisationszustände haben. Dort gilt dann die Superposition der Intensitäten
Interferenz von 2 gleichen Feldern welche unterschiedlich Phasenverschoben sind, hier aufgrund von Wegdifferenz
\(U_{1,2}(z) = A e^{j \Phi_{1,2}} \qquad \Phi_{1,2} = \omega t- k z_{1,2} \\ I(z) = \left( U_1 + U_2 \right) \cdot \left( U_1 + U_2 \right) ^* =\\ A^2 \left( e^{j \Phi_1} + e^{j \Phi_2} \right) \cdot \left( e^{-j \Phi_1} + e^{-j \Phi_2} \right) =\\ I_0 \left( 2 e^0 + e^{-j (\Phi_2 - \Phi_1)} + e^{j (\Phi_2 - \Phi_1)} \right) =\\ I_0 \cdot 2(1+ \cos(\Phi_2-\Phi_1)) = \\ I_0 \cdot 4\cos^2(\frac{\Phi_2 - \Phi1}{2})\)
Michelson Interferometer
Mit einem Wegunterschied von Delta s ergibt sich die Intensität am Detektor zu
\(I = I_0 \cos^2(\frac{\Delta \Phi}{2}) \qquad \Delta\Phi = 2k\Delta s \)
Mach-Zehnder- und Sagnac-Interferometer
Können verwendet werden um Brechungsindexveränderungen in einem der Pfade zu beobachten.
Das Sagnac-Interferometer wird benutzt um Drehungen zu bemerken.
Streu-Matrix/Scatter-Matrix (zb. Halbdurchlässiger Spiegel)
Der Halbdurchlässige Spiegel als lineares System betrachtet.
\(\vec b = \tilde S \cdot \vec a \qquad \tilde S =\left[ \begin{array}{rr} S_{11} &S_{12}\\S_{21}&S_{22} \end{array}\right] \\ \vec a =\left[ \begin{array}{r} a_{1}\\a_{2} \end{array}\right] \qquad \vec b =\left[ \begin{array}{r} b_{1}\\b_{2} \end{array}\right] \\ \! \\ \)
mit normalisierten Signalen in einem verlustfreien System folgt:
\([\vec a ^*]^T \vec a = [\vec b ^*]^T \vec b \qquad [AB]^T = [B]^T[A]^T \\ [\vec a ^*]^T \vec a = [\vec a ^*]^T [\tilde S ^*]^T \tilde S \vec a \\ [\tilde S^*]^T \tilde S = I \qquad [\tilde S^*]^T = \tilde S^{-1} \\ .\\ S_{11}^*S_{11} + S_{21}^*S_{21} = 1 \\ S_{12}^*S_{12} + S_{22}^*S_{22} = 1 \\ S_{11}^*S_{12} + S_{21}^*S_{22} = 0 \\ S_{12}^*S_{11} + S_{22}^*S_{21} = 0\)
Für Zeitumkehr-invariante Systeme gilt aufgrund von a* = S b* dass S sogar symmetrisch sein muss
In der Hauptdiagonale sind die Reflexionskoeffizienten, in der Nebendiagonale die Transmissionskoeffizienten.
Vielstrahlinterferenz
Kommt zustande bei einer Superposition von einer (un)endlichen Reihe von Wellen U_n, welche alle zueinander eine Phasendifferenz von DeltaPhi haben
\(U_n = U_{0n} e ^{j(n-1)\Delta \phi} \qquad n = 1,2,3,...\)
Als Phasorenvektor in komplexer Ebene darstellbar.
Wenn der Phasenunterschied immer 2pi beträgt tritt die maximale Gesamtintensität auf. das wäre |N U_0|^2
Das entspricht dem N-fachen der summierten Einzelintensitäten (das wäre N |U_0|^2)
Wenn sich der Phasorzug schließt, verschwindet die Intensität. (bei DeltaPhi = 2m pi / N [m ist ganzzahlig])
Vielstrahlinterferenz komplexes Gesamtfeld und Intensitätsberechnung
\(U_{total} = \displaystyle U_0 \sum^N_{n=1} e^{j(n-1)\Delta \phi } = \\ = \displaystyle U_0 \frac{1-e^{jN\Delta\phi}}{1-e^{j\Delta\phi}}\\ .\\1-e^{j\Delta\phi} = e^{j\Delta\phi/2} (e^{-j\Delta\phi/2} - e^{j\Delta\phi/2})\\.\\ I = I_0 \displaystyle \frac{\sin^2(N\Delta\phi/2)}{\sin^2(\Delta\phi/2)}\)
N-2 zwischenmaxima
N-1 Nullstelle zwischen den Hauptmaxima
Vielschichtsysteme
Bei Vielschichtsystemen, wird versucht die Konstruktive Interferenz von reflektierten Strahlen zu benutzen um einen Reflexionskoeffizienten nahe 1 zu bekommen.
