Analysis 2
Anlaysis 2 - HSR: Stammfunktionen, Integralgesetze, RSS, Fehlerschätzung, Grenzwerte, Fourierreihen
Anlaysis 2 - HSR: Stammfunktionen, Integralgesetze, RSS, Fehlerschätzung, Grenzwerte, Fourierreihen
Aufgabe: Funktion in Intervall [a;b] (z.B. [-0.5; 0.5) durch ein Taylorpolynom bestimmen, die einen max. Rechenfehler (z.b. \(\Delta < {1 \over 100}\)) nicht überschreitet
Wie vorgehen?
1. n Ableitungen machen bis man ein Muster finden z.b. \((-2)^i * e^{-2x}\)
2. m bestimmen mit \(m = |\ f^{N+1}(x)\ |\) -> \(|\ (-2)^{N+1} * e^{-2x}\ |\)
3. max. herausfinden indem man die Intervallgrenzen einsetzt -> (z.b. max bei Grenze a)
4. m für max in Formel einsetzen \(|\ f(x) -p_N(x)\ | \leq {{m * (b-a)^{N+1}} \over {2^{N+1}*(N+1)!}}\) -> \({1 \over 100} \leq {{2^{N+1}e * ({1 \over 2}+ {1 \over 2})^{N+1}} \over {2^{N+1}*(N+1)!}}\)-> \({1 \over 100} \leq { e \over (N+1)!}\)
5. \(N\) Testweise in vereinfache Rechenfehlerformel aus Punkt 4 einsetzen und funktionswerte bestimmen. Sobald der Wert aus der Funktion den geforderten Rechenfehler unterschreitet wurde \(N\) gefunden.
6. Taylorpolynom erstellen: Funktion \(f^{(N)}(x_0)\), \(x_0\) und \(N\) einsetzen.
Bei welchen Grenzwerttypen muss Bernouli L'Hosptial eingesetzt werden?
Typ \(0 \over 0\) und Typ \(\infty \over \infty\)
Bernouli L'Hoptial ergibt \(\lim_{x \to a} {f(x) \over g(x)} = ?\)
\(\lim_{x \to a} {f(x) \over g(x)} = \lim_{x \to a} {f'(x) \over g'(x)}\)
Wie wandelt man mit BL den Typ \(0 * \infty\) in Typ \(\infty \over \infty\) um?
\(f(x) * g(x) = {f(x) \over {1 \over g(x)}}\)
Wie wandelt man mit BL den Typ \(0 * \infty\) in Typ \(0 \over 0\) um?
\(f(x) * g(x) = {g(x) \over {1 \over f(x)}}\)
Integrationsregeln - Linearitätsregel
\(\int \alpha * f(x) + \beta * g(x)\ \mathrm{d}x = a * \int f(x)\ \mathrm{d}x + \beta * \int g(x)\ \mathrm{d}x\)
Vertauschen der Integralgrenzen: \(\int_a^b f =\ ?\)
\(\int_a^b f = -\int_b^a f\)
Gleiche Integrationsgrenzen: \(\int_a^a f =\ ?\)
0
Unterschied bestimmtes/unbestimmtes Integral: ?
