Mathematik I - WML - Überfachliche Kompetenzen
Wichtige Begriffe des ersten Lernjahres
Wichtige Begriffe des ersten Lernjahres
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Lernkarten
Addition
Die Addition, umgangssprachlich auch Plus-Rechnen oder Und-Rechnen genannt, ist eine der vier Grundrechenarten in der Arithmetik.
Die Elemente einer Addition werden Summanden und das Ergebnis Summe genannt.
\(\text{Summand}+\text{Summand} = \text{Summe}\)
Betrag
Der Betrag \(|a|\) einer Zahl \(a\) ist der Abstand des Punktes vom Nullpunkt auf dem Zahlenstrahl:
\(|a|\dot{=}\begin{cases} a, & \text{für } a>0 \\ 0, & \text{für } a=0 \\ -a, & \text{für } a<0 \end{cases} \\ \text{Es gilt: } |a|\ge0.\)
Definitionsmenge \(\mathbb{D}\) eines Terms
Alle Zahlen, die man im Term einsetzen kann und die zu einem sinnvollen Ergebnis führen, bilden die Definitionsmenge \(\mathbb{D}\) des Terms.
ganze Zahlen \(\mathbb{Z}\)
Menge der ganzen Zahlen:
\(\mathbb{Z}=\{...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...\}\)
irrationale Zahlen
Die Menge \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \) der irrationalen Zahlen enthält alle Zahlen, die sich als unendliche, nicht periodische Dezimalbrüche (Dezimalzahlen) darstellen lassen. Für die irrationalen Zahlen gibt es kein offizielles Symbol.
Koeffizient
Ein Ausdruck der Form
\(P(x):=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n \)
mit der Variablen \(x\) heisst Grundform eines Polynoms. \(a_k\), also die Zahlen vor den Variablen mit \(k=0;1;2;..;n\) heissen Koeffizienten.
natürliche Zahlen \(\mathbb{N} \)
Menge der natürlichen Zahlen:
\(\mathbb{N}:=\{0;1;2;3;...\}\)
Parameter
Gleichungen können neben der Lösungsvariablen noch weitere Variablen enthalten. Diese nennt man dann Parameter.
periodisch unendlich
periodisch unendliche Dezimalbrüche (Dezimalzahlen) sind rationale Zahlen.
z.B.: \(\frac{4}{33}=0.\overline{12}=0.12121212....\)
Primzahl
Eine Primzahl \(p \in \mathbb{P}\) ist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen Teilern. Sie ist nur durch 1 und sich selbst teilbar.
\(\mathbb{P}:=\{2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;... \}\)
rationale Zahlen \(\mathbb{Q}\)
Menge der rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\):
\(\mathbb{Q}:=\{x|x=\frac{a}{b} \text{mit } a\in \mathbb{Z} \text{ und } b\in \mathbb{N}^*\}\)
Es sind also jene Zahlen, die als Bruch darbstellbar sind.
reelle Zahlen \(\mathbb{R}\)
Menge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\):
Die Menge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) enthält alle endlichen und alle unendlichen Dezimalbrüche (Dezimalzahlen).
Term
Werden Zahlen oder Variablen anhand von Operatoren und Klammern sinnvoll verknüpft, entsteht ein algebraischer Term. Eine Zahl ist ein Term und eine Variable ist ein Term. Jede sinnvolle Zusammensetzung von Zahlen und Variablen (=Terme) mit Operationszeichen und Klammern ergibt einen Term.
Variable
Eine Variable ist ein Platzhalter für Unbekannte / Unbestimmte / Veränderliche in Formulierungen bzw. Formeln. Man kann unterscheiden zwischen Lösuungsvariablen (diese Variable ist gesucht) und Paramtern. Bei Funktionen unterscheidet man zwischen abhängigen und unabhängigen Variablen.
Zahlenstrahl
Der Zahlenstrahl bietet eine anschliche Darstellung der Zahlen. Positive Zahlen werden rechts vom Nullpunkt, negative Zahlen links davon abgetragen. Der Zahlenstrahl ist durch die Positionen null und eins eindeutig festgelegt.
Assoziativgesetz
\(a+(b+c)=(a+b)+c\)
\(a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\)
Distributivgesetz
\(a\cdot (b+c)=a\cdot b+ a\cdot c\)
Kommutativgesetz
\(a\cdot b = b\cdot a\)
ausklammern
= faktorisieren
Aus der Summe ein Produkt bilden
\(3a+3b = 3\cdot(a+b)\)
Verfahren:
- gemeinsame Faktoren
- Teilsummen
- Binomische Formeln
- Zweiklammeransatz
Faktorisieren
= ausklammern
Aus der Summe ein Produkt bilden
z..B.\(3a+3b = 3\cdot(a+b)\)
Verfahren:
- gemeinsame Faktoren
- Teilsummen
- Binomische Formeln
- Zweiklammeransatz
ausmultiplizieren
Ausmultiplizieren ist das Umwandeln von Produkten in Summen, indem Klammern durch Ausmultipliziern aufgelöst werden.
z.B: \(3\cdot(a+b)=3a+3b\)
Binomische Formel
Erste binomische Formel:
\((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\)
Zweite binomische Formel:
\((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\)
Dritte binomische Formel:
\((a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2\)
Dezimalbruch
Dezimalbrüche bzw. Dezimalzahlen unterscheidet man in rationale und irrationale Dezimalbrüche. Rationale Dezimalbrüche können endliche Dezimalbrüche oder unendlich periodische Dezimalbrüche sein, irrationale Dezimalbrüche sind unendliche, nicht periodische Dezimalbrüche.