Es werden auf ein Substrat (mit hohem n) abwechselnd Schichten mit hohem und danach mit niedrigem Brechungsindex n aufgetragen.
Die optische Dicke muss einer Viertel-Wellenlänge genügen.
\(n_i d_i = \frac{\lambda_0}{4}\\ k_0 \cdot n_i d_i = \frac{2\pi}{\lambda_0}\frac{\lambda_0}{4} = \frac{\pi}{2}\)
schon mit relativ wenig schichten erreicht man so eine Reflektivität von über 99.9%
Es ist natürlich auch möglich die DESTRUKTIVE Interferenz mit dieser Methode auszunutzen um den Reflexionskoeffizienten gering zu machen. Hierbei ist es dann oft wichtig verschiedene Schichtpaare zu benutzen um den zu transmittierenden Frequenzbereich breiter zu machen. --> entspiegelte Brillen
Kreiswellenzahl Zusammenhänge
\(\displaystyle k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac {\omega}{v_{ph}} \\ \displaystyle = k_0 n\)
Fabry-Perot-Interferometer
Es besteht aus 2 parallelen teildurchlässigen Spiegeln.
Neben den Reflexions- und Transmissionskoeffizienten muss auch der Gangunterschied zur vorherigen transmittierten Welle berücksichtigt werden.
\(r = |r|e^{j\Delta \phi_s} \qquad t' = te^{-jk_0nd\cos\theta} \\ \Delta \phi = 2\Delta\phi_s - 2k_0nd\cos(\theta)\\ U^t = U_0 tt'(1 + |r|^2e^{j\Delta \phi} + |r|^4e^{j2\Delta \phi} + ...) = \\ = U_0tt' \displaystyle \frac{1}{1-|r|^2e^{j\Delta \phi}} \\.\\|r|^2 = R \qquad |t|^2 = |t'|^2 = T \\ \displaystyle \frac{I^t}{I_0} = \frac{|U^t|^2}{|U_0|^2} = \frac{T^2}{|1-Re^{j\Delta\phi}|^2}\)
Wenn die Gangdifferenz der einzelnen Teilwellen ein Vielfaches der Wellenlänge ist, erreicht die Transmission ihren Maximalwert Aufgrund der konstruktiven Interferenz. (Hierbei sind dann auch die Teilfelder im inneren in Phase.
Fabry-Perot-Interferometer (Etalon) Finesse und Anwendungen
Die Finesse ist ein wichtiger Parameter, welcher sich aus der Reflektivität berechnet
\(F = \pi \displaystyle \frac{\sqrt{R}}{1- R} \approx \frac{\Delta\omega_{bandbreite}}{\Delta\omega_{resonanzabstand}}\)
DeltaOmega_Bandbreite ist die Bandbreite um das Maximum, bei dem die Transmession noch über 50% ist.
Je kleiner die Finesse, desto schmäler die Bandbreite bzw desto schmäler die Transmissionsmaxima.
Es wird verwendet um die Wellenlängen von Wellen oder den Abstand zwischen den Spiegeln zu bestimmen. Mit einem intensitätssensitiven Brechungsindex-Dielektrikum zwischen den Spiegeln können auch optische Transistoren realisiert werden.
Resonatorlebensdauer
Die Zeit \(\tau_{res}\) in der eine gegebene Photonentahl im Resonator auf 1/e abfällt.
Kugelspiegel-Resonatoren
Gaussche Strahlen haben annähernd sphärische Wellenfronten. Wenn diese Wellenfrontkrümmung an beide Spiegel angepasst ist, wird der Strahl ständig in sich selbst übergeführt.
Zusätzlich muss bei einem vollständigen Umlauf die Gesamtänderung der Phase ein ganzzahliges Vielfaches von 2pi sein. Das resultierende Feld nennt man dann Eigenmode des Resonators.
Die im Bild gezeigten Contouren geben Zonen konstanter Energiedichte an.
Verschiedene Spiegelmöglichkeiten bei Kugelspiegel-Resonatoren
Das Dreieck bzw die Raute gibt die Rayleigh-Länge an.