Unbestimmtes Integral : Menge aller Stammfunktionen
Bestimmtes Integral: Wert
Hauptsatz des bestimmten Integral: \(\int_a^b f(x)\ \mathrm{d}x =\ ?\)
\(\int_a^b f(x)\ \mathrm{d}x = [F(x)]_{x=a}^b = F(b) - F(a)\)
Hauptsatz des unbestimmten Integral: \(\int f(x)\ \mathrm{d}x =\ ?\)
\(\int f(x)\ \mathrm{d}x = F(x) + c\)
Rechenregeln - Verkettung linearer Funktionen: \(\int f(ax + b)\ \mathrm{d}x =\ ?\)
\(\int f(ax + b)\ \mathrm{d}x = {1 \over a} * F(ax+b)\)
Rechenregeln - Produkteregel (Partielle Integration): \(\int f(x) * g(x)\ \mathrm{d}x =\ ?\)
\(\int f(x) * g(x)\ \mathrm{d}x = F(x) * g(x) - \int F(x) * g'(x)\ \mathrm{d}x\)
Rechenregeln - Spezialfall der Produkteregel: \(\int f(x) * f'(x)\ \mathrm{d}x =\ ?\)
\(\int f(x) * f'(x)\ \mathrm{d}x = {1 \over 2}f^2(x)\)
Rechenregeln - Quotientenregel: \(\int {f'(x) \over f(x)}\ \mathrm{d}x =\ ?\)
\(\int {f'(x) \over f(x)}\ \mathrm{d}x = ln (|f(x)|)\)
Rechenregeln - Substitutionsregel: \(\int f(g(x)) * g'(x)\ \mathrm{d}x =\ ?\)
\(\int f(g(x)) * g'(x)\ \mathrm{d}x =\ F(g(x))\)
Rechenregeln - Spezialfall der Substitutionsregel: \(\int f^q(x) * f'(x)\ \mathrm{d}x =\ ?\)
\(\int f^q(x) * f'(x)\ \mathrm{d}x =\ {1 \over q + 1} * f^{q+1}(x)\)
Stammfunktion: \({1 \over x} =\ ?\)
\({1 \over x} = ln(|x|) + c\)
Stammfunktion: \(2x =\ ?\)
\(2x = x^2 + c\)
Stammfunktion: \(\sqrt x =\ ?\)
\(\sqrt x = {2 \over 3}x^{3 \over 2} + c\)
Stammfunktion: \(ln(x) =\ ?\)
\(ln(x) = x * ln(x) -x+c\)
Stammfunktion: \(sin(x) =\ ?\)
\(sin(x) = -cos(x)+ c\)
Stammfunktion: \(cos(x) =\ ?\)
\(cos(x) = sin(x)+c\)
Stammfunktion: \(tan(x) =\ ?\)
\(tan(x) = -ln(|cos(x)|)\)
Matrixmultiplikation
Zeile 1 * Spalte 1 = Zeile 1 / Spalte1
Zeile 2 * Spalte 1 = Zeile 2 / Spalte 1
Zeile 1 * Spalte 2 = Zeile 1 / Spalte 2
Zeile 2 * Spalte 2 = Zeile 2 / Spalte 2
Stammfunktion: \(x=\ ?\)
\(x={1 \over 2}x^2+c\)
Lineare Regression - Berechnung Ausgleichsgerade: \(g (x) =\ ?\)
\(m =\ ?\)
\(b =\ ?\)
\(var(x,y) = {1 \over N} * \sum^{N-1}_{i=0} x_iy_i - \overline{x}* \overline{y}\)
\(m = {var(x,y) \over \sigma^2}\)
\(b = \overline{y} - m\overline{x}\)
Lineare Regression im allgemeinen Fall: Wie vorgehen?
Gegeben: Wertetabelle und Modellfunktonen
1. Designmatrix (\(B\)) aufstellen und transponieren (\(B^T\)). y-vector (\(\overrightarrow{y}\) ) aufstellen.
2. Matrixmultiplikation \(B^T \overrightarrow{y}\) durchführen wobei \(B^T\overrightarrow{\lambda}= B^T\overrightarrow{y}\)
