Multivariate Statistik und Datenanalyse: Inferenzstatistik

- Exakte vs. asymptotische Tests

- Parametrische vs. nonparametrische (verteilungsfreie) Tests

- robuste Verfahren

- Resampling-Verfahren

Parametrische Tests setzen voraus, dass das Merkmal in der Population in einer spezifischen Weise verteilt ist (und die Verteilung anhand entsprechender „Parameter“ beschrieben werden kann)

– z.B. Normalverteilung, die durch die Parameter Erwartungswert und Standardabweichung definiert ist

Nonparametrische Tests machen keine Annahmen zur Verteilung des Merkmals in der Population -> verteilungsfrei

Randomisierungstest mit Monte-Carlo-Schätzer (in Abbildung: Randomisierungstest mit 5000 Resamples)

Dieses Randomisierungsprinzip lässt sich nicht nur auf Summen (bzw. Mittelwerte), sondern auch auf andere Größen wie den Median oder das getrimmte Mittel anwenden. Er ist darüber hinaus ein verteilungsfreier Test, da keine Verteilungsannahme in Bezug auf die Merkmalsverteilung getroffen wird. Der Test wird allerdings bei größeren Stichproben schnell sehr rechenintensiv.

Rerandomisierungs-Ansätze werden häufig auch im Bereich der Einzelfallanalyse eingesetzt. Einzelfallanalyse bedeutet, dass nur eine Person untersucht wird.

1. Einfache Zufallsstichprobe (d.h., alle möglichen Stichproben der Größe n haben die gleiche Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden)

2. Geschichtete Zufallsstichprobe→ z.B. Varianzanalyse

3. Klumpenstichprobe → Hierarchisch lineare Modelle

4. Mehrschrittige Auswahlverfahren→ Hierarchisch lineare Modelle

5. Einzelfallanalyse → z.B. Zeitreihenanalyse

Repräsentativ meint „durch Zufallsauswahl aus der Grundgesamtheit entstanden“

- die Verteilung von Merkmalen in repräsentativen Stichproben unterscheidet sich von der Verteilung in der Population nur zufällig (d.h. durch den Stichprobenfehler bedingt)

- in der Praxis liegt häufig keine repräsentative Stichprobe vor, d.h. die Population ist eine andere als ursprünglich intendiert (z.B. „stationär behandelte Patienten, die bereit sind, einen Fragebogen auszufüllen“)

Multivariate Verfahren umfassen mehr als zwei Variablen. Multivariate Verfahren sind u. a. aus folgenden Gründen notwendig:

(1) Analyse der Multideterminiertheit des Verhaltens

(2) Kontrolle von Störeinflüssen

(3) Aufdeckung redundanter Zusammenhänge

(4) Aufdeckung maskierter Zusammenhänge

Estimate : Std.Err = t-Wert 

- Stichprobenkennwerteverteilung ist nur unter asymptotischen Bedingungen bekannt, wird aber gebraucht um (wie sonst) Signifikanzniveau bestimmen zu können

- Normalerweise: t-Verteilung → t-Wert → p-Wert

- Modellvergleich

- F-Test

- Bootstrap-basierte Konfidenzintervalle

Stichprobenkennwerteverteilung wird „künstlich“ aus simulierter Population erzeugt.

na.rm=FALSE -> Für Zeilen mit fehlenden Werten auf diesen Variablen wird kein Mittelwert gebildet (NA).

na.rm=TRUE  -> Fehlende Werte werden bei der Berechnung einfach ausgelassen. 

Unter dem Standardfehler versteht man die Standardabweichung der Sichprobenkennwertverteilung. 

(je größer die Stichprobe -> desto genauer die Schätzung, d.h kleiner der Standardfehler) 

Abweichung des Erwartungswertes der Stichprobenkennwertverteilung vom Populationsparameter

D.h. dass Verfahren nicht stark auf Verletzung seiner Annahmen reagiert 

Um Größe des Effekts zu quantifizieren, sodass er mit anderen Effekten verglichen werden kann.

Cohens d

< .3 kleiner Effekt

.3 bis .8 mittlerer Effekt

> .8 großer Effekt 

Teilmenge einer Grundgesamtheit 

vs. Population (Grundgesamtheit) 

Damit ist gemeint, dass der Erwartungswert eines bestimmten Stichprobenkennwertes dem Parameter der Population entspricht. 

Wahrscheinlichkeit, ein empirisches Ergebnis (oder ein noch stärker gegen die Nullhypothese sprechendes Ergebnis) unter der Nullhypothese zu finden.

Formal handelt es sich um die bedingte Wahrscheinlichkeit:

Aus der vorliegenden Stichprobe („sample“) werden erneut Stichproben gezogen.

Ziel ist es, die Verteilung der Prüfgröße oder der Stichprobenkennwerte empirisch zu bestimmen.

Zwei Ansätze werden unterschieden:

– Bootstrapping
– Rerandomisierung

Bei dieser Ausfallsart ist der Ausfall systematisch, man kennt aber den Ausfallprozess und kann die Ausfallsrate anhand von erhobenen Variablen (X) vorhersagen.

Im Februar (Y) wurden nur die 7 Personen einbestellt und gemessen, die im Januar Bluthochdruck hatten (X > 140).

Ob ein Wert fehlt oder nicht hängt weder von der betrachteten Variablen selbst (Y) noch von anderen erfassten Variablen (X) ab.

Im Februar (Y) wurden nur 7 zufällig ausgewählte Personen (23%) einbestellt und gemessen

Fehlende Werte hängen von der Ausprägung der betrachteten Variablen (Y) selbst ab. Dieser Zusammenhang kann von anderen Variablen (X) nicht (vollständig) erklärt werden

Im Februar (Y) wurden nur Messungen von den 7 Personen notiert, die im Februar Bluthochdruck hatten (Y > 140)

R-Skript

Objektumgebung 

Plot-Output