Differenz
Die Differenz ist das Ergebnis der Subtraktion (Minusrechnung):
\(\text{Minuend}-\text{Subtrahend} = \text{Differenz}\)
Faktor
Der Faktor ist ein Teil der Multiplikation
\(\text{Faktor}\cdot\text{Faktor} = \text{Produkt}\)
Subtraktion
Die Subtraktion ist die Minus-Rechnung:
\(\text{Minuend}-\text{Subtrahend} = \text{Differenz}\)
Multiplikation
Die Multiplikation ist das Mal-Rechnen:
\(\text{Faktor}\cdot\text{Faktor}=\text{Produkt}\)
Produkt
Das Produkt ist das Ergebnis der Multiplikation
\(\text{Faktor}\cdot\text{Faktor} = \text{Produkt}\)
Summand
Der Summan ist Teil der Addition (Plus-Rechnung):
\(\text{Summand}+\text{Summand} = \text{Summe}\)
Zweiklammeransatz
Die Summe wird so in ein Produkt zerlegt, das aus zwei Klammern besteht
z.B.: \((a^2-4a-5)=(a+1)(a-5)\)
Division
Die Division ist das Geteilt-Rechnen (Durch-Rechnen).
\(\text{Dividend}:\text{Divisor}=\text{Quotient }\)
Eine Division kann man auch als Bruch anschreiben:
\(\frac{\text{Dividend}}{\text{Divisor}}=\text{Quotient}\)
Man darf nicht durch Null dividieren, d.h. ein Divisor darf niemals Null sein.
Dividend
Der Dividend ist ein Teil der Division (Geteilt-Rechnung):
\(\text{Dividend}:\text{Divisor}=\text{Quotient }\)
Eine Division kann man auch als Bruch anschreiben:
\(\frac{\text{Dividend}}{\text{Divisor}}=\text{Quotient}\)
Man darf nicht durch Null dividieren, d.h. ein Divisor darf niemals Null sein.
Divisor
Der Divisor ist ein Teil der Division (Geteilt-Rechnung). Es wird durch den Divisor geteilt.
\(\text{Dividend}:\text{Divisor}=\text{Quotient }\)
Eine Division kann man auch als Bruch anschreiben:
\(\frac{\text{Dividend}}{\text{Divisor}}=\text{Quotient}\)
Man darf nicht durch Null dividieren, d.h. ein Divisor darf niemals Null sein.
erweitern
Werden bei einem Bruch Zähler und Nenner mit demselben Term multipliziert, so ändert sich der Wert des Bruchs nicht. Diese Operation heisst erweitern. Durch kürzen gelangt man wieder zum Ausgangspunkt zurück.
gleichnamig
Zwei Brüche heissen gleichnamig, wenn sie den gleichen Nenner besitzen. Bevor Brüche addiert oder subtrahiert werden, müssen sie gleichnamig gemacht werden.
grösster gemeinsamer Teiler ggT
Der grösste gemeinsame Teiler ggT ist jene Zahl, durch die zwei Terme maximal dividiert werden können, also der grösste mögliche Term, der ausgeklammert werden kann.
Beim Kürzen (in einem Schritt) mmüssen Zähler und Nenner durch den grössten gemeinsamen Teiler (ggT) geteilt werden. Den ggT findet man durch vollständige Faktorzerlegung (alle Faktoren sind Primzahlen). Der ggT von zwei Zahlen ist dann das Produkt der höchsten Potenzen aller Primfaktoren, die beiden Zahlen gemeinsam sind.
Inverse
= Kehrwert / Kehrbruch
Vertauscht man Zähler und Nenner, erhält man den Kehrwert oder die Inverse.
Kehrwert
= Inverse / Kehrbruch
Vertauscht man Zähler und Nenner, erhält man den Kehrwert oder die Inverse.
kleinstes gemeinsames Vielfaches - kgV
Das kleinste gemeinsame Vielfache ist nützlich, wenn man Nenner gleichnamig machen will. Das kgV kann einer der beiden Terme sein, oder die beiden Terme müssen noch erweitert werden. Bei grösseren Zahlen findet man das kgV wie beim ggT über die Zerlegung in Primfaktoren. Das kgV von zwei Zahlen ist das Produkt der höchsten Potenzen aller Primfaktoren, di in mindestens einer der beiden Zahlen vorkommt.
Kürzen
Werden Zähler und Nenner einer Bruchs durch denselben Term dividiert, nennt man das kürzen. Der Wert des Bruchs ändert sich nicht. Häufig müssen Zähler und Nenner zuvor faktorisiert werden. Aus Summen und Differenzen kann man nicht kürzen, ausser man faktorisiert zuerst (aber dann kürzt man aus einem Produkt).