Die unterschiedlichen Resonator Varianten benötigen unterschiedlich große Spiegeldurchmesser.
Der konfokale Resonator erfordert relativ kleine Spiegel, da er den kleinsten Modenradius an den Spiegeln aufweist.
Was ist der Konfokalparameter
Die Rayleigh-Länge
Dielektrische Wellenleiter
Geführte Moden zeichnen sich dadurch aus, dass sich ihre räumliche Feldverteilung in Ausbreitungsrichtung nicht ändert.
Die Zahl der ausbreitungsfähigen Moden wächst mit der Frequenz an. Nach Superposition mehrerer Moden gilt die unveränderlichkeit der Feldverteilung natürlich nicht mehr, deshalb verwendet man oft nur eine einzelne Mode.
Führung durch Totalreflexion.
Kritischer Winkel der Totalreflexion
Brewster-Winkel
Berechnung und Bedeutung
Über den Winkel theta_crit einfallende Strahlen werden reflektiert.
Unter dem Brewsterwinkel theta_B einfallende Strahlen werden im TM-Fall unreflektiert transmittiert.
\(\theta_{crit} = \arcsin (\frac{n_2}{n_i}) \\\theta_{B} = \arctan (\frac{n_2}{n_i})\)
Planarer Wellenleiter
Hier wird das Lichtfeld über Totalreflexion in einer dielektrischen schicht mit n_g > n_s,c geführt.
Es müssen die Totalreflexionsbedingungen oben und unten erfüllt sein.
\(\displaystyle \theta_{crit} = \arcsin \left( \frac{n_{s,c}}{n_g}\right)\\ \displaystyle \theta \succ \theta_{crit} \\ \theta_{in} \prec \sqrt{n_g^2-n_s^2} = NA\)
Der Eingangswinkel muss aufgrund Totalreflexionsbedingungen auch kleiner sein als die numerische Apertur (NA), wobei hier jetzt davon ausgegangen wurde, dass n_s > n_c ist.
Um solche Leiter herzustellen wird oft Quarzglas als Substrat genommen und mithilfe Dotierungen Brechungsindexveränderungen bewirkt.
Phasenverschiebung bei planaren Wellenleitern
Damit die transversale Feldverteilung entlang der Ausbreitungsrichtung gleich bleibt, muss die Phasenverschiebung des Lichts nach Reflexion oben und unten ein Vielfaches von 2pi sein.
In x-Richtung bilden sich stehendes Wellenfeld aus.
Wellenleiterdispersion
Der effektive Ausbreitungsindex einer Mode ist wellenlängen- bzw frequenzabhängig.
\(\beta (\omega)= k(\omega) = \frac{n_s}{c_0} \omega\)
Glasfaser-Wellenleiter
Sie sind grundsätzlich genauso wie die planaren Wellenleiter aufgebaut. Ein Kern mit hohem Brechungsindex n_g ist von einem Mantel mit Brechungsindex n_c < n_g (cladding = Verkleidung) umhüllt.
Hierbei gibt es zwei unterschiedliche Arten. Zum einen verläuft der Brechungsindexverlauf graduell bei Gradientenindex-Fasern und zum anderen stufenförmig bei Stufenindex-Fasern.
Gradientenindex-Glasfaser
Ähnliche funktionsweise wie die GRIN-Linse.
Gradientenindex-Fasern zeichnen sich dadurch aus, dass
die verschiedenen Moden annähernd gleiche Gruppengeschwindigkeiten haben,
also eine sehr geringe Modendispersion aufweisen.
Vorteil von Vielmoden-Fasern
Der Vorteil von Vielmoden-Glasfaser-Wellenleitern besteht darin,
dass sie wegen ihres im Vergleich zu Monomoden-Fasern großen Kerndurchmessers
leichter handhabbar sind; insbesondere ist die effiziente Einkopplung
sowie die Verbindungstechnik, sei es durch Steckverbindungen oder
durch Spleißen, wesentlich einfacher als bei Monomoden-Fasern.
Stufenindex-Glasfaser
Die geführten Wellen sind näherungsweise TEM-Wellen (kleine longitudinale Anteile).
Eine Mode ist durch zwei Indizes charakterisiert l und m.
l gibt die Zahl der azimutalen Knotenlinien an und m gibt die Zahl der radialen Intensitätsmaxima an.
Zu Jede Feldverteilung kann auch um 90° gedreht werden, diese hat dieselben Ausbreitungseigenschaften und wird als entartet bezeichnet. Außerdem ist bei linear-polarisierten Moden auch durch die Polarisierung eine Entartung möglich.