3. Matrixmultiplikation \(B^T B\) durchführen.
4. Neues Gleichungssystem aufstellen | (\(B^T B\) ) (\(\overrightarrow{\lambda}\)) | (\(B^T \overrightarrow{y}\)) | und mit Gaus lösen
Umrechnung Sinus-Kosinus-Form in Amplituden-Phasen-Form:
\(a_k =\ ?\)
\(b_k =\ ?\)
Bestimmung Fourierkoeffizienten gerade T-periodische Funktion
Bestimmung Fourierkoeffizienten ungerade T-periodische Funktion
\(\int_0^Tcos(k\omega t)sin(k\omega t) = ?\)
0
\(\int_0^Tsin(k\omega t)sin(l\omega t) = ?\)
l = k --> T/2
l != k --> 0
\(\int_0^Tcos(k\omega t)cos(l\omega t) = ?\)
k = l --> T/2
k != l --> 0
\(\int_{-T}^Tg(t)dtPeriodisch\)
\(2\int_{0}^Tg(t)dt\)
-
- 1 / 36
-
Cartes-fiches
1. n Ableitungen machen bis man ein Muster finden z.b. \((-2)^i * e^{-2x}\)
2. m bestimmen mit \(m = |\ f^{N+1}(x)\ |\) -> \(|\ (-2)^{N+1} * e^{-2x}\ |\)
3. max. herausfinden indem man die Intervallgrenzen einsetzt -> (z.b. max bei Grenze a)
4. m für max in Formel einsetzen \(|\ f(x) -p_N(x)\ | \leq {{m * (b-a)^{N+1}} \over {2^{N+1}*(N+1)!}}\) -> \({1 \over 100} \leq {{2^{N+1}e * ({1 \over 2}+ {1 \over 2})^{N+1}} \over {2^{N+1}*(N+1)!}}\)-> \({1 \over 100} \leq { e \over (N+1)!}\)
5. \(N\) Testweise in vereinfache Rechenfehlerformel aus Punkt 4 einsetzen und funktionswerte bestimmen. Sobald der Wert aus der Funktion den geforderten Rechenfehler unterschreitet wurde \(N\) gefunden.
6. Taylorpolynom erstellen: Funktion \(f^{(N)}(x_0)\), \(x_0\) und \(N\) einsetzen.
Bei welchen Grenzwerttypen muss Bernouli L'Hosptial eingesetzt werden?
Typ \(0 \over 0\) und Typ \(\infty \over \infty\)
Bernouli L'Hoptial ergibt \(\lim_{x \to a} {f(x) \over g(x)} = ?\)
\(\lim_{x \to a} {f(x) \over g(x)} = \lim_{x \to a} {f'(x) \over g'(x)}\)
Wie wandelt man mit BL den Typ \(0 * \infty\) in Typ \(\infty \over \infty\) um?
\(f(x) * g(x) = {f(x) \over {1 \over g(x)}}\)
Wie wandelt man mit BL den Typ \(0 * \infty\) in Typ \(0 \over 0\) um?
\(f(x) * g(x) = {g(x) \over {1 \over f(x)}}\)
Integrationsregeln - Linearitätsregel
\(\int \alpha * f(x) + \beta * g(x)\ \mathrm{d}x = a * \int f(x)\ \mathrm{d}x + \beta * \int g(x)\ \mathrm{d}x\)
Vertauschen der Integralgrenzen: \(\int_a^b f =\ ?\)
\(\int_a^b f = -\int_b^a f\)
Gleiche Integrationsgrenzen: \(\int_a^a f =\ ?\)
0
Unterschied bestimmtes/unbestimmtes Integral: ?
