Mathematik I - WML - Überfachliche Kompetenzen

Die Differenz ist das Ergebnis der Subtraktion (Minusrechnung):
\(\text{Minuend}-\text{Subtrahend} = \text{Differenz}\)

Der Faktor ist ein Teil der Multiplikation

\(\text{Faktor}\cdot\text{Faktor} = \text{Produkt}\)

Die Subtraktion ist die Minus-Rechnung:
\(\text{Minuend}-\text{Subtrahend} = \text{Differenz}\)

Die Multiplikation ist das Mal-Rechnen:
\(\text{Faktor}\cdot\text{Faktor}=\text{Produkt}\)

Das Produkt ist das Ergebnis der Multiplikation

\(\text{Faktor}\cdot\text{Faktor} = \text{Produkt}\)

Der Summan ist Teil der Addition (Plus-Rechnung):

\(\text{Summand}+\text{Summand} = \text{Summe}\)

Die Summe wird so in ein Produkt zerlegt, das aus zwei Klammern besteht

z.B.: \((a^2-4a-5)=(a+1)(a-5)\)

Die Division ist das Geteilt-Rechnen (Durch-Rechnen).

\(\text{Dividend}:\text{Divisor}=\text{Quotient }\)

Eine Division kann man auch als Bruch anschreiben:

\(\frac{\text{Dividend}}{\text{Divisor}}=\text{Quotient}\)

Man darf nicht durch Null dividieren, d.h. ein Divisor darf niemals Null sein.

Der Dividend ist ein Teil der Division (Geteilt-Rechnung):

\(\text{Dividend}:\text{Divisor}=\text{Quotient }\)

Eine Division kann man auch als Bruch anschreiben:

\(\frac{\text{Dividend}}{\text{Divisor}}=\text{Quotient}\)

Man darf nicht durch Null dividieren, d.h. ein Divisor darf niemals Null sein.

Der Divisor ist ein Teil der Division (Geteilt-Rechnung). Es wird durch den Divisor geteilt.

\(\text{Dividend}:\text{Divisor}=\text{Quotient }\)

Eine Division kann man auch als Bruch anschreiben:

\(\frac{\text{Dividend}}{\text{Divisor}}=\text{Quotient}\)

Man darf nicht durch Null dividieren, d.h. ein Divisor darf niemals Null sein.

Werden bei einem Bruch Zähler und Nenner mit demselben Term multipliziert, so ändert sich der Wert des Bruchs nicht. Diese Operation heisst erweitern.  Durch kürzen gelangt man wieder zum Ausgangspunkt zurück.

Zwei Brüche heissen gleichnamig, wenn sie den gleichen Nenner besitzen. Bevor Brüche addiert oder subtrahiert werden, müssen sie gleichnamig gemacht werden.

Der grösste gemeinsame Teiler ggT ist jene Zahl, durch die zwei Terme maximal dividiert werden können, also der grösste mögliche Term, der ausgeklammert werden kann.

Beim Kürzen (in einem Schritt) mmüssen Zähler und Nenner durch den grössten gemeinsamen Teiler (ggT) geteilt werden. Den ggT findet man durch vollständige Faktorzerlegung (alle Faktoren sind Primzahlen).  Der ggT von zwei Zahlen ist dann das Produkt der höchsten Potenzen aller Primfaktoren, die beiden Zahlen gemeinsam sind.

= Kehrwert / Kehrbruch

Vertauscht man Zähler und Nenner, erhält man den Kehrwert oder die Inverse.

= Inverse / Kehrbruch

Vertauscht man Zähler und Nenner, erhält man den Kehrwert oder die Inverse.

Das kleinste gemeinsame Vielfache ist nützlich, wenn man Nenner gleichnamig machen will. Das kgV kann einer der beiden Terme sein, oder die beiden Terme müssen noch erweitert werden. Bei grösseren Zahlen findet man das kgV wie beim ggT über die Zerlegung in Primfaktoren. Das kgV von zwei Zahlen ist das Produkt der höchsten Potenzen aller Primfaktoren, di in mindestens einer der beiden Zahlen vorkommt.

Werden Zähler und Nenner einer Bruchs durch denselben Term dividiert, nennt man das kürzen. Der Wert des Bruchs ändert sich nicht. Häufig müssen Zähler und Nenner zuvor faktorisiert werden. Aus Summen und Differenzen kann man nicht kürzen, ausser man faktorisiert zuerst (aber dann kürzt man aus einem Produkt).

