Modellbildung
VU an der TU Wien
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Lernkarten
Kinematik beschreibt die Bewgung von ...
Ortsvektor
\(r(t) = x(t) \textbf{e}_x + y(t) \textbf{e}_y + z(t) \textbf{e}_z\)
Geschwindigkeit
\(v(t) = v_x \textbf{e}_x + v_y\textbf{e}_y + v_z\textbf{e}_z = \dot{x} \textbf{e}_x + \dot{y} \textbf{e}_y + \dot{z} \textbf{e}_z\)
Beschleunigung
\(a(t) = a_x \textbf{e}_x + a_y\textbf{e}_y + a_z\textbf{e}_z = \ddot{x} \textbf{e}_x + \ddot{y} \textbf{e}_y + \ddot{z} \textbf{e}_z\)
Polarkoordinaten
Ortsvektor Polarkoordinaten
\(r(t) = r(t) \cos(\phi(t)) \textbf{e}_x + r(t) \sin(\phi(t)) \textbf{e}_y\)
Geschwindigkeit Polarkoordinaten
\(v(t) = v_r \textbf{e}_r + v_\phi \textbf{e}_\phi = \dot{r} \textbf{e}_r + r \dot{\phi} \textbf{e}_\phi\)
radiale Beschleunigung Polarkoordinaten
\(a_r = \ddot{r} - r\dot{\phi}^{2}\)
zirkulare Beschleunigung Polarkoordinaten
\(a_\phi = r \ddot{\phi} + 2\dot{r}\dot{\phi}\)
Beschleunigng einer reinen Kreisbewegung in Polarkoordinaten (Tangential- und Radialkomponente)
Tangentialkomponente ... \(a_\phi = r\ddot{\phi}\)
Radialkomponente (Zentripetalbeschleunigung) ... \(a_r = -r\dot{\phi}^{2}\)
SI - Einheit Kraft
Newton (N = kg m / s2)
Zentrales Kräftesystem
alle Einzelkräfte wirken am gleichen Angiffspunkt. Die resultierende Kraft ergibt sich zu \(f_R = \sum_{i=1}^n f_i\)
Kräftesystem im Gleichgewicht, wenn ...
die resultierende Kraft verschwindet \(f_R = 0\).
Dirtte Newtonsche Gesetz (Wecheslwirkungsgesetz)
besagt, dass zu jeder Kraft immer eine gleich große entgegengesetzt wirkende Gegenkraft existiert (actio gleich reactio).
Was ist das Schnittprinzip?
Allgemeines Kräftesystem
die einzelnen Kräfte wirken nicht an einem einzigen Angriffspunkt und können daher auch nicht mehr zu einer einzigen resultierenden Kraft zusammengefasst werden.
In diesem Fall bedingen die Kräfte - falls sie nicht im Gleichgewicht sind - nicht nur eine translatorische Verschiebung des Starrkörpers sondern sie werden diesen auch verdrehen.
Hebelgesetz
Kraft mal Kraftarm ist gleich Last mal Lastarm
\(f_1l_1 = f_2l_2\)
Das Moment bezüglich der Drehachse wird ...
SI - Einheit Moment
Newton-Meter (Nm = kg m2 / s2)
Moment Matrizenschreibweise
\(\tau^{(0)} = r\times f = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z\\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} f_x \\ f_y \\ f_z\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} yf_z - zf_y \\ zf_x - xf_z \\ xf_y - yf_x\\ \end{bmatrix}\)
"Zentrales Momentsystem"
alle Momente wirken am selben Angriffspunkt. Das resultierende Moment ergibt sich zu \(\tau_R^{(A)} = \sum_{i=1}^n \tau_i^{(A)}\)
Allgemeines Kräftesystem (Erweitert mit Moment)
lässt sich bezüglich eines beliebig gewählten Bezugspunktes A durch eine resultierende Kraft fR am Angriffspunkt A und ein resultierendes Moment \(\tau_R^{(A)}\) bezüglich dieses Pnktes A reduzieren.
Allgemeines Kräftesystem im Gleichgewicht
wenn sowohl die resultierende Kraft als auch das resultierende Moment verschwinden:
Kräftebilanz \(f_R = 0\)
Momentbilanz: \(\tau_R^{(A)} = 0\)