Unbestimmtes Integral : Menge aller Stammfunktionen
Bestimmtes Integral: Wert
Hauptsatz des bestimmten Integral: \(\int_a^b f(x)\ \mathrm{d}x =\ ?\)
\(\int_a^b f(x)\ \mathrm{d}x = [F(x)]_{x=a}^b = F(b) - F(a)\)
Hauptsatz des unbestimmten Integral: \(\int f(x)\ \mathrm{d}x =\ ?\)
\(\int f(x)\ \mathrm{d}x = F(x) + c\)
Rechenregeln - Verkettung linearer Funktionen: \(\int f(ax + b)\ \mathrm{d}x =\ ?\)
\(\int f(ax + b)\ \mathrm{d}x = {1 \over a} * F(ax+b)\)
Rechenregeln - Produkteregel (Partielle Integration): \(\int f(x) * g(x)\ \mathrm{d}x =\ ?\)
\(\int f(x) * g(x)\ \mathrm{d}x = F(x) * g(x) - \int F(x) * g'(x)\ \mathrm{d}x\)
Rechenregeln - Spezialfall der Produkteregel: \(\int f(x) * f'(x)\ \mathrm{d}x =\ ?\)
\(\int f(x) * f'(x)\ \mathrm{d}x = {1 \over 2}f^2(x)\)
Rechenregeln - Quotientenregel: \(\int {f'(x) \over f(x)}\ \mathrm{d}x =\ ?\)
\(\int {f'(x) \over f(x)}\ \mathrm{d}x = ln (|f(x)|)\)
Rechenregeln - Substitutionsregel: \(\int f(g(x)) * g'(x)\ \mathrm{d}x =\ ?\)
\(\int f(g(x)) * g'(x)\ \mathrm{d}x =\ F(g(x))\)
Rechenregeln - Spezialfall der Substitutionsregel: \(\int f^q(x) * f'(x)\ \mathrm{d}x =\ ?\)
\(\int f^q(x) * f'(x)\ \mathrm{d}x =\ {1 \over q + 1} * f^{q+1}(x)\)
Stammfunktion: \({1 \over x} =\ ?\)
\({1 \over x} = ln(|x|) + c\)
Stammfunktion: \(2x =\ ?\)
\(2x = x^2 + c\)
Stammfunktion: \(\sqrt x =\ ?\)
\(\sqrt x = {2 \over 3}x^{3 \over 2} + c\)
Stammfunktion: \(ln(x) =\ ?\)
\(ln(x) = x * ln(x) -x+c\)
Stammfunktion: \(sin(x) =\ ?\)
\(sin(x) = -cos(x)+ c\)
Stammfunktion: \(cos(x) =\ ?\)
\(cos(x) = sin(x)+c\)
Stammfunktion: \(tan(x) =\ ?\)
\(tan(x) = -ln(|cos(x)|)\)
Matrixmultiplikation
Zeile 1 * Spalte 1 = Zeile 1 / Spalte1
Zeile 2 * Spalte 1 = Zeile 2 / Spalte 1
Zeile 1 * Spalte 2 = Zeile 1 / Spalte 2
Zeile 2 * Spalte 2 = Zeile 2 / Spalte 2
Stammfunktion: \(x=\ ?\)
\(x={1 \over 2}x^2+c\)
Lineare Regression - Berechnung Ausgleichsgerade: \(g (x) =\ ?\)
\(m =\ ?\)
\(b =\ ?\)
\(var(x,y) = {1 \over N} * \sum^{N-1}_{i=0} x_iy_i - \overline{x}* \overline{y}\)
\(m = {var(x,y) \over \sigma^2}\)
\(b = \overline{y} - m\overline{x}\)
Lineare Regression im allgemeinen Fall: Wie vorgehen?
Gegeben: Wertetabelle und Modellfunktonen
1. Designmatrix (\(B\)) aufstellen und transponieren (\(B^T\)). y-vector (\(\overrightarrow{y}\) ) aufstellen.
2. Matrixmultiplikation \(B^T \overrightarrow{y}\) durchführen wobei \(B^T\overrightarrow{\lambda}= B^T\overrightarrow{y}\)
3. Matrixmultiplikation \(B^T B\) durchführen.
4. Neues Gleichungssystem aufstellen | (\(B^T B\) ) (\(\overrightarrow{\lambda}\)) | (\(B^T \overrightarrow{y}\)) | und mit Gaus lösen
Umrechnung Sinus-Kosinus-Form in Amplituden-Phasen-Form:
\(a_k =\ ?\)
\(b_k =\ ?\)
Bestimmung Fourierkoeffizienten gerade T-periodische Funktion
Bestimmung Fourierkoeffizienten ungerade T-periodische Funktion
\(\int_0^Tcos(k\omega t)sin(k\omega t) = ?\)
0
\(\int_0^Tsin(k\omega t)sin(l\omega t) = ?\)
l = k --> T/2
l != k --> 0
\(\int_0^Tcos(k\omega t)cos(l\omega t) = ?\)
k = l --> T/2
k != l --> 0
\(\int_{-T}^Tg(t)dtPeriodisch\)
\(2\int_{0}^Tg(t)dt\)