Der Nenner in einem Bruch, bezeichnet das, was unter dem Bruchstrich steht. Es handelt sich also um den Divisor.

\(\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\)

Der Nenner darf niemals Null sein.

Der Zähler in einem Bruch, bezeichnet das, was oberhalb des Bruchstrichs steht. Es handelt sich also um den Dividend.

\(\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\)

Bei unechten Brüchen ist der Zähler grösser als der Nenner und der Betrag des Bruchs deshalb grösser als 1. Unechte Brüche können auch als gemischte Zahl geschrieben werden.

\(\frac{33}{7}=4\frac{5}{7}\)

Der Betrag \(|a|\) einer Zahl \(a\) ist der Abstand des Punktes vom Nullpunkt auf dem Zahlenstrahl:

\(|a|\dot{=}\begin{cases} a, & \text{für } a>0 \\ 0, & \text{für } a=0 \\ -a, & \text{für } a<0 \end{cases} \\ \text{Es gilt: } |a|\ge0.\)

Alle Zahlen, die man im Term einsetzen kann und die zu einem sinnvollen Ergebnis führen, bilden die Definitionsmenge \(\mathbb{D}\) des Terms.

Menge der ganzen Zahlen:

\(\mathbb{Z}=\{...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...\}\)

Die Menge \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \) der irrationalen Zahlen enthält alle Zahlen, die sich als unendliche, nicht periodische Dezimalbrüche (Dezimalzahlen) darstellen lassen. Für die irrationalen Zahlen gibt es kein offizielles Symbol.

Ein Ausdruck der Form

\(P(x):=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n \)

mit der Variablen \(x\) heisst Grundform eines Polynoms. \(a_k\), also die Zahlen vor den Variablen mit \(k=0;1;2;..;n\) heissen Koeffizienten.

Menge der natürlichen Zahlen:

\(\mathbb{N}:=\{0;1;2;3;...\}\)

Gleichungen können neben der Lösungsvariablen noch weitere Variablen enthalten. Diese nennt man dann Parameter.

periodisch unendliche Dezimalbrüche (Dezimalzahlen) sind rationale Zahlen.

z.B.: \(\frac{4}{33}=0.\overline{12}=0.12121212....\)

Eine Primzahl \(p \in \mathbb{P}\) ist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen Teilern. Sie ist nur durch 1 und sich selbst teilbar.

\(\mathbb{P}:=\{2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;... \}\)

Menge der rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\):

\(\mathbb{Q}:=\{x|x=\frac{a}{b} \text{mit } a\in \mathbb{Z} \text{ und } b\in \mathbb{N}^*\}\)

Es sind also jene Zahlen, die als Bruch darbstellbar sind.

Menge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\):

Die Menge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) enthält alle endlichen und alle unendlichen Dezimalbrüche (Dezimalzahlen).

Werden Zahlen oder Variablen anhand von Operatoren und Klammern sinnvoll verknüpft, entsteht ein algebraischer Term. Eine Zahl ist ein Term und eine Variable ist ein Term. Jede sinnvolle Zusammensetzung von Zahlen und Variablen (=Terme) mit Operationszeichen und Klammern ergibt einen Term.

Eine Variable ist ein Platzhalter für Unbekannte / Unbestimmte / Veränderliche in Formulierungen bzw. Formeln. Man kann unterscheiden zwischen Lösuungsvariablen (diese Variable ist gesucht) und Paramtern. Bei Funktionen unterscheidet man zwischen abhängigen und unabhängigen Variablen.

Der Zahlenstrahl bietet eine anschliche Darstellung der Zahlen. Positive Zahlen werden rechts vom Nullpunkt, negative Zahlen links davon abgetragen. Der Zahlenstrahl ist durch die Positionen null und eins eindeutig festgelegt.

\(a+(b+c)=(a+b)+c\)

\(a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\)

\(a\cdot (b+c)=a\cdot b+ a\cdot c\)

\(a\cdot b = b\cdot a\)

= faktorisieren

Aus der Summe ein Produkt bilden

\(3a+3b = 3\cdot(a+b)\)

Verfahren:

• gemeinsame Faktoren
• Teilsummen
• Binomische Formeln
• Zweiklammeransatz

= ausklammern

Aus der Summe ein Produkt bilden

z..B.\(3a+3b = 3\cdot(a+b)\)

Verfahren:

• gemeinsame Faktoren
• Teilsummen
• Binomische Formeln
• Zweiklammeransatz