Glasfaser Herstellung, Dämpfung und Dispersion
Sie werden vorwiegend aus Quarzglas(Siliziumoxid) hergestellt. Durch Aufbringen von hochreinen Oxiden mittels Gasen in ein dünnes Quarzglasrohr kann Brechungsindexverlauf erzielt werden. Bei 2000°C kollabiert dieser Hohlraum dann.
Die Faser bekommt dann noch einen Kunststoffüberzug der sie vor Umwelteinflüssen schützt.
Aufgrund von unterschiedlichen Mechanismen gibt es ein wellenlängenabhängiges Dämpfungsprofil der Faser. Die bei den Minima vorgefundenen Wellenlängen werden bevorzugt genutzt.
Zusätzlich erschwert Dispersion die Übertragung in Kabeln. Einerseits die chromatische Dispersion und andererseits die generelle Materialdispersion.
Durch Monomoden-Fasern kann dem entgegengewirkt werden.
Es ist auch möglich die unterschiedlichen Dispersionsmechaniken gegeneinander auszuspielen, sodass in einem geeigneten Wellenlängenbereich sich die unterschiedlichen Dispersionen gegenseitig aufheben.
Wellenleiterintegriert Definition
Baugruppen aus wellenleiteroptischen Komponenten, welche ohne freie Wellenausbreitung funktionieren, bezeichnet man als wellenleiterintegriert.
Für planare Wellenleiterstrukturen können auch Halbleiter als Substrat verwendet werden, sodass dann auch optoelektronische Bauelemente wie Photodetektoren, Lunineszenz- und Laserdioden integriert werden können.
Wellenleiterkoppler
Es ist ein besonders wichtiges Element der integrierten Optik. Seine Aufgabe ist der kontrollierte Austausch von optischer Leistung zwischen Wellenleitern über das evaneszenten Feld.
Über die Länge der Annäherung kann das Leistungsübertragungsverhältnis eingestellt werden.
Mit ausbreitungsindexverändernden Materialien können so auch Wellenleiterschalter realisiert werden. (z.B. spannungssensitive Materialien)
Auch frequenzselektive Filter lassen sich durch geeignete Ausbreitungsindizes realisieren.
Der 3dB-Koppler teilt die Leistung im Verhältnis 1:1 auf. Wenn beide Eingänge angeschlossen sind, kann auf die Phasendifferenz der daherkommenden Wellen geschlossen werden, somit dient der 3dB-Koppler auch als Phasendetektor.
Wellenleitergitter
Mithilfe dieses Bauelements lassen sich Wellen reflektieren. dazu werden periodische Veränderungen der Wellenleiterstruktur benutzt.
Sie werden erstellt durch geziete Ionenimplantation, Variation der Dicke des Wellenleiters oder auch mittels UV-Lich, welches permanente photochemische Veränderungen bewirkt.
Sie werden als Demultiplexer verwendet und beim Bau von Halbleiterlasern.
Wirkungs- oder Übergangsquerschnitt \(\sigma(\Delta \omega)\)
Der Übergangsquerschnitt
hat die Dimension einer Fläche und erlaubt eine sehr anschauliche
Deutung:
Ein Atom präsentiert sich den Photonen wie ein Scheibchen
der Fläche σ; ein Üergang findet statt, wenn ein Photon auf diese Fläche
auftrifft. Um statistisch einen Übergang zu erreichen, braucht man demnach
einen Energiefluss von \(\hbar\omega /\sigma\)
Fermis Goldene Regel
Die Übergangswahrscheinlichkeit W_if vom Zustand phi_i zu Zustand phi_f ist genauso groß wie W_fi.
Der Übergang von i nach f (oder ummgekehrt) findet nur statt wenn die Frequenz \(\omega\) der Störung mit
\(\omega_0 = \displaystyle \frac{E_f - E_i}{\hbar}\)
übereinstimmt.
\(\displaystyle W = \frac{\sigma I}{\hbar \omega}\)
Photonenflussdichte F
\(\displaystyle F = \frac {I}{\hbar \omega}\)
Übergangswahrscheinlichkeit W
Photonenzahl q; Photonendichte rho_ph; Energiedichte rho_em; Photonenfluss F
\(\displaystyle \rho_{ph} = \frac{q}{V} \qquad \rho_{em} = \hbar \omega \frac{q}{V} \\ F = c \rho_{ph} \qquad c = \frac{c_0}{n}\\ \displaystyle W = \sigma c \rho_{ph} = \sigma F = \sigma c \frac{\rho_{em}}{\hbar \omega}\)
Spontane Vs stimulierte Emission
Die spontane Emission funktioniert beim Übergang eines angeregten in einen niedrigeren Zustand stochastisch, deshalb kann man nur etwas über dessen Frequenz aussagen.
Das emittierte Photon der stimmulierten Emission besitzt dieselbe Frequenz, Phase, Polarisation und Richtung wie das stimmulierende Photon.
Ratengleichung für zweites Niveau im Zweiniveau-System
Bei jedem Übergang von einem niedrigerem Zustand in einen höheren eines Atoms wird das anregende Photon absorbiert. Beim stimmulierten Übergang von Niveau 2 zu Niveau 1 nicht. Zusätzlich gibt es noch die Mittlere Lebensdauer, welche Atome nach durchschnittlicher Zeit tau_sp nach Niveau 1 bringt.
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}N_2}{\mathrm{d}t} = N_1 W_{12} - N_2 W_{21} - \frac {N_2} {\tau_{sp}}\)
Ratengleichung für Photonendichte für die stimmulierten Photonen.
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}\rho_{ph}}{\mathrm{d}t}= -N_1 W_{12} + N_2 W_{21} = W(N_2- N_1) \\ \text{mit: } F =c \rho_{ph} \qquad \mathrm{d}z = c \mathrm{d}t \\ \text{gilt: } \displaystyle \frac{\mathrm{d}\rho_{ph}}{\mathrm{d}t} =\frac{\mathrm{d}F c}{\mathrm{d}z c} \\ .\\ \displaystyle \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}z} = (N_2 -N_1)\sigma F \\ \displaystyle \frac{\mathrm{d}F}{F} = \frac{\mathrm{d}I}{I} = (N_2 -N_1)\sigma \mathrm{d}z\\ I(z) = I(0) e^{(N_2-N_1)\sigma z}\)
Über Integration und Auswertung bei z=0 gelangt man zur letzten Gleichung, welche auch für den Photonenfluss F gilt. Demnach gilt für I(z)/I(0) bzw F(z)/F(0) dieselbe Abnahmerate in z-Richtung. Welche mit der klassischen Beschreibung des Absorbtionsprozesses verglichen werden kann.
\(\displaystyle \frac {I(z)}{I(0)} = e^{-2\kappa k_0 z} = e^{-\alpha z} \\ \displaystyle \alpha = -(N_2 - N_1)\sigma = (N_1 - N_2)\sigma\)
Für N_2 > N_1 wächst mit z auch die Intensität bzw die Photonendichte an!
Absorbtionskoeffizient bei zunehmender Intensität
Je höher die Intensität, desto niedriger der Absorbtionskoeffizient. Wenn die Intensität die Sättigungsintensität erreich, hat sich der Absorbtionskoeffizient bereits halbiert.
Ein Medium wird mit zunehmender Intensität transparenter.
\(\Delta N = N_2 - N_1 \qquad N = N_1 + N_2 \\ W = \sigma F = \sigma \frac I {\hbar \omega} \\ \alpha_0(\omega) = N\sigma(\omega) \qquad \alpha = -\sigma \Delta N\)
sigma ist eine Eigenschaft eines Atoms, alpha ist eine Eigenschaft vieler Atome.
(Über dN_2/dt berechenbar...)
Inversion in 2-Niveau-System
Durch optisches pumpen im 2-Niveau-System (2NS) ist es nicht möglich Inversion (N_2 >N_1) zu erreichen, da es gleich wahrscheinlich ist die Atome wieder in den Grundzustand zu pumpen wie nach oben.
Daher benötigt man 3- bzw 4NS!
Vorteil von 4NS zu 3NS
Beim 3NS ist der untere Zustand anfänglich besetzt, da von dort aus gepumpt wird. Inversion wird erst erreicht wenn N_2(die Atome dort sollen zur stimmulierten Emission gebracht werden) > N_0 gilt.
Beim 4NS ist schon beim ersten im N_2 Zustand befindlichen Atom Inversion gegeben N_2 > N_1.(solange darauf geachtet wird, dass nicht schon durch thermisches Rauschen Atome in den N_1 Zustand gebracht werden.
\(E_1 - E_0 \gg k_BT\))
E_1 muss einen schnellen Entladungskanal in den Grundzustand aufweisen.
Allerdings gibt es nicht für alle derzeit gebrauchten Wellenlängen ein passendes 4NS sodass auch 3NS in Anwendung sind.
